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高考复习第二单元3函数的奇偶性与周期性



高考数学必修1复习

3函数的奇偶性与周期性

抓住3个考点

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揭秘3年高考

【高考要求】
1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 4.对三种性质的综合考查;借助函数图象解决问题



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考点梳理
1.奇、偶函数的概念(p33-p35)
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. ____________
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. ______________
奇函数的图象关于原点 _____对称;偶函数的图象关于_____ y轴 对 称.

2.奇、偶函数的性质

相同 ,偶函 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 相反 . 数在关于原点对称的区间上的单调性_____
(2)在公共定义域内

奇函数 ,两个奇函数的积是 ①两个奇函数的和是_______ 偶函数 ; _________
偶函数 ; ②两个偶函数的和、积都是_______ 奇函数 . ③一个奇函数和一个偶函数的积是_______

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3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 f(x+T)=f(x) , T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________

那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周
期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 ______________ 最小正周期.

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【一个规律、两个性质、三个结论】
一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质

(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.
(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公 共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇.

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三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于 直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是 以2(b-a)为周期的周期函数. (3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是 周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|.

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考点自测
1.(2013· 徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)= ( ).

A.-1
解析

B.1

C.-2

D.2

由于f(x)的周期为5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1).

又f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=

-2+1=-1,即f(3)-f(4)=-1.
答案 A

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2.(2011· 广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函 数,则下列结论恒成立的是 ( ).

A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析 答案 由题知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),显然f(-x)+ A

|g(-x)|=f(x)+|g(x)|.

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3.(2012· 山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当 -3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x) =x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)= A.335 B.338 C.1 678 ( D.2 012 ).

解析

由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-

3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0) =f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+

f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)
+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338, 故选B. 答案 B
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4.(2012· 浙江)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶 函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f
解析 当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=1-x. ∵f(x)在 R 上的周期为 2, ∴f
?3? ?3 ? ? 1? ? 1? 3 ? ?=f ? -2?=f ?- ?=1-?- ?= . ?2? ?2 ? ? 2? ? 2? 2

?3? ? ?=________. ?2?

答案

3 2
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5.(2013· 开封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若 当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值

范围是________.
解析 画草图,由f(x)为奇函数

的性质知:f(x)>0的x的取值范
围:(-1,0)∪(1,+∞). 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

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考向一

函数奇偶性的判断

【例1】?(2013·广州模拟)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1) 2+x ; 2-x

lg?4-x2? (2)f(x)= ; |x-2|+|x+4|
2 ? ?x +x,x<0, (3)f(x)=? 2 ? ?-x +x,x>0.

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2+x 解 (1)由 ≥0,得-2≤x<2,即函数 f(x)的定义域是 2-x {x|-2≤x<2}, 关于原点不对称, 故 f(x)为非奇非偶函数. 2 ? ?4-x >0, (2)由? 得-2<x<2, ? ?|x-2|+|x+4|≠0, 即函数 f(x)的定义域是{x|-2<x<2}. 2 2 lg?4-x ? lg?4-x ? 1 2 又 f ( x) = = = lg(4-x ), |x-2|+|x+4| 2-x+x+4 6 1 1 2 2 ∴f(-x)= lg[4-(-x) ]= lg(4-x )=f(x), 6 6 所以函数 f(x)是偶函数.
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(3)当x<0时,f(x)=x2+x,-x>0, f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,f(x)=-x2+x,-x<0, f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). ∴f(x)是奇函数.

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【注意】 1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件; (2)判断f(-x)是否等于±f(x). 2.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函 数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找 等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个 区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

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【训练 1】 判断下列函数的奇偶性. 1-x (1)f(x)=lg ; 1+x lg?1-x2? (3)f(x)= 2 . |x -2|-2
解 1-x (1)由 >0?-1<x<1,定义域关于原点对称.又 1+x
2 ? ?x +x?x>0?, (2)f(x)=? 2 ? ?x -x?x<0?;

?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 f(-x)=lg =lg? ? =-lg1+x=-f(x), 1 + x 1-x ? ?

故原函数是奇函数.

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(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对 称,又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x), 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
2 ? ?1-x >0, (3)由? 2 ? ?|x -2|-2≠0

得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原

lg?1-x2? lg?1-x2? 点对称,∴f(x)= =- . 2 2 x -?x -2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 2 x ?-x? ∴f(x)为偶函数.
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考向二

函数奇偶性的应用

【例2】?函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于 任意x1,x2∈D,有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上 是增函数,求x的取值范围.

解 (1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
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(2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数. ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
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【注意】 抽象函数奇偶性的判断方法
(1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法 出现f(-x)、f(x)); (2)巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑; (3)找出f(-x)与f(x)的关系,得出结论.

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【1】若对一切实数x, y 都有f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ). (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性.

解:因为对于任何实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ),
令 x = y = 0, 则 f (0) ? 2 f (0), ? f (0) ? 0. 令y = -x , 则 f (0) ? f ( x ) ? f ( ? x ),
? f ( ? x ) ? ? f ( x ).

故 f (x)是奇函数.
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【2】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0. 求证: f (x) 是偶函数. 解:已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y),
令 x = y = 0, 则
? 2 f (0) ? 2 f 2 (0),
f (0) ? 0,? f (0) ? 1.

令 x = 0 , 则 f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f ( y ), ? f ( y ) ? f ( ? y ), 即 f ( x ) ? f ( ? x ). 故 f (x)是偶函数.
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【训练 2】 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞) 时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 f
? ? 1?? ?x?x- ??<0 的解集. 2?? ? ?

解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且由 f(1)=0,得 f(-1)=0. 1? ? ? ?x- ?>0, x ? ? ? 2? ? 1 ?? 若 f ?x?x-2??<0=f(1),则? ? ? ? ? ?? 1 ?x?x- ?<1, ? 2
? ?
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? 1? 即 0<x?x-2?<1, ? ?

1 1+ 17 1- 17 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 ? ? 1? ? 若 f?x?x-2??<0=f(-1), ? ? ?? 1? ? ? x- ?<0, ?x? 2? ? 则? ? ? 1 ?x?x- ?<-1, ? ? 2?
? 1? 即 x?x-2?<-1,解得 x∈?. ? ?

? ? ? 1+ 1 ? ∴原不等式的解集是?x? <x< ? 4 ? ?2

? ? 17 1- 17 . 或 <x<0 ? ? 4 ?
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考向三

函数的奇偶性与周期性

【例3】?设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实 数x,恒有 f(x+2)=-f(x).

当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).

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(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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(3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011) =0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

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【训练3】 (2013·成都质检)已知f(x)在R上是奇函 数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)= 2x2,则f(7)等于 ( ).
A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1), 又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1),而当x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f(1)=2×12=2, ∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选A. 答案 A
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综合题

1、函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 ?x? f?y ?=f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. ? ? (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域. ?x? 解 (1)∵当 x>0,y>0 时,f?y?=f(x)-f(y), ? ?

∴令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0.
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(2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, ?x2? 则 f(x2)-f(x1)=f?x ?, ? 1? ?x2? x2 ∵x2>x1>0.∴ >1,∴f?x ?>0. x1 ? 1? ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ?x? ∵f(4)=2,由 f?y ?=f(x)-f(y), ? ? ?16? 知 f? 4 ?=f(16)-f(4), ? ? ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4] . 抓住3个考点
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(1)求b的值; (2)判断函数f(x)的单调性; 2 2 f ( t ? 2 t ) ? f (2 t ? k) ? 0 (3)若对于任意t ∈ R, 不等式 恒成立,求实数k的取值范围. 解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x),
x x ? 2 ? b ? 2 ? b ?2 ? b ? 0, ? ? x ?1 ? ? x ?1 , ? ?1 ? bx??2 ? 2 ?2 2 ?2 2 ? 2 1 2 x ?1 ? 2 (b ? 1)(2 x ? 1) ? 0, 整理, 得 x 2(2 ? 1) x ?x

? 2 ? b 3. 设 f ( x ) ? x ? 1 为奇函数,且定义域为R. 2 ?2
x

? b ? 1.
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证明: (2) 任取 x1, x2 , 且x1< x2 ,

(?2 x ? 1) ? 2 1? 1 , f ( x) ? ? ? 2 2x ? 1 2(2 x ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ? ) f ( x ) ? f ( x ) 则 x1 x2 1 2 2 2 ?1 2 2 ?1

? ? 1 ? x11 ? (? 1 ? x21 ) 2 2 ?1 2 2 ?1
x2 x1 2 ? 2 ? x1 ? 0. x2 (2 ? 1)(2 ? 1)

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).
所以函数 f(x) 在R内是减函数.
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解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,
从而不等式 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? f (?2t 2 ? k ),
? t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k , f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0,

所以对任意t ∈ R, 不等式 3t 2 ? 2t ? k ? 0 恒成立.

1 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0, ? k ? ? . 3 1 所以实数k的取值范围是 k ? ? . 3
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解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,
从而不等式 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? f (?2t 2 ? k ),
? t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k , f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0,

所以对任意t ∈ R, k ? 3t 2 ? 2t 恒成立. 2 设 g(t ) ? 3t ? 2t , 从而只须 k ? g(t )min . 1 2 1 1 ? g ( t ) ? ? . g(t ) ? 3(t ? ) ? , min 3 3 3 1 k ? ? . 所以实数k的取值范围是

3

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热点突破4——函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题
【命题研究】 通过对近三年高考试题的分析可以 看出,考查函数的性质往往不是单纯考查一个 性质,而是综合考查,所以需要对函数的各个 性质非常熟悉,并能结合函数图象的特点,对 各个性质进行综合运用.常考题型有选择题、 填空题,题目为中档难度.

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【真题探究1】? (2012·陕西)下列函数中,既是 奇函数又是增函数的为 ( ).

A.y=x+1 B.y=-x

3

1 C.y=x

D.y=x|x|

[教你审题] 先确定奇函数,再确定函数单调递增. [解法] 选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数; 选项B是奇函数,不是增函数;选项C是反比例函 数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号, 变为分段函数,符合题意. [答案] D
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【真题探究2】 2.(2011年山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期 函数,且当0≤x<2时,f(x)=x -x,则函数y=f(x)的图象在区
3

间[0,6)上与x轴的交点的个数为?(
(A)6. (B)7. (C)8.
3

)
(D)9.

【解析】因为当0≤x<2时,f(x)=x -x,又因为f(x)是R上最 小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f(4)=f(2)=f(0)=0, 又因为f(1)=0,所以f(3)=0,f(5)=0,故函数y=f(x)的图象在 区间[0,6)上与x轴的交点的个数为6个, 选A.
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【试一试1】 (2012·天津)下列函数中,既是偶函数,又 在区间(1,2)内是增函数的为 ( ).

A.y=cos 2x,x∈R ex - e x C.y= ,x∈R 2


B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x +1,x∈R
3

解析

A、B 中的函数均是偶函数;C 中的函数是奇函

数;D 中的函数是非奇非偶函数.对于 y=cos 2x 在
? ?π ? π? ?1, ?上单调递减,? ,2?上单调递增,不满足题意; 2? ? ?2 ?

对于 y=log2|x|,当 x∈(1,2)时,y=log2|x|是增函数.
答案 B
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【真题探究 2】? (2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2
? 5? ? 5 ? ?- ?=f ?- +2?= ? 2? ? 2 ?
? 5? ?- ?= ? 2?

(

).

[解法] ∵f(x)是周期为 2 的奇函数,∴f f
? 1? ?1? 1 ? 1? 1 ?- ?=-f ? ?=-2× ×?1- ?=- . 2 ? 2? 2 ? 2? ?2?

[答案] A
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【试一试3】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)=________. 解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)=f(2), 又当x=2时,f(2)=22-3=1,∴f(-2)=-1. 答案 -1

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