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高考复习专题:函数零点的求法及零点的个数


函数零点的求法及零点的个数
题型 1:求函数的零点。 [例 1] 求函数 y ? x ? 2x ? x ? 2 的零点.
3 2

[解题思路]要求参数 a 的取值范围,就要从函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点寻找关 于参数 a 的不等式(组) ,但由于涉及到 a 作为 x 的系数,故要对 a 进行讨论 [解析] 若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 .
2

[解题思路]求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点就是求方程 x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 的根
3 2
3 2

2 [解析]令 x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 ,∴ x ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 0
3 2



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0
a? ?3 ? 7 2 时,

,

解得

a?

?3 ? 7 2

∴ ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,∴ x ? ?1或x ? 1或x ? 2 即函数 y ? x ? 2x ? x ? 2 的零点为-1,1,2。
3 2

①当

y ? f ? x?

恰有一个零点在 ?

?1,1?

上;

[反思归纳] 函数的零点不是点,而是函数函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标, 即零点是一个实数。 题型 2:确定函数零点的个数。 [例 2] 求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数. [解题思路]求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数就是求方程 lnx+2x -6=0 的解的个 数 [解析]方法一:易证 f(x)= lnx+2x -6 在定义域 (0, ??) 上连续单调递增, 又有 f (1) ? f (4) ? 0 ,所以函数 f(x)= lnx+2x -6 只有一个零点。 方法二:求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数即是求方程 lnx+2x -6=0 的解的个数

y ? f ? x? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, 在 上也恰有一个零
点。 ③当

y ? f ? x?

在?

?1,1?

上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
a?



a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
a? ?3 ? 5 2 。

? y ? ln x ? 即求 ? y ? 6 ? 2 x 的交点的个数。画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数 y ? f ( x) 的零点是高考的热点,有两种常用方法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可 以将它与函数 y ? f ( x) 的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。 题型 3:由函数的零点特征确定参数的取值范围
2 [例 3] (2007· 广东)已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区

解得 a ? 5 或

?3 ? 5 2 综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,也是高 考热点,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,便是 抓住了关键. ②二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次 函数问题的重要依据。 考点 3 根的分布问题 [例 5] 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右 侧,求实数 m 的取值范围 [解题思路]由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点,应分情况讨论

间 ?? 1,1?上有零点,求 a 的取值范围。

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[解析](1)若 m=0,则 f(x)=-3x+1,显然满足要求. (2)若 m≠0,有两种情况:
?Δ ? (m ? 3) 2 ? 4m ? 0 ? ? ? 1 ? x1 x 2 ? ? 0 m 原点的两侧各有一个,则 ? m<0;

[解析] B;依题意得(1)

?m ? 0 ? 2 ?? ? (?2) ? 4m ? 0 ? f ( 0) ? 0 ?

或(2)

?m ? 0 ? 2 ?? ? (?2) ? 4m ? 0 ? f ( 0) ? 0 ?



? ?Δ ? (m ? 3) 2 ? 4m ? 0, ? 3?m ? ? 0, ? x1 ? x 2 ? 2m ? 1 ? x1 x 2 ? ? 0, ? m 都在原点右侧,则 ? 解得 0<m≤1,综上可得 m∈(-∞,1] 。

?m ? 0 ? 2 (3) ?? ? (?2) ? 4m ? 0 显然(1)无解;解(2)得 m ? 0 ;解(3)得 m ? 1
又当 m ? 0 时 f ( x) ? ?2 x ? 1 ,它显然有一个正实数的零点,所以应选 B。
?x 2 2、方程 2 ? x ? 3 的实数解的个数为 _______



[ 反思归纳 ] 二次方程根的分布是高考的重点和热点,需要熟练掌握有关二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布有关的结论: ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a· f(r)<0.
?Δ ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ? ?? ? r, ? 2a ? a ? f ( r ) ? 0. ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ?
?Δ ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? ? q, ?p ? ? ?? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ? ? a ? f ( p ) ? 0.

1 y ? ( )x 2 2 及 y ? ? x ? 3 的图象,发现它们有两个交 [解析] 2;在同一个坐标系中作函数


?x 2 故方程 2 ? x ? 3 的实数解的个数为 2。

3、已知二次函数 f ( x) ? 4x2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p2 ? p ? 1,若在区间[-1,1]内至少存在一 个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________。
3 [解析] (-3, 2 ) 只需 f (1) ? ?2 p2 ? 2 p ? 9 ? 0 或 f (?1) ? ?2 p2 ? p ? 1 ? 0 3 1 3 即-3<p< 2 或- 2 <p<1.∴p∈(-3, 2 )。

③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根

④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0, 另一根在(p,q)内或 f(q)=0,另一根在(p,q)内.

?a ? f ( p) ? 0, ?? ⑤方程 f(x)=0 的两根中一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ?a ? f (q) ? 0.
(二) 、强化巩固训练 1、 函数 A. ?

1 4、设函数 y ? x3与y ? ( ) x ?2 的图象的交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间是( ) 。 2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B。

5、若方程 x2 ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 求实数 k 的取值范围。

f ? x ? ? mx ? 2x ?1
2

有且仅有一个正实数的零点, 则实数 m 的取值范围是 (

) 。

??,1?

;B. ?

??,0?

?1? ;C. ? ??,0? ? 0,1?;D. ? ??,1?

1 2 ?k? 2 3 ;令 f ( x) ? x ? (k ? 2) x ? 2k ? 1,则依题意得 [解析] 2

? f ( 0) ? 0 ? ? f (1) ? 0 ? f ( 2) ? 0 ?
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,即

?2 k ? 1 ? 0 ? ?1 ? k ? 2 ? 2k ? 1 ? 0 ?4 ? 2 k ? 4 ? 2 k ? 1 ? 0 ?

1 2 ?k? 3。 ,解得 2

(三) 、小结反思:本课主要注意以下几个问题:1.利用函数的图象求方程的解的个 数;2.一元二次方程的根的分布;3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。 补充题:1、定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图 所示,给出下列四个命题中: (1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解; (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解; (3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解; (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是( )。 A. 1; B. 2; C. 3; D. 4。
y y

(1,2)内,画出示意图,得
1 ? m ? ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R , ? f (?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ? 1 ? ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? f ( 2) ? 6 m ? 5 ? 0 ? ?m ? ? 5 5 1 ? ?m?? ? 6 ∴ 6 ? 2.

a y?f(x)
?a

a
y?g(x)

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
a x

O

a

x

?a

O
?a

?a

[解析] B;由图可知, f ( x) ? [?a,a] , g ( x) ? [?a,a] ,由左图及 f[g(x)]=0 得
a a a g ( x) ? x1 ? [? a, ? ] g ( x) ? x 2 ? [? , 0] g ( x ) ? 2 , 2 , 2 ,由右知方程 f[g(x)]=0 有且仅有 a f ( x ) ? x 0 ? ( ,a ) 2 三 个 解 , 即 (1) 正确 ;由右图及 g[f(x)]=0 得 ,由左图知方程 a f ( x) ? x1 ? [ ? a, ? ] 2 , g[f(x)]=0 有且仅有一个解,故(2)错误;由左图及 f[f(x)]=0 得 a a f ( x) ? x 2 ? [? , 0] f ( x ) ? 2 , 2 ,又由左图得到方程 f[f(x)]=0 最多有三个解,故(3)错 a g ( x ) ? x 0 ? ( ,a ) 2 误;由右图及 g[g(x)]=0 得 ,由右图知方程 g[g(x)]=0 有且仅有一

1 ? ?m ? ? 2 , ? ? f ( 0) ? 0, 1 ? ? f (1) ? 0, ? ?m ? ? 2 , ? ? ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ? ? 0, ?? 1 ? m ? 0. ? ?0 ? ? m ? 1 ?
过) 即解得 ?

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通

1 ? 1 ? ? m ? 1 ? 2 .∴ m ? ? ? ,1 ? 2 ? . 2 ? 2 ?

个解,即(4)正确,所以应选择 B 2、已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 。 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围。 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围。 [解析](1)条件说明抛物线 f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m ? 1与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和
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