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2014-2015学年北京市大兴区兴华中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)



2014-2015 学年北京市大兴区兴华中学高三(上)第二次月考数学 试卷(理科)
一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则 B 中所含元素的 个数为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增

的函数是( A. y=x B. y=|x|+1 C. y=﹣x +1 D. y=2 3.下面是关于复数 z=
3 2
﹣|x|



的四个命题:其中的真命题为(

) ,

p1:|z|=2, 2 p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为﹣1. A. p2,p3 B. p1,p2 C. p2,p4 D. p3,p4 4.方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内( ) A. 没有根 B. 有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根

5.已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(



A.

B.

C. 1 D . 2
2 2

6.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 7.执行程序框图,如果输入的 t∈,则输出的 s 属于( )



A. B. C. D. 8.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

9. 设 F1、 F2 是椭圆 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

的左、 右焦点, P 为直线 x= )

上一点, △ F2PF1

10.设 α∈(0, A. 3α﹣β=

) ,β∈(0, B. 3α+β=

) ,且 tanα= C. 2α﹣β=

,则( D. 2α+β=



二.填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11.由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为 12.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 .



13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为



14.设函数 f(x)= 为 .

,则当 x>0 时,f 表达式的展开式中常数项

(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) (不等式选 做题) 15.若存在实数 x 使|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是 .

(几何证明选做题) 16. (2015?天津模拟)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足 为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF?DB= .

(坐标系与参数方程) 17. (2014?重庆三模)在极坐标中,直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为



三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分) . 18. (12 分) (2013?陕西)已知向量 =(cosx,﹣ ) , =( (x)= . sinx,cos2x) ,x∈R,设函数 f

(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f(x)在上的最大值和最小值. 19. (12 分) (2014?成都模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6,
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.

20. (12 分) (2010?陕西) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2,BC=2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF. (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

21. (12 分) (2012?陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相 独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

22. (13 分) (2012?霍邱县校级模拟)如图,椭圆 C:

的顶点为 A1,A2,B1,B2,

焦点为 F1,F2,|A1B1|= ,S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线,且 ,是否存在上述直线 l 使 请说明理由. =1 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,

23. (14 分) (2015?新余二模)已知函数 f(x)=e ﹣e ﹣2x. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=f(2x)﹣4bf(x) ,当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142< <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) .

x

﹣x

2014-2015 学年北京市大兴区兴华中学高三(上)第二次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则 B 中所含元素的 个数为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 由题意,根据集合 B 中的元素属性对 x,y 进行赋值得出 B 中所有元素,即可得出 B 中所含有的元素个数,得出正确选项 解答: 解:由题意,x=5 时,y=1,2,3,4, x=4 时,y=1,2,3, x=3 时,y=1,2, x=2 时,y=1 综上知,B 中的元素个数为 10 个 故选 D 点评: 本题考查元素与集合的关系的判断,解题的关键是理解题意,领会集合 B 中元素的属 性,用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数. 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A. y=x B. y=|x|+1 C. y=﹣x +1 D. y=2
3 2
﹣|x|



考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 常规题型. 2 分析: 首先由函数的奇偶性排除选项 A,然后根据区间(0,+∞)上 y=|x|+1=x+1、y=﹣x +1、 y=2
﹣|x|

=

的单调性易于选出正确答案.
3 2
﹣|x|

解答: 解:因为 y=x 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x +1、y=2 所以选项 A 错误; 又因为 y=﹣x +1、y=2 上为增函数,
2
﹣|x|

均为偶函数,

=

在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 点评: 本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 3.下面是关于复数 z= 的四个命题:其中的真命题为( ) ,

p1:|z|=2, 2 p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为﹣1. A. p2,p3 B. p1,p2 C. p2,p4 D. p3,p4 考点: 复数的基本概念;命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 由 z= = =﹣1﹣i,知 , ,p3:

z 的共轭复数为﹣1+i,p4:z 的虚部为﹣1,由此能求出结果. 解答: 解:∵z= ∴ , p3:z 的共轭复数为﹣1+i, p4:z 的虚部为﹣1, 故选 C. 点评: 本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4.方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内( ) A. 没有根 B. 有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根 考点: 余弦函数的图象. 专题: 作图题;数形结合. 分析: 由题意,求出方程对应的函数,画出函数的图象,如图,确定函数图象交点的个数, 即可得到方程的根. 解答: 解:方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内根的个数,就是函数 y=|x|,y=cosx 在(﹣∞,+∞) 内交点的个数, 如图,可知只有 2 个交点. , = =﹣1﹣i,

故选 C 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象,一次函数的图象的画法,函数图象的交点的个 数,就是方程根的个数,考查数形结合思想.

5.已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(



A.

B.

C. 1 D . 2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小, 由 故选:B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,a=

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化 归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 6.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 M 在圆外,得到|OM|大于半径,列出不等式,再利用点到直线的距离公式表示出圆 心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d, 根据列出的不等式判断 d 与 r 的大小即可确定出直线与圆的位 置关系. 解答: 解:∵M(a,b)在圆 x +y =1 外, 2 2 ∴a +b >1, ∴圆 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= <1=r,
2 2

则直线与圆的位置关系是相交. 故选 B 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及点与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准 方程,点到直线的距离公式,以及两点间的距离公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 7.执行程序框图,如果输入的 t∈,则输出的 s 属于( )

A. B. C. D. 考点: 程序框图;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 图表型;算法和程序框图.

分析: 本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所 示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为 t<1 我们可得,分 段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式. 解答: 解:由判断框中的条件为 t<1,可得: 函数分为两段,即 t<1 与 t≥1, 又由满足条件时函数的解析式为:s=3t; 不满足条件时,即 t≥1 时,函数的解析式为:s=4t﹣t 故分段函数的解析式为:s= ,
2

如果输入的 t∈,画出此分段函数在 t∈时的图象, 则输出的 s 属于. 故选 A.

点评: 要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条 件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③ 根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总 结,写出分段函数的解析式. 8.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱 导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ ABC 的形状.

解答: 解:△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A=

,故三角形为直角三角形,

故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值 求角,属于中档题.

9. 设 F1、 F2 是椭圆 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

的左、 右焦点, P 为直线 x= )

上一点, △ F2PF1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 利用△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 解答: 解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= ∴ ∴ 故选 C. 上一点 上一

点评: 本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题. 10.设 α∈(0, A. 3α﹣β= ) ,β∈(0, B. 3α+β=

) ,且 tanα= C. 2α﹣β=

,则( D. 2α+β=



考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 化切为弦,整理后得到 sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项 A, B,然后验证 C 满足等式 sin(α﹣β)=cosα,则答案可求. 解答: 解:由 tanα= , 即 sinαcosβ=cosαsinβ+cosα, sin(α﹣β)=cosα=sin( ∵α∈(0, ∴当 ) ,β∈(0, ) , )=cosα 成立. ) , ,得:

时,sin(α﹣β)=sin(

故选:C. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题. 二.填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11.由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为 .

考点: 专题: 分析: 解答: 联立

定积分. 导数的综合应用. 利用微积分基本定理即可求出. 解:如图所示: 解得 ,∴M(4,2) .

由曲线 y= S= 故答案为

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积 = . = .

点评: 熟练掌握微积分基本定理是解题的关键. 12.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 A . 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 可先由乙推出,可能去过 A 城市或 B 城市,再由甲推出只能是 A,B 中的一个,再由 丙即可推出结论. 解答: 解:由乙说:我没去过 C 城市,则乙可能去过 A 城市或 B 城市, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市,则乙只能是去过 A,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为 A. 故答案为:A. 点评: 本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.

13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积. 解:几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体,底面是半径为 1 的半圆,高为 2.

所以体积 故答案为: .



点评: 本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算 能力.

14.设函数 f(x)= 20 .

,则当 x>0 时,f 表达式的展开式中常数项为 ﹣

考点: 二项式定理的应用. 专题: 函数的性质及应用;二项式定理. 分析: 依题意,可求得 f=(﹣ 的展开式中常数项. 解答: 解:当 x>0 时,f=f(﹣ 通项为 Tr+1= 则常数项为: (﹣ (﹣ )
n﹣r

+

) ,利用二项展开式的通项公式,即可求得 f 表达式

6

)=(﹣ ), ) =﹣20.
3 r

+

) 的展开式中,

6

?(

) ?(

3

故答案为:﹣20. 点评: 本题考查分段函数的运用,考查二项式系数的性质,考查运算求解能力,属于中档题. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) (不等式选 做题) 15.若存在实数 x 使|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是 . . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值的几何意义,可得到|a﹣1|≤3,解之即可. 解答: 解:在数轴上,|x﹣a|表示横坐标为 x 的点 P 到横坐标为 a 的点 A 距离,|x﹣1|就表示 点 P 到横坐标为 1 的点 B 的距离, ∵(|PA|+|PB|)min=|a﹣1|, ∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,只要最小值|a﹣1|≤3 就可以了, 即|a﹣1|≤3, ∴﹣2≤a≤4. 故实数 a 的取值范围是﹣2≤a≤4. 故答案为: . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查绝对值的几何意义,得到|a﹣1|≤3 是关键,也是 难点,考查分析问题、转化解决问题的能力,属于中档题.

(几何证明选做题) 16. (2015?天津模拟)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足 为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF?DB= 5 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 利用相交弦定理得出 DE= ,再利用△ DFE∽△DEB,得出 DF?DB=DE =5. 解答: 解:∵AB=6,AE=1,∴EB=5,OE=2. 连接 AD,则△ AED∽△DEB,∴ 又△ DFE∽△DEB,∴
2 2

=

,∴DE=



=



即 DF?DB=DE =5. 故答案为:5 点评: 此题考查了垂径定理、直角三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结 合思想的应用,注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理. (坐标系与参数方程) 17. (2014?重庆三模)在极坐标中,直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为 考点: 专题: 分析: 可. 解答:



简单曲线的极坐标方程. 选作题. 先将极坐标方程化为直角坐标系方程,联立求出其交点,再使用两点间的距离公式即 解:将直线 2ρcosθ=1 化为普通方程为:2x=1.
2 2 2 2 2

∵ρ=2cosθ,∴ρ =2ρcosθ,化为普通方程为:x +y =2x,即(x﹣1) +y =1.

联立得

解得



∴直线与圆相交的弦长=

=



故答案为 . 点评: 本题考查了极坐标系下的直线与圆相交的弦长问题,将极坐标方程化为直角坐标系方 程是常用方法. 三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分) .

18. (12 分) (2013?陕西)已知向量 =(cosx,﹣ ) , =( (x)= .

sinx,cos2x) ,x∈R,设函数 f

(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f(x)在上的最大值和最小值. 考点: 平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角 函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数,化简函数为一个 角的一个三角函数的形式,通过周期公式,求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 通过 x 在,求出 f(x)的相位的范围,利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和 最小值. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)= = sinxcosx ) =π. ∈ , 的性质可知,sinx , , =(cosx,﹣ )?( sinx,cos2x)

=sin(2x﹣

最小正周期为:T= (Ⅱ)当 x∈时,2x﹣ 由正弦函数 y=sinx 在 ∴sin(2x﹣ ∴f(x)∈, )

所以函数 f (x)在上的最大值和最小值分别为:1,﹣ . 点评: 本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数的值域 的应用,考查计算能力. 19. (12 分) (2014?成都模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关 于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数列

的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出 的公比 q 写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,利用对数的运算 性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{
2 2 2 2

的通项

}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 故数列{an}的通项式为 an= .

(Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +…+

+

+…+ =﹣2( ﹣

=﹣(1+2+…+n)=﹣ )



=﹣2=﹣

, .

所以数列{

}的前 n 项和为﹣

点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差数 列的前 n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题. 20. (12 分) (2010?陕西) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2,BC=2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF. (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题.

分析: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系,欲证 PC⊥平面 BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 PC 与平面 BEF 内两 相交直线垂直,而利用空间向量可求得 PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F,满足定理条件. (Ⅱ)由已知及(1)中结论,可得向量 量 =(2,2 =(0,2 ,0)是平面 BAP 的一个法向量,向

,﹣2)是平面 BEF 的一个法向量,代入向量夹角公式,可得平面 BEF 与平

面 BAP 所成夹角的大小. 解答: 解: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 ,四边形 ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2 ,0) ,D(0,2 ,0) , P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0, ,0) ,F(1, ,1) . ∴ ∴ ∴ =(2,2 ? ⊥ ,﹣2) , ? =(﹣1, ,1) , =(1,0,1) ,

=﹣2+4﹣2=0, , ⊥ ,

=2+0﹣2=0,

∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF. (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 BEF 的发向量 平面 BAP 的法向量 ∴ ? =8, =(0,2 ,0) =(2,2 ,﹣2) ,

设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ 则 cosθ=|cos( , )|= = = ,

∴θ=45° ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°. 点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角的求法,其中建立空间直角坐标 系,将线线垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答本题的关键. 21. (12 分) (2012?陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相 独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率;

(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得 Y 的分布列,A 表 示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则时间 A 对应三种情形:①第一个顾客 办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办 理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二 个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟,由此可求概率; (2)确定 X 所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到 X 的分布列及数学期望. 解答: 解:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布如下: Y12345 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则时间 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22 (2)X 所有可能的取值为:0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分 钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以 P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X012 P 0.5 0.49 0.01 EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 点评: 本题考查概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是明确变量 的取值与含义.

22. (13 分) (2012?霍邱县校级模拟)如图,椭圆 C:

的顶点为 A1,A2,B1,B2,

焦点为 F1,F2,|A1B1|= ,S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线,且 ,是否存在上述直线 l 使 请说明理由. =1 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的几何性质知 a +b =7,由已知条件得知 a=2c,从而解得 a,b 即求出 其方程. (Ⅱ)考虑两种情况,一是 l 与 x 轴垂直,结合条件判断得知此时符合题意;二是 l 与 x 轴不 垂直,设其方程为 y=kx+m,由 ,得知 m =k +1,再由
2 2 2 2



得知

OA⊥OB,即找到 x1x2+y1y2=0,然后直线和椭圆联解得到 m 与 k 的第二个关系式,联解知无 解.所以第二种不符合题意.故只有第一种符合题意.因此不存在直线 l 满足条件. 解答: 解: (Ⅰ)由 知 a +b =7,①
2 2

由 S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知 a=2c,② 2 2 2 又 b =a ﹣c ③ 2 2 由 ①②③解得 a =4,b =3, 故椭圆 C 的方程为 .

(Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2) 若 l 垂直于 x 轴时,p 点即是右焦点(1,0) ,此时不满足 若 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 得 ,即 m =k +1 ④
2 2

,直线 l 的方程不存在.





,得知 OA⊥OB 所以 x1x2+y1y2=0,



得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0,

2

2

2





又 y1?y2=(kx1+m) (kx2+m)= 由④⑤可知无解.所以此时 l 不存在. 故不存在直线方程使 成立.

,代入 x1x2+y1y2=0 中得 7m ﹣12k ﹣12=0.⑤

2

2

点评: 此题考查了椭圆的几何性质,及直线和椭圆的位置关系应用. 23. (14 分) (2015?新余二模)已知函数 f(x)=e ﹣e ﹣2x. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=f(2x)﹣4bf(x) ,当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142< <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: 对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的; 对第(Ⅱ)问,先验证 g(0)=0,只需说明 g(x)在 =2 =2(e +e ﹣2) (e +e +2﹣2b) . x ﹣x x ﹣x ①∵e +e ≥2,e +e +2≥4, ∴当 2b≤4,即 b≤2 时,g′(x)≥0,当且仅当 x=0 时取等号, 从而 g(x)在 R 上为增函数,而 g(0)=0, ∴x>0 时,g(x)>0,符合题意. ②当 b>2 时,若 x 满足 2<e +e <2b﹣2 即 ,此时,g′(x)<0, 又由 g(0)=0 知,当 综合①、②知,b≤2,得 b 的最大值为 2. (Ⅲ)∵1.4142< <1.4143,根据(Ⅱ)中 g(x)=e ﹣e 的近似值,故将 ln 即 . , ; , 得 >2, 当 时,
2x
﹣2x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

,得

时,g(x)<0,不符合题意.

﹣4b(e ﹣e )+(8b﹣4)x,

x

﹣x

为了凑配 ln2,并利用 得

代入 g(x)的解析式中,

当 b=2 时,由 g(x)>0,得 从而 令

由 g(x)<0,得 .

,得

所以 ln2 的近似值为 0.693. 点评: 1.本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力,对 思维的要求较高,属压轴题. 2.从求解过程来看,对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的 判断,是解决本题的一个重要突破口. 3.本题的难点在于如何寻求 ln2,关键是根据第(2)问中 g(x)的解析式探究 b 的值,从而 获得不等式,这样自然地将不等式放缩为 的范围的端点值,达到了估值的目的.



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