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高中数学必修一第二讲函数概念性质表述



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升高一数学精选精讲第二讲
教学课题 函数的概念表示及其基本性质 ①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数; ③理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 并了解映

射的概念;

教学目标
(知识点、考点、能力、方法)

难点 重点

掌握函数定义域与值域的求法;能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性;学会利用函数的单调性求最 值;函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定;
课前 检查

作业完成情况:优□ 良□

中□ 差□ 建议______________________________________________

一、 知识点大集锦以及例题精讲
1:函数的概念 (1)函数的概念
①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯 一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的 一个函数,记作 f : A ? B . ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ;满足 a ? x ? b 的实 数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记 做 [ a, b) , ( a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

课 堂 教 学 过 程

a ?b.
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

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⑤ y ? tan x 中,

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④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1.

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )


⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域 的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应 由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大) 数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求 函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最 值. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在
2

a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数 的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 二:函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元 素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记作

f : A? B.

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的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 三:函数的基本性质 (7)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2,当 x1< x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间 上是增函数. 函数的 单调性 图象

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②给定一个集合 A 到集合 B 的映射, 且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a

判定方法 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2,当 x1< x2 时 , 都 有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若

y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为
减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.
y

f ( x) ? x ?
(2)打“√”函数

a ( a ? 0) x 的图象与性质
上 为 减 函
o
x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、[ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、 (0, a ]
数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足:(1)

对于任意的

x ? I ,都有 f ( x) ? M ;

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(2) 存在

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的最大值, 记作

x0 ? I , f ( x0 ) ? M . 使得 那么, 我们称 M 是函数 f ( x)

f max ( x) ? M .

②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足:(1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? m ; (2)存在

x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .

(8)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义域 内任意一个 x,都有 f(- x)=-f(x),那么函数 f(x)叫 做奇函数. 函数的 奇偶性 图象 判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

如果对于函数 f(x)定义域 内任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么函数 f(x)叫做 偶函数.

②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数) 的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图,利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数 的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩

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0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

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③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获 得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

例题讲解 题型一:求函数的定义域

f ( x) ? x ? 3 ?
1、已知函数

1 2 f( ) f ( ? 3) x ? 2 ,(1)求函数 f(x)的定义域;(2)求 , 3 的值。

1 解: (1) 使根式 x ? 3 有意义的实数 x 的集合是 {x | x ? ?3} , 使分式 x +2 有意义的实数 x 的集合是 {x | x ? ?2} ,
所以这个函数的定义域是

{x | x ? ?3} ?{x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3, 且x ? ?2} .
(2)

1 ?1 ?3 ? 2 2 2 1 11 3 33 3 f( )? ?3 ? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 3 8 ?2 3 f (?3) ? ?3 ? 3 ?
题型二:判断两个函数是否相等 1.下列哪个与函数 y ? x 相等?

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(1)

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(3) y ?

y?

? x?
y?

2

(2) y ?
2

3

x

3

x

2

y?
(4)

x2 x

解: (1)

? x?

? x ( x ? 0)

,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 虽然对应关系相同,但是定义域不相同。所以,

这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不相等。 (2) y ?
3

x3 ? x( x ? R) ,这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不仅对应关系

相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数 y ? x( x ? R) 相等 (3)

y ? x 2 = | x |? {

x , x ? 0,

? x , x ?0

.

这个函数与函数 y ? x( x ? R) 的定义域都

是实数集 R,但是当 x<0 时,它的对应关系与函数不相同,所以这个函数与函数 y ? x( x ? R) 不相等。

y?
(4)

x2 x 的定义域是 {x | x ? 0} , 与函数 y ? x( x ? R) 的对应关系相同但定义域不相同, 所以这个函数与函

数 y ? x( x ? R) 不相等。

题型三:函数的表示
1、画出函数 y ?| x | 的图像

解:由绝对值的概念,我们有

y ?{

x , x ? 0,

? x , x ?0

所以,函数 y ?| x | 的图像如图所示

二、 课堂练习
1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x ) ? x , g ( x ) ? )
2

x

2

B. f ( x) ? x , g ( x) ? ( x )

C. f ( x ) ?

x ?1
2

x ?1

, g ( x) ? x ? 1

D. f ( x ) ?

x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ?
) D.可能 2 个以上

x ?1
2

2.函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为( A.必有一个 B.1 个或 2 个
2

C.至多一个

3. 已 知 函 数 f(x)=2x -mx+3 , 当 x ? ? ?2, ?? ? 时 是 增 函 数 , 当 x ? ? ??, ?2 ? 时 是 减 函 数 , 则 f(1) 等 于 ( ) A.-3 B.13 C.7 D.含有 m 的变量

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4.函数 f ( x) ?

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1? x ? x ?1
2

是(

) C. 偶函数 D. 奇函数 ,

1? x ? x ?1
2

A. 非奇非偶函数

B.既不是奇函数,又不是偶函数奇函数

5.在对应法则 x ? y, y ? x ? b, x ? R, y ? R 中,若 2 ? 5 ,则 ?2 ?
?

? 6.


6.函数 f ( x ) 对任何 x ? R 恒有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,已知 f (8) ? 3 ,则 f ( 2) ? 7. 规定记号 “?” 表示一种运算, 即 a ?b ?
2

则函数 f ? x ? ? k ? x 的值域是___________. a b ? a ? b ,、 a b ? R . 若1 ? k ? 3 ,
?

8.函数 f ( x) ? ?2 x ? 4tx ? t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是 9. 已知函数 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x ? x ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是
2



3 4


0

10. 求下列函数的定义域 : (1) f ( x ) ?

x 2? 1 x ?1

(2) f ( x) ?

( x ? 1)

x ?x

11.求函数 y ? x ?

3x ? 2 的值域.

x ? 2x ?
2

1 2 ,其中 x ? [1, ?? ) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.

12. 已知函数 f ( x) ?

x

13.已知函数 f ( x ) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a ? 0 。

n ] 上单调递增; (1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m , n ] ,求 n ? m 的最大值. (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m ,

三、 课后练习
1.已知函数 f ( x ) ? A. ?x x ? 1?

1 x ?1

,则函数 f [ f ( x )] 的定义域是( C. ?x x ? ?1, ?2?

) D. ?x x ? 1, ?2?

B. ?x x ? ?2?

2.函数 f ( x ) ?

1 1 ? x (1 ? x )

的值域是(



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A. [ , ?? )

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4 3
D. ( ?? , ]

5

4

B. ( ?? , ]

5

4

C. [ , ?? ) (2) f ( x) ?

4 3

3.已知函数(1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x) ? 3x ? 3x
2

(4) f ( x) ? ? A.1

?0( x ? Q) ?1( x ? CR Q)

,其中是偶函数的有( B.2

)个 D.4 ( )

C.3

4 . 奇 函 数 y=f ( x ) ( x ≠ 0 ) , 当 x ∈ ( 0 , + ∞ ) 时 , f ( x ) =x - 1 , 则 函 数 f ( x - 1 ) 的 图 象 为

5.已知映射 f:A ? B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意的 a ? 中和它对应的元素是 A.4

A ,在 B

a ,则集合 B 中元素的个数是(
B.5 C.6

) D.7

6.已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1) 对称轴是 x=1; (2) f(x)的最大值为 15;(3) f(x)的两根立方和等于 17.则 f(x)的 解析式是 7.函数 y ? .

5 x ? 2x ? 2
2

的值域是



8 .已知 f(x) 是定义域为 R 的偶函数 , 当 x<0 时 , f(x) 是增函数 , 若 x1<0,x2>0, 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系 是 . 9.如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称. 10. 点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 (
2

3x ? y 2

,

3y ? x 2

) ,若点 A 在 f 作用下的对应点是 B(2,0),则点 A 坐标是



13.已知 f(x)=x +4x+3,求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t).

D

C

A

B

14.在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有动点 M,从点 B 开始,沿折线 BCDA 向 A 点运动,设 M 点运动的距离为 x,△ABM 的面积为 S. (1)求函数 S=的解析式、定义域和值域; (2)求 f[f(3)]的值.

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13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证: F ( x ) ?

1 2

[ f ( x ) ? f ( ? x )] 是偶函数;

G ( x) ?

1 2

[ f ( x ) ? f ( ? x )] 是奇函数.
3 2

(2)利用上述结论,你能把函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? x ? 3 表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.

14. 在集合 R 上的映射: f1 : x ? z ? x ? 1 , f2 : z ? y ? 4( z ? 1) ? 1 .
2 2

(1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

课后测试卷
考试说明:1、本试卷完成时间为 分钟;2、本试卷满分为 100 分;3、考试中考生必须遵守

考试规则,独立完成;4、考生草稿纸要求规范使用,考试结束后上交。
一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 1. 设集合 P= ?x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中不能 构成 A 到 B 的映射的是 .. ( )A . y ?

1 2

x

B. y ?

1 3

x

C. y ?

2 3

x

D. (2)y=x+1;

y? x
8
(3)y=x -1;
2

1

2 . 下 列 四 个 函 数 : (1)y=x+1; B.(1)(2)(3) C.2)(3)

(4)y=

1 x

,其中定义域与值域相同的是(



A . (1)(2)

D.(2)(3)(4)

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3.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ?
7

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) D.无法确定

c x

? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f ( ?2006) 的值为(
C.-14

A.10 4.设函数 f ( x ) ?

B. -10

??1 ( x ? 0) ? ?1 ( x ? 0)

,则

( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) 2

( a ? b) 的值为(



A .a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数 5.已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为( ) A. x 0 ? x ?

?

1 4

?

B.

?

x 0? x?

1 2

?

C.

?

x

1 4

?x?

1 2

?

D.

?

x

1 4

? x ?1

?


6.已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 7.已知函数 y ? f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f ( a ) ? f (2) ,则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2

2

8. 已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 ( ??, 0) ? (0, ??) , 且对任意正实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 恒有 A. f (3) ? f ( ?5) 9.已知函数 f ( x ) ? A. A ? B ? B A. f(x)=x -2x
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

则一定有 ( ? 0,



B. f ( ?3) ? f ( ?5) C. f ( ?5) ? f (3)

D. f ( ?3) ? f ( ?5) ) D. A ? B ? A ) )A. D. f(x)= -x -2x
2

1? x 1? x

的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 B,则( C. A ? B ? ?
2

B. A ? B ? A B. f(x)=x +2x
2

10.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析式是( C. f(x)= -x +2x
2

11 . 已 知 二 次 函 数 y=f(x) 的 图 象 对 称 轴 是 x ? x0 , 它 在 [a,b] 上 的 值 域 是 [f(b),f(a)], 则 ( B . x0 ? a C. x0 ? [a, b] D. x0 ? [a, b] 12.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则在区间[-7,-3]上( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 13.已知函数 f ( x ) ?

x0 ? b

x

2 2

1? x

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ?

1

1

2

3

. . .

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= 15.定义域为 [a ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a=
2

16.设 f ( x) ? x ? 3x, g ( x) ? x ? 2 ,则 g ( f ( x )) ? 三、解答题(共 40 分)
3 2



(8 分)17.作出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的图象,并利用图象回答下列问题:
2

(1)函数在 R 上的单调区间;

(2)函数在[0,4]上的值域.

(9 分)18.定义在 R 上的函数 f(x)满足:如果对任意 x1,x2∈R,都有 f(

[f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x)是 R 2 2 2 上的凹函数.已知函数 f(x)=ax +x(a∈R 且 a≠0),求证:当 a>0 时,函数 f(x)是凹函数; )≤

x1 ? x2

1

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(11 分)19.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( (1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;

x? y 1 ? xy

).

(12 分)20.记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使 f(x0)=x0 成立,则称以(x0,y0)为坐标的点是函数 f(x)的图象上的 “稳定点”. (1)若函数 f(x)=

3x ? 1 x?a

的图象上有且只有两个相异的“稳定点”,试求实数 a 的取值范围;

(2)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)存在有限个“稳定点”,求证:f(x)必有奇数个“稳定点”.

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高一数学必修一第二讲 -函数及其表示--拓展版
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高中必修1第一章2.函数概念及表示3
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人教版高中数学详细目录(特别精确)
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