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高二数学两条直线的位置关系 交点


两条直线的位置关系
两条直线的交点

①在同一坐标系中分别作出下列各组的直线: 在同一坐标系中分别作出下列各组的直线: ⑴x-1/2y-1=0和2x+y+2=0 和 ⑵x+1/2y+1=0和2x+y+2=0 和 ⑶x+1/2y-1=0和2x+y+2=0 和 ②解下列方程组: 解下列方程组: x-1/2y-1=0 ⑴ 2x+y+2=0 x+1/2y-1=0 ⑶ 2x+y+2=0 ⑵ x+1/2y+1=0 2x+y+2=0

上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线 的什么位置关系? 的什么位置关系?
A1 B1 当——≠ —— 时,两条直线相交, 两条直线相交, A2 B2 A1 B1 C1 两直线平行; 当 —— = —— ≠ —— 时,两直线平行; A2 B2 C2

唯一解 无解

A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时,两条直线重合。 无穷多解 两条直线重合。 A2 B2 C2

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两条直线的交点: 两条直线的交点: 如果两条直线A 如果两条直线 1x+B1y+C1=0和 和 A2x+B2y+C2=0相交,由于交点同时在两条直线 相交, 相交 上,交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 A1x+B1y+C1=0 A1x+B1y+C1=0 的解; 的解;反之如果方程组 A x+B y+C =0 A x+B y+C =0
2 2 2 2 2 2

只有一个解,那么这个解为坐标的点 只有一个解, 就是直线A 就是直线 1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点 和 的交点

例1:求下列两条直线的交点: :求下列两条直线的交点: L1:3x+4y-2=0;L2:2x+y+2=0 - ; : (- 2,2) , )
Y M O X

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点 : 的直线方程L 的直线方程 1:x-2y+2=0,L2:2x-y-2=0 - , - -
x= 2 x-2y+2=0 - 解:解方程组 y=2 2x-y-2=0 - - 的交点是( , ) ∴L1与L2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 , )代入方程, , y= x

的交点, 例3:求经过两条直线 :求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点, - 和 - - 的交点 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。 的直线方程。 且垂直于直线 - 的直线方程
解法一: 解法一:解方程组 x=3 x+2y-1=0, - , 得 y= -1 2x-y-7=0 - - 这两条直线的交点坐标为( , ) ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)

又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3 直线 - 的斜率是- 的斜率是 ∴所求直线的斜率是3 所求直线的斜率是 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 所求直线方程为 ( - ) - - 解法二:所求直线在直线系 - - 解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 ( - ) 中 经整理,可得( 经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0 ) ( - ) - - 2+λ ∴ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 - 因此,所求直线方程为3x- - 因此,所求直线方程为 -y-10=0

例4:求直线 :求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的交 - 和 - - 的交 的坐标, 点M的坐标,并证明方程 的坐标 并证明方程3x+2y-1+λ(2x- - ( - 3y-5)=0(λ为任意常数)表示过 点的所 为任意常数) - ) ( 为任意常数 表示过M点的所 有直线(不包括直线2x- - 有直线(不包括直线 -3y-5=0) )
3x+2y-1=0 - 证明: 证明:联立方程 解得: 解得: 2x-3y-5=0 - - x=1 M(1,- 1) ( , ) y= - 1 x o (1, - 1) M y

代入: 代入:x+2y-1+λ(2x-3y-5)= 0 - ( - - ) 得 0+λ·0=0 ∴M点在直线上 点在直线上

A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是过直线 ( 是过直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方 和 的交点的直线系方 程

巩固练习: 巩固练习: 的交点在Y轴 ①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在 轴 两条直线 和 的交点在 上,则m的值是 的值是 )-24 (A)0 (B)- (C)±6 (D)以上都不对 ) )- ) ) 若直线kx- 相交, ②若直线 -y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在第 和 - 相交 二象限,则k的取值范围是 二象限, 的取值范围是 )()(B)( (A)( 1,0)( )( ,1] )( , )( )(0, )(0, ) )(1,+ (C)( ,1) (D)( ,+ ) )( )( ,+∞)

3、求经过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的 、求经过两直线 - 和 + 的 交点且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程。 的直线方程。 交点且垂直于直线 的直线方程 4、求证:不论m为何实数,直线l:(m、求证:不论 为何实数,直线 为何实数 1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点,并求出定点坐 恒过一定点, 恒过一定点 标。 5、三条直线L1:ax+y+1=0, 三条直线 , L2 :x+ay+1=0, L3:x+y+a=0构成三角形的 , 构成三角形的 充要条件。 充要条件。

小结: 小结:

位置关系 条 A 1 x+B 1 y+C 1 =0 A2x+B2y+C2=0 y=k1x+b1 y=k2x+b2

相交
A1 B1 ≠ A2 B2 k1 ≠ k2

平行

重合

A B C1 A B C1 1 1 = 1≠ = 1= A2 B2 C2 A2 B2 C2



k1 = k2 b1 ≠ b2

k1 = k2 b1 =b2

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