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版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第讲双曲线练习理新人教A版-精



【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解 析几何 第 6 讲 双曲线练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题

x2 y2 5 1.(2015?广东卷)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双 a b 4
曲线 C 的方程为( A.

- =1 4 3 C. - =1 16 9 ) B. - =1 9 16 D. - =1 3 4

x2 y2 x2

x2

y2

y2

x2 y2

c 5 2 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b a 4
=c -a =9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 C. 16 9 答案 C
2 2

x2

y2

x y π 2.(2016?南昌模拟)若双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为 ,则双曲 a b 6
线 C 的离心率为( A.2 或 3 解析 由题意 = 故选 B. 答案 B 3.(2015?天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3) ,且双曲 线的一个焦点在抛物线 y =4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( A. - =1 21 28
2

2

2

) B. 2 3 3
2 2 2

2 3 C.2 或 3

D.2

b a

3 b c -a 1 2 3 ,∴ 2= 2 = ,e= , 3 a a 3 3

x2 y2 a b

)

x2

y2

B.

- =1 28 21

x2

y2

C. - =1 3 4
2 2

x2 y2

D. - =1 4 3

x2 y2

x y b 2b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,又渐近线过点(2, 3),所以 = 3, a b a a
即 2b= 3a,① 抛物线 y =4 7x 的准线方程为 x=- 7,
1
2

由已知,得 a +b = 7,即 a +b =7,② 联立①②解得 a =4,b =3, 所求双曲线的方程为 - =1,选 D. 4 3 答案 D 4.(2015?全国Ⅰ卷)已知 M(x0, y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点, F1, F2 是 C 的两个焦点, 2 → → 若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( 3 3? ? , ? 3? ? 3 ? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3 A.?- ) B.?-
2 2

2

2

2

2

x2 y2

x2

2

? ?

3 3? , ? 6 6?

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3

解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, 不妨设 F1(- 3,0),F2( 3,0), → → 所以MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). 3 3 → → 2 2 2 ∵MF1?MF2=x0-3+y0=3y0-1<0,所以- <y0< .故选 A. 3 3 答案 A 5.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 4 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则

x2

2

C2 的离心率是(
A. 2

) B. 3 C. 3 2 D. 6 2

解析 |F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). ∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90°, ∴|AF1| +|AF2| =|F1F2| , 即(2-a) +(2+a) =(2 3) , ∴a= 2,∴e= = 答案 D
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

c a

3

6 = .故选 D. 2 2

2

二、填空题 6.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍, 9 16 点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 解析 由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 ∴|PQ|=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上,∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,
?|PF|-|PA|=2a=6, ? 由双曲线定义知? ? ?|QF|-|QA|=2a=6,

x2

y2

x2

y2

∴|PF|+|QF|=28. ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 答案 44

x2 y2 7.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, a b
若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是________. 解析 因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a,所以 e= = 答案 3+1

c a

2 3-1

= 3+1.

x2 y2 8.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P. a b
若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________. 解析 如图,F1,F2 为双曲线 C 的左,右焦点,将点 P 的横坐标 2a 代入 2- 2=1 中,得 y =3b , 不妨令点 P 的坐标为(2a,- 3b), 此时 kPF2= 3b b = ,得到 c=(2+ 3)a, c-2a a

x2 y2 a b

2

2

即双曲线 C 的离心率 e= =2+ 3. 答案 2+ 3 三、解答题 9.(2016?江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,
3

c a

且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0. (1)解 ∵e= 2, ∴可设双曲线的方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10),∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)证明 法一 由(1)可知,a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 =- .∵点 M(3,m)在双曲线上, 9-12 3
2 2 2 2 2

m

m

kMF1?kMF2=
2

m2

m2

∴9-m =6,m =3, → → 故 kMF1?kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF1?MF2=0. 法二 由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),

MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m),
→ → 2 2 ∴MF1?MF2=(3+2 3)?(3-2 3)+m =-3+m , ∵点 M(3,0)在双曲线上,∴9-m =6,即 m -3=0, → → ∴MF1?MF2=0. 10.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围.
2 2





x2 y2 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
由已知得:a= 3,c=2,再由 a +b =c ,得 b =1, ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3
2 2 2 2

x2

2

4

(2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y =1,得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 3

x2

2

2

2

?Δ =36(1-k )>0, ? 3 6 2k 由题意知?x +x = <0, 解得 3 <k<1. 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2

1-3k ≠0,

2

A

B

2

A B

2

∴当

3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3 6 2k 2, 1-3k

(3)由(2)得:xA+xB=

∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) 2 2 =k(xA+xB)+2 2= 2. 1-3k 2 ? ? 3 2k ∴AB 的中点 P 的坐标为? 2, 2?. ?1-3k 1-3k ? 1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m,

k

4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= 2. 1-3k ∵ 3 2 <k<1,∴-2<1-3k <0.∴m<-2 2. 3

∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2016?柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有 一个公共的焦点 F, 且两曲线的一个交点为 P, 若|PF|=5, 则双曲线的渐近线方程为( A.x±2y=0
2

x2 y2 a b

2

)

B.2x±y=0

C.x± 3y=0

D. 3x±y=0

x2 y2 解析 抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2, 0), 准线方程为直线 x=-2, ∵双曲线 2- 2=1(a a b
>0, b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F, 则双曲线的半焦距 c=2, ∴a +b =4①, 又∵|PF|=5,∴点 P 的横坐标为 3,代入抛物线 y =8x 得 y=±2 6,则 P(3,±2 6), 9 24 x y ∵点 P 在双曲线上,则有 2- 2 =1②,联立①②,解得 a=1,b= 3,∴双曲线 2- 2=
2 2 2 2 2 2

a

b

a

b

5

1 的渐近线方程为 y=± 3x. 答案 D 12.(2016?太原二模)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A,B,若|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,则双曲线 的离心率为( A. 6+ 3 2 5+2 2 2 ) B. 6+ 3

x2 y2 a b

C.

D. 5+2 2

解析

∵|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,∴|BF2|= 2|AF2|.又由双曲线的定义知 |BF1|-

|BF2|=2a, ∴|AF1|+|AB|- 2|AF2|=2a,即|AF1|+(1- 2 )?|AF2|=2a.又|AF2|-|AF1|=2a,∴ |AF2|=2(2+ 2)a, |AF1|=2(1+ 2)a.在 Rt△AF1F2 中,|AF1| +|AF2| =|F1F2| ,即[2(2+ 2)a] +[2(1+ 2)a] =(2c) ,∴ 2=9+6 2,∴e= 9+6 2= 6+ 3.故选 B. 答案 B 13.(2014?浙江卷)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
2 2 2 2 2 2

c2 a

x2 y2 a b

x-3y+m=0, ? ? ? am , bm ?, 解析 由? b 得点 A 的坐标为? ? ?3b-a 3b-a? y= x, ? a ? x - 3 y +m=0, ? ? ? -am , bm ?, 由? 得点 B 的坐标为? ? b ?3b+a 3b+a? y=- x, ? a ? 2 2 ? a m 2, 32b m 2?, 则 AB 的中点 C 的坐标为? 2 ? ?9b -a 9b -a ?
1 而 kAB= , 由|PA|=|PB|, 可得 AB 的中点 C 与点 P 连线的斜率为-3, 即 kCP= 2 = 3 am 2 2-m 9b -a 2 ?b? 1 -3,化简得? ? = , ?a? 4 3b m 2 2 9b -a
2

6

所以双曲线的离心率 e= 答案 5 2

2 ?b? 1+? ? =

?a?

1 5 1+ = . 4 2

14.(2016?兰州诊断)已知曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 y= 3x,

x2 y2 a b

a2 3 右焦点 F 到直线 x= 的距离为 . c 2
(1)求双曲线 C 的方程; (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B、D 两点,已知 A(1, → → 0),若DF?BF=1,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

b a 3 (1)解 依题意有 = 3,c- = , a c 2
∵a +b =c ,∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b =3, ∴双曲线 C 的方程为 x - =1. 3 (2)证明 设直线 l 的方程为 y=x+m(m>0),
2 2 2 2 2

2

y2

B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD 的中点为 M, y=x+m, ? ? 2 2 由? 2 y2 得 2x -2mx-m -3=0, x - = 1 ? 3 ?
∴x1+x2=m,x1x2=-

m2+3
2



→ → 又DF?BF=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1, ∴m=0(舍)或 m=2, 7 x1+x2 ∴x1+x2=2,x1x2=- ,M 点的横坐标为 =1, 2 2 → → ∵DA?BA=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0, ∴AD⊥AB,∴过 A、B、D 三点的圆以点 M 为圆心,BD 为直径, ∵点 M 的横坐标为 1,∴MA⊥ x 轴. ∴过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

7



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