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杭高2014届[1].5.10数学最后一模



杭州高级中学高三 2014

数学(文)试题
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符 合题目要求的. 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 x A. {x | 0 ? x ? 1}
2

?

2 x

? 1}, B ? {x | x ? 1} , 则集合 A ? CU B 等于( )
C. {x | 0 ? x ? 2} ) D.第四象限 D. {x | x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1}

2.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

i 对应的点位于( 1 ? 2i
C.第三象限

B.第二象限

3. 已知直线 l 过定点 (?1,1), 则 “直线 l 的斜率为 0” 是 “直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何 体的体积为 ( ) A. ? ? 1 B. 4? ? 1
1 3

C. ? ?

1 3

D. 4? ? )

1 3

5. 函数 y ? x ? x 的大致图像为 (

6.如右图,此程序框图的输出结果为( A.

) D.

4 9

B.

8 9

C.

5 11

10 11

7.已知三条不重合的直线 m, n, l 和两个不重合的平面 ? , ? ,下列命题正确 的是( ) B. 若? ? ? , ? ? ? ? m, n ? m, 则n ? ? D. 若 l ? ? , m ? ? , 且l ? m, 则? ? ?

A. 若 m // n, n ? ? , 则m // ? C.若 l ? n , m ? n, 则l // m

8. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过右焦点 F 的直线 l 交双曲线右支为 A、B 两点,且 a2 b2 a2 距离之比为 3 : 1 ,且 l 倾斜角是渐近线倾斜角的 2 倍,则该双曲线的 c

A、B 两点到 l1 : x ? 离心率为( A. ) B.

3 2 4

2 3 3

C.

30 5

D.

33 ? 1 4

9.已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ?ax ? 2 x ? 1, x ? 0 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左 ? x 2 ? bx ? c, x ? 0 ?

向右依次交于四个不同点 A,B,C,D. 若 AB=BC ,则实数 t 的值为 ( A. ?



7 2

B. ?

7 4

C.

7 4

D.

7 2

10. 若函数 f ( x) 在给定区间 M 上存在正数 t ,使得对于任意的 x ? M , 有 x ? t ? M , 且

f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上 t 级类增函数,则下列命题中正确的是(
A.函数 f ( x) ?



4 ? x是 ( 1,??) 上的 1 级类增函数 x

( 1,??) 上的 1 级类增函数 B.函数 f ( x) ?| log2 ( x ? 1) | 是
C. 若函数 f ( x) ? sin x ? ax 为 [
2

?
2

,?? ) 上的

? 3 级类增函数,则实数 a 的最小值为 3 ?

D. 若函数 f ( x) ? x ? 3x 为 [1,??) 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 [2,??)

第 II 卷非选择题部分

(共 100 分)

二、填空题:(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.从大小相同,标号分别为 1,2,3,4,6 的五个球中任取三个,则这三个球标号的乘积 是 4 的倍数的概率为 12.设向量 a, b, c , 满足 a ? b ? c ? 0 , (a ? b) ? c, a ? b , 若 | a |? 1 , 则 | a | ? | b | ? | c |?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13..已知变量 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,若目标函数 z ? kx ? y 仅在点 (3, 1) 处取 ?y ? 2 ? 0 ?
得最大值,则实数 k 的取值范围是 14. 已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上, 且 PO ? 平面ABC ,2 AC ? AB , 若四面体 P ? ABC 的体积为

9 3 , 则该球的体积为 2

15. 若各项为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且数列 {S n } 为等比数列,则称数列 {an } 为 “和等比数列”。若 {an } 为和等比数列,且 a1 ? 1, a6 ? 2a5 , 则 an ? 16. 若直角坐标平面内两点 P, Q 满足条件: (1)P, Q 都在函数 f ( x) 的图象上, (2)P, Q 关于原点对称, 则称点对 ( P, Q ) 是函数 f ( x) 的一个 “友好点对” (点对 ( P, Q ) 与 ( Q, P )

?2 x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 看作同一个“友好点对”)。已知函数 f ( x) ? ? 2 , 则 f ( x) 的“友好点对” , x ? 0 ? x ?e
的个数为 17. 已 知 函 数 f ( x) ? m sin x ? n cos x , 且 f ( ) 是 它 的 最 大 值 ( 其 中 m, n 为 常 数 且

?

4

mn ? 0 ),给出下列命题:
(1) f ( x ? (3) f ( ?

?
4

) 是偶函数;

(2)函数 f ( x) 的图象关于点 (

3? m ) 是函数 f ( x) 的最小值 (4)记函数 f ( x) 的图象在 y 轴右侧与直线 y ? 4 2 m 的交点按横坐标从小到大依次记为 P (5) ? 1 2P 4 |? ? 1, P 2,P 3, P 4 , ?, 则 | P n
其中真命题的是 (写出所有正确命题的序号). 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设 ?ABC 中的内角 A、B、C 所对的边长分别 a、b、c ,且 cos B ? (1)当 a ?

7? ,0) 对称 4

4 ,b ? 2 5

5 时,求角 A 的度数 3

(2)设 AC 边的中线为 BM,求 BM 长度的最大值.

? 19.已知函数 f ( x)

2x ? 3 1 ? , 数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? f ( ), n ? N 3x an

(1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设 bn ? (?1) n?1 an an?1 ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn (3)当 n 为偶数时, Tn ? m ? 3n 恒成立,求实数 m 的最小值。

20. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , ?PAD 是等边三角形,PQ 是 ? APD 线的角平分线,点 M 是线段 PC 的一个 靠近点 P 的一个三等分点, 平面PAD ? 平面ABCD , (1) 求证: PA // 平面MQB; (2) 求 PB与平面PAD所成角大小; (3) 求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

21.已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R) , 其导函数 f ?( x) 的图象过原点。 3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图象在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 , 使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? ?1 时,确定函数 f ( x) 的零点个数。

22. 已知 A, B, C , D 是曲线 y ? x 上的四点,且 A, D 关于曲线
2

的对称轴对称,直线 BC 与曲线在点 D 处的切线平行. (1)证明:直线 AC 与直线 AB 的倾斜角互补; ( 2 ) 设 D 到 直 线 AB, AC 的 距 离 分 别 为 d1 , d 2 , 若

d1 ? d 2 ? 2 | AD | , 且 ?ABC 的面积为 3,求点 A 坐标及直
线 BC 的方程。



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