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高二数学(理科)周练



数学(理科) 成都石室中学高 2011 级数学(理科)周练
一.选择题:(每小题 4 分,共 40 分)

1 4 1. 1、经过点 (2,3) ,且方向向量 n = ( , ) 的直线方程为( A 3 3
A. 4 x ? y ? 5 = 0 B. 4 x + y ? 5 = 0

) D. x ? 4 y + 10

= 0

C. x + 4 y ? 14 = 0

2.在直角坐标系中,方程 ( x + y ? 1) 3 + 2 x ? x ? y = 0 所表示的曲线为( D
2

(

)



A.一条直线和一个圆 C.一条直线和半个圆 3. 若双曲线

B.一条线段和一个圆 D.一条线段和半个圆 )

x2 y2 5 ? 2 = ?1 的离心率为 ,则两条渐近线的方程为(C 2 a b 4
B.

A.

x y ± =0 9 16

x y ± =0 16 9

C.

x y ± =0 3 4

D.

x y ± =0 4 3

4.设 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 + =1 a2 b2

(a > b > 0) 的两个焦点,以 F1 为圆心,且过椭圆中心


的圆与椭圆的一个交点为 M ,若直线 F2 M 与圆 F1 相切,则该椭圆的离心率是( B A. 2 ? 3 B. 3 ? 1

C.

3 2

D.

2 2

5. 已知关于 t 的方程 t 2 + tx + y = 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根, 则点 P ( x, y ) 在坐标 平面内所对应的区域的图形大致是( A )

D 6.若圆 C: x + y ? ax + 2 y + 1 = 0 和圆 x + y = 1 关于直线 y = x ? 1 对称, 动圆 P 与圆 C 相外
2 2 2 2

A

B

C

切且直线 x = ?1 相切, 则动圆圆心 P 的轨迹方程是( C ) A. y 2 + 6 x ? 2 y + 2 = 0 B. y 2 ? 2 x + 2 y = 0

C. y 2 ? 6 x + 2 y ? 2 = 0

D. y 2 ? 2 x + 2 y ? 2 = 0

7.已知 x, y ∈ R , 且 (log 2 3) x + (log 3 5) y ≥ (log3 2) y + (log 5 3) x , 则 x 与 y 应满足( A ) A. x + y ≥ 0 B. x + y > 0 C. x + y ≤ 0 D. x + y < 0

8.已知圆C: x 的取值范围是

2

+ y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 和定点 P ( 1, ?1) ,若过点 P 作圆的切线有两条,则 k




) (B) ( ?

(A) ( ?∞ , ?1) U (0, +∞ )

2 3 2 3 , ) 3 3
2 3 2 3 , ? 1) U (0, ) 3 3

(C) ( ? 1, 0 )

(D)

(?

9.已知 α + β = ②α ?β > A、①②

α + β , α > 2 2 , β > 2 2 则下列结论:① α ? β ≤ α + β
③α +β >5 B、②③ ④ α + β ≤ 5 结论正确的是( C、①③ D、③④ C )

α +β

10.设 a > 1 ,则双曲线

x2 y2 ? = 1 的离心率 e 的取值范围是( B ) a 2 (a + 1) 2
C. (2, 5) D. (2,5)

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

11.已知点 (cos θ ,sin θ ) 到直线 x sin θ + y cos θ ? 1 = 0 的距离是 为 ( C A. ) B.

1 π (0 ≤ θ ≤ ) .则 θ 的值 2 2

π
12

5π 12

C.

π
12



5π 12

D.

5π π 或 6 6

12.若圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 = 0 关于直线 ax + 2by ? 4 = 0 对称,则 ab 的最大值 是A (A)1 (B) 2 (C)2 (D)4

13.

已 知 不 等 式 ( x + y ) ? 1 + a ? ≥ 9 对 任 意 正 实 数 x, y 恒 成 立 , 则 正 实 数 a 的 最 小 值 为
? ?x ? y?

(B A.2

) B.4
2 2 2

C.6

D.8

14.设圆 ( x ? 3) + ( y + 5) = r ( r > 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 = 0 的距离等 于 1,则圆半径 r 的取值范围是 (B ) A. 3 < r < 5 B. 4 < r < 6 已知点 F1、F2 是双曲线 15..

C. r > 4

D. r > 5

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右两焦点,过 F1 且垂直于 x 轴 a2 b2

的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线的离心 e 的范 围是( B) A. (1,+∞) 16. B. (1,1 + 2 ) C. (1, 3 ) D. ( 3 ,2 2 )

在平面内,已知 P 是定线段 AB 外一点,满足下列条件:

uuur uuuu r uuu uuu r r uuu uuu r r PA ? PB = 2, PA ? PB = 2 5, PA ? PB = 0 . 则△ PAB 的内切圆面积为
(A) (2 + 3) 2 π (C) (3 + 5) 2 π (B) (2 ? 3) 2 π (D) (3 ? 5) 2 π

D

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) :
11. 直线 l :x +

2a y ? 1 = 0(a ∈ R ) 的倾斜角 α 的取值范围是 a +1
2

.[

π 3

, π] 4 4

12.求当(x,y)在以原点为圆心,2 为半径的圆上运动时,点(x+y,xy)的轨迹方程


2

x 2 ? 2 y ? 4 = 0 ?2 2 ≤ x ≤ 2 2
2

(

)

13.已知圆 ( x ? 3) + y = 4 和直线 y = mx 的交点分别为 P, Q 两点, O 为坐标原点,则

OP ? OQ 的值为
14.P 为椭圆

. 5

x2 y 2 + = 1 上一点,则 25 9

PF1 + 2 +

PF2 + 3 的最大值为

30
15.已知 F1,F2 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0且a ≠ b) 的两个焦点, P 为双曲线右支 a 2 b2


上异于顶点的任意一点, O 为坐标原点.下面四个命题( A. △PF1 F2 的内切圆的圆心必在直线 x = a 上; B. △PF1 F2 的内切圆的圆心必在直线 x = b 上; C. △PF1 F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; D. △PF1 F2 的内切圆必通过点 ( a,) . 0

其中真命题的代号是

(写出所有真命题的代号) .A、D

三.解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) : 已知圆 ( x + 4) 2 + y 2 = 25 的圆心为 M 1 ,圆 ( x ? 4) 2 + y 2 = 1 的圆心为 M 2 ,一个动圆 与这两个圆都外切. 求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程;

15.若直线 l 过点 P(2,3)并与圆 ( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 相切,求直线 l 的方程. 解 : 1 ) 若 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 为 l : y ? 3 = k ( x ? 2) , 因 为 直 线 l 与 圆 (

( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 相 切 , 所 以
y ?3 = 12 ( x ? 2) , 5

|5?k | k +1
2

= 1 .所以 k =

12 .所以直线 l 的方程为 5

即 12 x ? 5 y = 9 = 0 ………………………………………………………………………6 分 (2)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l: x = 2 也符合要求. 所以直线 l 的方程为 12 x ? 5 y = 9 = 0 或 x = 2 .………………………………10 分

20. (12 分)已知直线 l 与椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y a 2 b2

轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解: 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y = kx + m (k ≠ 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2,得 ------------------3 分 b 2 x 2 + a 2 (k 2 x 2 + 2kmx + m 2 ) = a 2 b 2 . 化简后,得关于 x 的一元二次方程

(a 2 k 2 + b 2 ) x 2 + 2ka 2 mx + a 2 m 2 ? a 2 b 2 = 0.
于是其判别式 ? = ( 2ka 2 m) 2 ? 4( a 2 k 2 + b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) = 4a 2 b 2 (a 2 k 2 + b 2 ? m 2 ). ------------------6 分 由已知,得△=0.即 a k + b = m .
2 2 2 2



在直线方程 y = kx + m 中,分别令 y=0,x=0, 求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

------------------9 分
m y ? ? ?x = ? k , ?k = ? x , ? 由已知,得 ? 解得? ? y = m. ? ?m = y. ? ? ? ?

令顶点 P 的坐标为(x,y) ,

2 2 代入①式并整理,得所求顶点 P 的轨迹方程为 a + b = 1 . x2 y2

16 . 本 题 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x + 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 和 圆 (
C2 : ( x ? 4) 2 + ( y ? 5)2 = 4 。

(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标。 解: (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在。设直线 l 的方程为 y=k(x- 4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,所以
d = 22 ? ( 3) 2 = 1 。由点到直线的距离公式得 d =
|1 ? k (?3 ? 4) | 1+ k2

,从而 k (24k + 7) = 0 。

即 k=0 或 k = ?

7 ,所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0。…………………(5 分) 24

(2)设点 P(a, b)满足条件,不防设直线 l1 的方程为 y ? b = k ( x ? a), k ≠ 0 ,则直线 l2 的方 程为 y ? b = ? ( x ? a) 。因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距 离相等,则
|1 ? k (?3 ? a ) ? b | 1+ k2 1 | 5 + (4 ? a) ? b | k = 。………………………………(7 分) 1 1+ 2 k 1 k

整理得 |1 + 3k + ak ? b |=| 5k + 4 ? a ? bk | , 从而 1 + 3k + ak ? b = 5k + 4 ? a ? bk 或
1 + 3k + ak ? b = ?5k ? 4 + a + bk , 即 (a + b ? 2)k = b ? a + 3或(a ? b + 8)k = a + b ? 5, 因为 k 的取值范围有无穷多个。

? a + b ? 2 = 0, ? a ? b + 8 = 0, 所以 ? 或? ?b ? a + 3 = 0 ? a + b ? 5 = 0,

5 3 ? ? ? a = 2 , ?a = ? 2 , ? ? 解得 ? 或? ?b = ? 1 ?b = 13 . ? ? 2 ? ? 2 3 13 )。 2 2

这样点只可能是点 P ( , ? ) 或点 P2 (? , 1 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件。

5 2

1 2

………………………………………(12 分)

17.
r r r r 设两个非零向量 b = ( x , 1 ) c = ( x ? a ? 1, 4 ? a ) ,解关于 x 的不等式 b · c >
x?2 x?2

-2(其中 a>-1)
r r ( x ? a )( x + 1) > 0 解:由 b, c > ?2 ,可得 x?2

………………………………4 分

① ?1 < a < 2 时, ?1 < x < a或x > 2 ………………………………………………6 分 ② a = 2 时, x > ?1且x ≠ 2 ……………… 8分 ③ a > 2 时, ?1 < x < 2或x > a ………………………………………… 10 分 综合可得: 当 ? 1 < a ≤ 2 时, x ? 1 < x < a 或 x > 2 当 a > 2 时,

{

}
12 分

{ x ?1 < x < 2或x > a}

18.已知椭圆

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c > 0) ,过 a2 b2

点 E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |= 2 | F2 B | c

(Ⅰ求椭圆的离心率 (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ≠ 0 )在 ?AF1C 的外接圆上,求

n 的值。 m

1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |=| F2 B | ,得

| EF2 | | F2 B | 1 = = ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

a2 ?c c 3 1 c = ,整理得 a 2 = 3c 2 ,故离心率 e = = 2 a 3 2 a +c c
(2)解:由(1)知,b = a ? c = 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2
2 2 2 2

a2 ) 即 y = k ( x ? 3c) 设直线 AB 的方程为 y = k ( x ? c
由已知设 A( x1 , y1 ) B ( x 2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?

? y = k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x + 3 y = 6c
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消去 y 整理,得 ( 2 + 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx + 27 k 2 c 2 ? 6c 2 = 0 依题意, ? = 48c (1 ? 3k ) > 0,?
2 2

3 3 <k< 3 3

而 x1 + x 2 = 以 x1 + 3c = 2 x 2

18k 2 27 k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x 2 = ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所 2 + 3k 2 2 + 3k 2

联立三式,解得 x1 =

9 k 2 c ? 2c 9 k 2 c 2 + 2c 2 , x2 = ,将结果代入韦达定理中解得 2 + 3k 2 2 + 3k 2

k=±

2 3
3c 2 ,当 k = ? 时,得 A (0, 2c ) 由已知得 C (0,? 2c ) 2 3

(3)由(2)知, x1 = 0, x 2 =

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

2c 2 c c =? ( x + ), 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0) 2 2 2 2
c 2
2 2

是 ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) + y = ( 直 线 F2 B 的 方 程 为 y =

c + c) 2 2

2 ( x ? c ) , 于 是 点 H ( m, n ) 满 足 方 程 组

? 9c 2 c (m ? ) 2 + n 2 = 5c 2 2c n 2 2 ? ,故 = 2 4 由 m ≠ 0 ,解得 m = , n = ? 3 2 m 5 ?n = 2 ( m ? c ) ?
当k =

2 n 2 2 时,同理可得 = 3 m 5

答案:
1. D 2 .B 3. C 11. x-2y + 5 = 0 12. 13. 14. 2 2 -1 4. B 5B 6 C 7 A 8 A 9A 10C

( x ? 1) 2 + ( y ? 1)2 = 2
z≤-2或 z≥1

15. 解:⑴. 圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = 22 ,圆心为 C (3, 4) ,半径 r = 2 . 直线 l 的方程可化为: y = k ( x ? 4) + 3 ,直线过定点 P (4,3) ,斜率为 k . 定点 P (4,3) 到圆心 C (3, 4) 的距离 d =

(4 ? 3) 2 + (3 ? 4)2 = 2 < r ,∴定点 P (4,3) 在圆

C 内部,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交. ⑵. 当直线 l 与 PC 垂直时,圆被直线截得的弦最短. P, C 两点的斜率 k PC = ?1 ,故直线 l 的斜率 k = 1 .
最短弦长= 2 r ? d = 2 2 .
2 2

16. 解: (I) ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 ,圆心 C( 2, 0) ,--2 分 ∴ PC = (2 ? x, ? y ) ,而 PO = ( ? x, ? y ) , PC ? PO = x 2 + y 2 ? 2 x 而 x 2 + y 2 ? 4 x + 3 = 0 ,则 x 2 + y 2 = 4 x ? 3 ,∴ PC ? PO = 4 x ? 3 ? 2 x = 2 x ? 3
2 2 2 而 ( x ? 2) + y = 1 ,则 ( x ? 2) ≤ 1 ,即 ?1 ≤ x ? 2 ≤ 1 ,即 1 ≤ x ≤ 3 ,

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

--6 分

因此 ?1 ≤ 2 x ? 3 ≤ 3 ,从而 PC ? PO ( O 为坐标原点)的取值范围为 [ ?1, 3] . (II) 时,

uuu uuu r r

y y?0 = 表示点 P 与坐标原点 O 的连线的斜率,当直线 PO 的倾斜角为锐角且最大 x x?0

y 取得最大,从图可知,当直线 PO 与圆 C 相切,且点 P 位于 x 轴上方时,锐倾斜角为 x
o

最大,并为 30 ,因此

y 3 o 的最大值为 tan 30 = . x 3

17. 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x = 1 , l 与圆的两个交点坐标为

(1, 3 )和 (1,? 3 ),其距离为 2
即 kx ? y ? k + 2 = 0

3 ,满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) ,

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 = 2 4 ? d ,得 d = 1
2

∴1 =

| ?k + 2 | k 2 +1

,k =

3 , 4

故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0 综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y 0 ) , Q 点坐标为 ( x, y ) 则 N 点坐标是 (0, y 0 ) ∵ OQ = OM + ON , ∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 )
2 2

uuur

uuuu uuur r

即 x0 = x ,
2

y0 =

y 2

又∵ x 0 + y 0 = 4 ,∴ x +

y2 =4 4

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ≠ 0

y2 x2 ∴ Q 点的轨迹方程是 + = 1( y ≠ 0) 16 4
轨 迹 是 焦 点 坐 标 为 F1 (0, ?2 3), F2 (0, 2 3) , 长 轴 为 8 的 椭 圆 , 并 去 掉 ( ±2, 0) 两

点。…………………… 14 分 18. 设所求圆的圆心为 P(a,b),半径为 r, 则圆 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b |和|a |. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°. 则圆 P 截 x 轴所得弦长为 2 r.故 r 2 =2 b 2 . 又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2,∴r 2 = a 2 + 1.从而有 2b2?a2=1. |a ? 2b| 又点 P ( a , b )到 x?2y=0 的距离为 d= , 5 ∴5d2=|a?2b|2=a2+4b2?4ab≥a2+4b2?2(a2+b2)=2b2?a2=1. 当且仅当 a=b 时上式中等号成立,此时 5d2=1,d 取得最小值. ?a = b ? a = 1 ? a = ?1 由? 2 ,解得 ? 或 .从而 r2=2b2=2. b = 1 ?b = ?1 2b ? a 2 = 1 ? ? ? 于是,所求圆的方程为(x?1)2+(y?1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2.



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