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揭阳市惠来一中、揭东一中2017届高一下学期期末联考(文数)


揭阳市惠来一中、揭东一中 2017 届高一下学期期末联考 数学(文科)
满分:150 分 考试时间:120 分钟
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
(1)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},则 P∪Q= (A)(﹣1,2) (B)(0,1) (C)(﹣1,0) (D)(1,2)

(2)点 在直线 l :ax﹣y+2=0 上,则直线 l 的倾斜角为 ( 3,5) (A)30° (B)45° (C)60° (D)120°

(3)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据 的中位数相等,且平均值也相等,则 x和y 的值分别为 (A)3,5 (B)5,5 (C)3,7 (D)5,7

(4)若 a= log3 0.5 ,b=30.5,c=0.53,则 a,b,c 三个数的大小关系是 (A)a<b <c (B)b<c<a (C)a<c<b (D)c<a<b

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A)60 (B)30 (C)20 (D)10

(6)设 α 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m ? ?, n?α,且 A∈m, A∈α,则 m,n 的位置关系不可能是 (A)垂直 (B)相交 (C)异面 (D)平 行

(7)某程序框图如图所示,若输出的 S=26,则判断框内应填

1

(A)k>3?

(B)k>4?

(C)k>5?

(D)k>6?

(8)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1494 石,检 验发现米内夹谷,抽样取米一把,数得 270 粒内夹谷 30 粒,则这批米内夹谷约为 (A)17 石 (B)166 石 (C)387 石 (D)1310 石

(9)为了得到函数 y=sin(2x﹣ 点 (A)向左平移 (C)向左平移 个单位长度 个单位长度

),x∈R 的图象,只需将函数 y=sin2x,x∈R 的图象上所有的

(B)向右平移 (D)向右平移

个单位长度 个单位长度

x (10)方程 e =2﹣x 的根位于区间

(A)(﹣1,0)内

(B)(0,1)内

(C)(1,2) 内

(D)(2,3)内

(11)在平面直角坐标系 xOy 中,以(﹣2,0)为圆心且与直线 mx ? 2 y ? 2m ? 6 ? 0 ( m ∈R)相 切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是
2 2 (A)(x+2) +y =16 2 2 2 (B)(x+2) +y =20 2 2 (C)(x+2) +y =25

(D) (x+2)

+y2=36

(12)将函数 f(x)=2sin2x 的图象向左平移 区间[0, ]和[2a, (A) [ (C)[ , , ] ]

? 个单位后得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)在 12

]上均单调递增,则实数 a 的取值范围是 (B)[ (D)[ , , ] ]

第Ⅱ卷 二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。
2 (13)函数 f(x)=ln(x ﹣2x﹣8)的单调递增区间是

. .

(14)已知 与 均为单位向量,它们的夹角为 120 ° ,那么| +3 |=

(15) 某校高一(1)班有男生 28 人,女生 21 人,用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查 小组,调查该校学生对 20 17 年 1 月 1 日起执行的新交规的知晓情况,已知某男生被抽中的概率 为 ,则抽取的女生人数为 .

2

2π ? 4 π π? ? ? - ? ? ? 0, 则 sin? ? ? ? ? sin? = ?? , (16)已知 cos? ? ? 3 ? 5 2 3? ? ?

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 10 分) 已知平面内三个向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1). (Ⅰ)若( +k )∥(2 ﹣ ),求实数 k 的值; (Ⅱ)设向量 =(x,y),且满足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= ,求 .

(18)(本小题满分 12 分) 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 分组 第一组 [50,60) 第二组 [60,70) 第三组 [70,80) 第四组 [80,90) 第五组 [90,100]

(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体,从中随 机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率.

(19)(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f(x)=2cos ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为 π.

(Ⅰ)求 f(

)的值;

(Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间.

3

(20)(本小题满分 12 分) PD⊥平面 ABCD, AB=2, PD= 如图 , 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60° , O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积. ,

(21)(本小题满分 12 分)
2 2 已知点 P(2,0),且圆 C:x +y ﹣6x+4y+4=0.

(Ⅰ)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过点 P 的直线与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程.

(22)(本小题满分 12 分) 某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x(百台),其 总成本为 g(x)(万元),其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8?0 ? x ? 5?, 本=固定成本+生产成本),销售收入 R(x)(万元)满足 R?x ? = ? 假 ?10.2?x ? 5?.
设该产品产销平衡,试根据上述资料分析: (Ⅰ)要使工厂有盈利,产量 x 应控制在什么范围内; (Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? (Ⅲ)当盈利最多时,求每台产品的售价.

数学(文科)参考答案
一、选择题
(1)A (7)A (2)C (8)B (3)A (9)D (4)C (10)B (5)D (11)C (6)D (12)A

4

二、填空题
(13)(4,+∞) (14) (15)3 (16)

三、解答题
(17)解:(Ⅰ)因为 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1), 所以 +k =(3+4k,2+k),2 ﹣ =(﹣5,2). 又( +k )∥(2 ﹣ ), 所以 2(3+4k)+5(2+k)=0,解得 (4 分) ,

(Ⅱ)因为 =(x,y),且满足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= 又 =(2,4), =(x﹣4,y﹣1),

所以

,解得



.

所以 =(6,0)或者(2,2).(10 分) 10+0.02× 10+0.03× 10+0.035× 10=1,所以 (18)解:(Ⅰ)由题意得,10 +0.01× =0.005.(2 分)

(Ⅱ)由直方图可知,分数在[50,60)的频率为 0.05,[60,70)的频率为 0.35,[70,80)的频率 为 0.30,[80,90)的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数学成绩的平 0.05+65× 0.35+75× 0.30+85× 0.20+95× 0.10=74. 5 . (6 分) 均分的估计值为 55× (Ⅲ)由直方图得, 100=30 人,第 4 组的人数为 0.2× 100=20 人,第 5 组的人数为 0.1× 100=10 人. 第 3 组的人数为 0.3× 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名, 第 3 组应抽取 人,第 4 组应抽取 人,第 5 组应抽取 =1 人.(8 分) 第 5 组的 1 名学生为 ,

设第 3 组的 3 名学生分别为 则从 6 名学生中抽取 2 名的情况有

第 4 组的 2 名学生分别为

,共 15 种. 其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的情况有
5

共 5 种.(10

分) 所以其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率 P= (19)解:(Ⅰ)由题得, f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1= 因为 f(x)的最小正周期为 π,所以 所以 f(x)= 则 f( )= sin(2x+ sin( ≤2x+ + sin(2ωx+ )+1, .(12 分)

=π,解得 ω=1,

)+1.(4 分) )+1= (sin cos +cos sin )+1= , .(6 分)

(Ⅱ)由 2kπ﹣

≤2kπ+

,得 kπ﹣ ,kπ+ ]

≤x≤kπ+ .(12 分)

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

(20)解:(Ⅰ)∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD.(2 分) 又 PD∩BD=D,∴AC⊥平面 PBD.(3 分) 而 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD.(5 分) (Ⅱ)∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平 面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 的中点,∴E 是 PB 的中点. 取 AD 的中点 H,连接 BH .(7 分)

∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60° , ∴BH⊥AD.又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BH⊥平面 PAD, ∴ = = .(9 分) .(12 分)

6

2 2 (21)解:(Ⅰ)由题知,圆 C 的标准方程为(x﹣3) +(y+2) =9.

①设直线 的斜率为 k(k 存在), 则直线方程为 y﹣0=k(x﹣2),即 kx﹣y﹣2k=0. 又圆 C 的圆心为(3,﹣2), 由

所以直线方程为

,即 3x+4y﹣6=0;(4 分)

②当斜率 k 不存在时,直线 的方程为 x=2,满足题意. 综上所述,直线 的方程为 3x+4y﹣6=0 或 x=2.(6 分) (Ⅱ)由于|CP|= ,而弦心距 ,即 |CP|= ,

所以点 P 恰为线段 AB 的中点, 则所求圆的圆心为 P(2,0),半径为 |AB|=2,
2 2 故以线段 AB 为直径的圆的方程为(x﹣2) +y =4.(12 分)

(22)解:(Ⅰ)由题意,得 g(x)=x+2, 设利润函数为 f(x), 则 f(x)=R(x)﹣g(x)= 由 f(x)>0,解得 1<x≤5 或 5<x<8.2, 即 1<x<8.2, 故要使工厂有盈利,产量 x 应控制在 100 台到 820 台内.(4 分)
2 (Ⅱ)当 0≤x≤5 时,f(x)=﹣0.4(x﹣4) +3.6,



即当 x=4 时有最大值 3.6; 当 x>5 时,f(x)<8.2﹣5=3.2. 故当工厂生产 400 台产品时,可使盈利最多为 3.6 万元.(8 分) (Ⅲ)当 x=4 时, R(4)=9.6(万元), =2.4(万元/百台),

故盈利最多时,每台产品的售价为 240 元.(12 分)

7



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