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指数函数及其性质教学设计



2.1.2 指数函数及其性质教学设计
艺术系胡淑娴 一、教材分析 本节课是人教版高中数学必修一第二章第二节《指数函数及其性质》 ,是在学生系统地 学习了函数的基本概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性及一次、二次函数的图像,掌握 了实指数幂及其运算的基础上进行学习的。 指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数, 本节课将从细胞分裂及折纸问 题进行出发, 引出指数函

数的概念。 接着让学生用已有的知识自主探究指数函数的图像及性 质,从而深化学生对指数函数的理解,并且较为全面的掌握研究函数的基本方法,为以后再 研究对数函数、幂函数等其他函数打下基础。另外,根据指数函数的图像及其性质,学会在 数学中的实际应用。 二、教学目标 1.知识与技能目标:理解掌握指数函数的概念,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。 2. 过程与方法目标:通过五点法画图培养学生自主探究的能力,根据图像归纳得出指数函 数的基本性质,培养学生识图能力和分析、归纳、总结的能力,进一步体会数形结合和分类 讨论以及从特殊到一般的学习数学的方法。 3.情感、态度、价值观目标:通过实例引入,让学生深切感受到生活中处处有数学,激发学 习的兴趣和积极性; 本节课的学习经历了通过图像探究函数性质的过程, 使学生体会到认识 事物的特殊性与一般性之间的关系;通过学生的自主探究、合作学习、互相交流,感受探索 数学的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,养成学生勇于探索、善于探索的思维品 质。 三、教学重点和难点 重点:指数函数的概念、图像、性质及相关应用 难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索指数函数的图形,归纳概括指数函数的性质 的过程。 四、教法与学法 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作交流、共同探索来完成 本节课的教学。 学法:从学生原有的函数概念、 性质等知识出发,组织、引导学生独立思考,通过合作交流、 共同探索寻求从具体到一般的思想解决问题的方法。 五、教学过程 (一)创设情境、引入新课 问题一:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个…以此类推,写出 1 个这样 的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的关系式。完成下表。 细胞分裂次数 (x) 1 细胞个数( y ) 2 3 …

x

问题二:将一张面积为 1 的纸对折 x 次后,对折后的纸的面积与次数 x 有什么关系?完成下 表。 对折次数 (x) 纸的面积 (y) 设计意图:用简单实际的例子,引导学生写出两个指数函数的关系式,为引出指数函数的模 型 y ? a x 做准备,有利于学生体会指数函数的概念来源于生活并且服务于生活。 (二)师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 师: 提出探究问题 (1) 上述问题中的两个对应关系 y ? 2x 和 y ? ( ) 能否构成函数关系?
x

1

2

3



x

1 2

(2)上述两个函数有什么样的共同特征? 生:通过思考谈论不难得出问题(1)的结论:能够构成函数关系;引导学生通过观察讨论 得出有个函数的共同特征: (1)幂的形式都一样(2)幂的底数都是一个正常数(3)幂的指 数都是一个变量。 师:如果用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 y ? a x 的形式,自变量在 指数的位置,我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。 设计意图: 引导学生从具体问题中抽象出指数函数的模型, 由学生自主归纳出指数函数的概 念,培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力。
x 指数函数:一般地,函数 y ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函

数的定义域是 R . 师:定义中底数 a 满足 a ? 0 且 a ? 1 ,为什么定义中要如此规定呢? 生:合作讨论,教师引导
x 可以得出以下结论: (1)若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, a 无意义.
x (2)若 a ? 1 ,则对于任何 x ? R , a ? 1 是一个常量,没有研究的必

要性. (3)若 a ? 0 ,则对于某些 x 的数值, a 无意义.
x

设计意图:1.通过对 a 的范围的具体分析,使学生进一步掌握指数函数一般形式 2.讨论出 a ? 0 且 a ? 1 ,为下面研究性质是底数的分类做准备 师:学习了指数函数的定义,如何判断一个函数是否是指数函数?(通过多媒体给出随堂练 习) 下列函数中,哪些是指数函数?

生:独立思考,请学生代表回答。 答: (4) (5)是,其余不是。 设计意图:进一步加深学生对指数函数概念的理解,使学生认识到“指数函数”的定义是形 式定义。 2.指数函数的性质 师:在之前的函数学习中,我们是从哪些方面来研究函数? 生:函数三要素(对应法则、定义域、值域) 、函数和函数的基本性质(单调性、奇偶性等) 。 师: 指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数。 接下来我 们一起动手画一画 y ? 2x 和 y ? ( ) 两个函数的图像。在画图的过程中,进一步明确作图
x

1 2

的一般步骤(列表→描点→连线). 思考 1:函数 y ? 2x 的图像与 y ? ( ) 的图像有什么关系 ?
x

1 2

生:观察图像,讨论得出关于 y 轴对称的结论,师生共同证明。
x 师:根据上述结论画出 y ? 3 和 y ? ( ) 的函数图像。
x

1 3

思考 2:通过图像,你能发现指数函数的哪些特征? 1、图像在直角坐标系的哪些象限? 2、图像与坐标轴的相交情况? 3、图像的上升下降趋势与底数有什么关系? 4、在 y 轴的两侧函数值的范围分别是多少? 设计意图: 1.通过引导学生对具体的函数进行观察归纳,合作交流,更好的让学生体会从 具体到一般的思想方法。 2.提高学生的动手能力,将具体化为抽象,并感受了对底数的分类讨论的思维 方式,从而达到了突破重点的目的。
x 一般地,指数函数 y ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像和性质如下:

设计意图: 通过观察的特图像点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、 分类讨论思想 和抽象概括思想, 同时表格的完成将会使学生体会到很大的成功感, 也提高学生思考的热情。 (三) 典例分析、巩固训练

, ( ), 1 ) ( (f3 ) 例 1: 已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1) 的图像经过点 (3, 27) , 求 f0
的值。

f

?

3 解:因为 f ( x) ? a x 的图像过点 (3, 27) ,所以 f (3) ? 27 ,即 a ? 27 ,解得 a ? 3 . 于是

f ( x ) ? 3x ,所以 f (0) ? 1, f (1) ? 3, f (?3) ?

1 . 27

变式:已知函数 f ( x) ? a x ? b 的图像,求(1) a , b 的值; (2)当 x ? [2, 4] 时,求函数的 最大值和最小值。 设计意图: 通过例 1 的讲解让学生明确底数是确定指数函数的要素, 同时向学生渗透方程的 思想,使学生掌握基本的指数函数的解题技巧。通过变式熟练掌握。 例 2:比较下列各题中的两个值的大小 (1) 1.7 ,1.7
0.3 2.5 3

(3) 0.8

?0.1

,0.8?0.2
, 2.5?0.5

(2) 1.7 ,0.9

3.1

(4) ( )

2 3

?1.5

解:利用指数函数的单调性判断,引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小的方法。 (1) (3)两题底数相同,指数不同,可化为相应的指数函数比较; (2) (4)底数与指数均不相同,可以观察指数函数图像得出,或者借助中间值 1,再 利用单调性比较大小。 设计意图:利用指数函数的单调性判断,引导学生观察这些指数值的特征,归纳整理出底数 相同及底数不同的两种情况下的比较方法。

(四)思维拓展、巩固提升

1 6 已知函数 f ( x) ? a x 在 [?1, 0] 上的最大值与最小值的和为 3, 求 (1) (2) 若1 ? a ? a 的值
x



求 x 的取值范围。 设计意图:该题为指数函数的实际应用,将指数函数的单调性与最值问题联系,渗透分类思 想,图形结合,使学生在掌握了基本的指数函数概念、图像及其性质之后的提升,对指数函 数有了进一步的理解。 (五) 小结归纳

1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (1)指数函数的概念; (2)指数函数的图像及其性质; 2.你学会了哪些数学思想方法? 数形结合思想、分类讨论思想、方程的思想、从特殊到一般的抽象概括的方法。 设计意图: 通过两个问题让学生在小结中明确本节课的学习内容和方法, 进一步强化本节 课的学习重点。 (六)布置作业 作业本 p42 (七)板书设计 2.1.2 指数函数及其性质 一、指数函数的概念 1.定义 2.几个要点 二、指数函数图像 1.图像 2.性质 三、应用 1.例 1 2.例 2



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