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同升湖实验学校2014届高三理科数学国庆假期



同升湖实验学校 2014 届高三理科数学国庆假期作业二
(内容:函数与导数 满分 120 分 时间 80 分钟 高三理科组命制)

一、选择题 (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 01.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e x 的单调递增区间是( A. ?? ? 1,

?? ) D. ??,1? ? [] )

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ? ?1,??

?

?

02.设曲线 y ? x 3 ? 2 x ? 4 在点 (1,3) 处的切线为 l ,则直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为( A.1 B. 2 C.4 ) D. 16 D.6

03.由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积是( A. 18 04.设函数 f ( x) ? A.[-2,2] B.38/3 C.16/3

5π ? sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? ,其中θ ∈? ?0, 12 ?,则导数 f ?( 1) 的取值范围是( ? ? 3 2 B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2]

)

05.已知函数 f ( x ) ? sin( A.向左平移

?
3

? x) ,则要得到其导函数 y ? f '( x) 的图象,只需将函数 y ? f ( x) 的图象(
B.向右平 移

)

2? 个单位 3

2? 个单位 3

C.向左平移
x

? 个单位 2

D.向右平移

? 个单位 2

06.设 f ? x ? ? e ,则
4 2 A. e ? e

? f ? x ?dx ? (
?2
4 2 B. e ? e

4

)
4 2 C. ?e ? e ? 2 4 2 D. e ? e ? 2

07.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线 方程为( ) B. y ? ?3x D. y ? 3x ? 3 )

A. y ? 3x ? 1 C. y ? ?3x ? 1

08.若 a>0,b >0,且函数 f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 D.9

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把正确答案填在题中横线上) 09、函数 y ? sin x在点(

?
3

,

3 ) 处的切线的斜率为 2



10、函数 f ?x ? ? ln x ? ln?2 ? x ? ? x 的单调递增区间为 11、已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f(x) =2f(4-x)-2x +5x,则 在点(2,f(2) )处的切线方程是 ;
2

; 曲线 y ? f ( x)

3 2 12、函数 f ( x) ?| x ? 3x ? t | , x ? [0,4] 的最大值记为

g(t),当 t 在实

数范围内变化时 g(t)最小值 为 ; 是 ;

13、曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1 , ? 3) 处的切线方程 14、如图:函数 y ? 2 sin 3x(
2

?
6

?x?

5? ) 与函数 y=2 的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是____________; 6
2 0

15、设函数 f ? x ? ? ax ? b (a≠0),若 ? f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) ,x0>0,则 x0=



三、解答题 (本大题共 3 个小题,共 45 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? ax2 ? 6bx 在 x ? ?1 处有极大值 7. (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)求 f ( x) 在 x =1 处的切线方程.

17、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 ( a (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)对任意 m ? ? 0,2? , 关于 x 的不等式 f ( x) ? 围.

? 0 )的单调递减区间是 ?1,2? ,且满足 f ?0? ? 1 .

1 3 7 m ? m ln m ? mt ? 在 x ? ?? ?,1? 上恒成立,求实数 t 的取值范 2 2

18. (本小题满分 17 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x

(1)若函数 f ( x ) 在区间 (a, a ? 1) 上 有极值,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围; (3)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf ( n) ? 2 ?

1 1 1 ? ? ??? ? . 2 3 n ?1

同升湖实验学校 2014 届高三理科数学国庆假期作业二
一、选择题 (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 01.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e 的单调递增区间是(
x

) D. ??,1? ?

A. ?? ? 1,?? 【答案】A 02.设曲线 A .1 【答案】B 03.由抛物线 A. 18 【答案】A

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ? ?1,??

?

?

[来源:学科网 ZXXK]

y ? x 3 ? 2 x ? 4 在点 (1,3) 处的切线为 l ,则直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为(
B.2 C.4 D.6

)

y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积是(
B.38/3 C.16/3

) D. 16

04.设函数 f ( x) ? A.[-2,2] 【答案】D

5π sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? ,其中θ ∈?0, 12 ?,则导数 f ?( 1) 的取值范围是( ? ? 3 2 B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2]

)

05.已知函数 f ( x ) ? sin( A.向左平移 C.向左平移 【答 案】C 06.设

?
3

? x) ,则要得到其导函数 y ? f '( x) 的图象,只需将函数 y ? f ( x) 的图象(
B.向右平 移 D.向右平移

)

? 个单位 2
4

2? 个单位 3

? 个单位 2

2? 个单位 3

x f ? x ? ? e ,则 ? f ? x ?dx ? (
?2
4 2

) C. ?e ? e ? 2
4 2

A. e ? e 【答案】D

B. e ? e
4

2

D. e ? e ? 2
4 2

07.设 a 为实数,函数 程为( ) A. y ? 3 x ? 1 C. y ? ?3x ? 1 【答案】B

f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方
B. y ? ?3x D. y ? 3 x ? 3

08.若 a>0,b >0,且函数 A .2 【答案】D

f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于(
C.6 第Ⅱ卷(非选择题 D.9 共 90 分)

)

B.3
[来源:学|科|

二、填空题 (本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把正确答案填在题中横线上) 09、函数 y ? sin x在点(

?
3

,

3 ) 处的切线的斜率为 2



1 2


10、函数

f ?x? ? ln x ? ln?2 ? x? ? x 的单调递增区间为

?0, 2 ?


11、已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f(x) =2f(4-x)-2x2+5x,则曲线 y ? f ( x) 在点(2,f(2) )处的切线方程是
y=-x 12、函数 f ( x) ?| x ? 3x ? t | , x ? [0,4] 的最大值记为 g(t),当 t 在实数范围内变化时 g(t)最小值为
3 2

【答案】10 13、曲线

? 3) 处的切线方程是 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1,

; 【答案】5x+y-2=0 图像围成一个封闭图

14、如图:函数 y ? 2 sin 3 x(

5? ) 与函数 y=2 的 6 6 4? 形, 这个封闭图形的面积是____________; 【答案】 3 ?x?

?

15、设函数

f ? x ? ? ax2 ? b (a≠0),若
. 【答案】

?

2

0

x0>0, 则 x0= f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) ,

2 3 3

三、解答题 (本大题共 3 个小题,共 45 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

f ( x) ? 2x 3 ? ax2 ? 6bx 在 x ? ?1 处有极大值 7.
(Ⅲ)求 f ( x) 在 x =1 处的切线方程.

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

? f ?(?1) ? 0, ?6 ? 2a ? 6b ? 0 ?a ? 3 ?? ?? 【答案】 (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x 2 ? 2ax ? 6b , ? , ? f (?1) ? 7, ?? 2 ? a ? 6b ? 7 ?b ? ?2


[来源:学|科|网]

f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ?12x .

2 (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ,由 f ?( x) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 2 2 由 f ?( x) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 2

∴ f ( x) 的单调增区间为 (??,?1), (2,??) , f ( x) 的单调减区间为 (?1,2) . (Ⅲ) ∵ f ?( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ? f ?(1) ? ?12, ∴切线 方程为 又∵f(1)=-13

y ? 13 ? ?12( x ? 1)即12x ? y ? 1 ? 0

17、 (本小题满分 16 分)已知函数 (Ⅰ)求

f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 ( a ? 0 )的单调递减区间是 ?1,2? ,且满足 f ?0? ? 1 .

f ? x ? 的解析式;

(Ⅱ)对任意 m ?

? 0,2? ,

关于 x 的不等式 f ( x) ?

1 3 7 m ? m ln m ? mt ? 在 x ? ?? ?,1? 上恒成立,求实数 t 的取值范围. 2 2

【答案】 (Ⅰ)由已知得,

f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,

? 函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 的单调递减区间是 ?1,2? ,

? f ? ? x ? ? 0 的解是 1 ? x ? 2

? f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 的两个根分别是 1 和 2,且 a ? 0


f ? 0? ? a2 ? 1 且 a ? 0 可得 a ? 1
? 9 ? 9 2 ? f ? ?1? ? 3 ? 2b ? c ? 0 3 得 ?b ? ? ? f ? x ? ? x ? x ? 6 x ? 1 2 ? 2 ? ? f ? ? 2 ? ? 12 ? 4b ? c ? 0 ?
?c ? 6

又?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

f ? ? x ? ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3? x ?1?? x ? 2?

? x ? ?? ?,1?时, f ? ? x ? ? 0 , f ( x) 在 ?? ?,1? 上是增函数
对 x?

?? ?,1?,当 x ? 1 时, f ( x) max ?

f (1) ?

7 2

1 3 7 m ? m ln m ? mt ? 在 x ? ?? ?,1? 上恒成立, 2 2 1 3 7 1 3 7 7 m ? m ln m ? mt ? ? , 即 m ? m ln m ? mt ? ? f ( x ) max 2 2 2 2 2 1 3 即 mt ? m ? m ln m 对任意 m ? ? 0,2? 恒成立, 2 1 2 即 t ? m ? ln m 对任意 m ? ? 0,2? 恒成立, 2 1 2 设 h ? m ? ? m ? ln m, m ? ? 0, 2? , 则 t ? h ? m?min 2
要使 f ( x) ?

h? ? m ? ? m ?
在 m?

1 m2 ? 1 ? m ? 1?? m ? 1? ? ? ,令 h? ? m? ? 0, 得m ? 1或m ? ?1 m m m

? 0,2?, h? ? m?的符号与h ? m?的单调情况如下表:

? m ? 1 时, h ? m ?min ? h ? m ?极小值 ?

1 2

?t ?

1 2

17. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x

(1)若函数 f ( x ) 在区间 (a, a ? 1) 上 有极值,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的方程

f ( x) ? x2 ? 2x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围;
1 1 1 ? ? ??? ? . 2 3 n ?1

(3)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf ( n) ? 2 ?

1 ? x ? (1 ? ln x) 1 ? ln x ln x 【答案】 (1)? f ( x) ? ,? f ?( x) ? x ?? 2 2 x x x
? 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ; ? 函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, ??) 为减函数

? 当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,而函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 有极值.

? a ?1 ,解得 0 ? a ? 1 . ?? ?a ? 1 ? 1
(2)由(1)得 f ( x ) 的极大值为 f (1) ? 1 ,令 g ( x) ? 为方程

x2 ? 2 x ? k ,所以当 x ? 1 时,函数 g ( x) 取得最小值 g (1) ? k ?1 ,又因
[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) ? x2 ? 2x ? k 有实数解,那么 k ? 1 ? 1 ,即 k ? 2 ,所以实数 k 的取值范围是: k ? 2 .
2

1 ? ln x ? 2x ? x2 , x 1 ? ln x ln x ? 2 x ? x 2 ,所以 h?( x) ? ? 2 ?2 ? 2 x ,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 令 h( x ) ? x x
(另解:? f ( x) ? x

? 2 x ? k ,? k ?

当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0

? 当 x ? 1 时,函数 h( x) 取得极大值为 h(1) ? 2
? 当方程 f ( x) ? x2 ? 2x ? k 有实数解时, k ? 2 .)
(3)? 函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 为减函数,而 1 ?

1 1 ? 1(n ? N *, n ? 2) ,? f (1 ? ) ? f (1) ? 1 n n

1 1 1 ?1 ? ln(1 ? ) ? 1 ? ,即 ln( n ? 1) ? ln n ? n n n
?ln n ? ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ??? ? ln n ? ln(n ? 1) ? 1 ?
即 1 ? ln n ? 2 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 n ?1

1 1 1 ? ? ??? ? , 2 3 n ?1

而 n ? f (n) ? 1 ? ln n ,? nf (n) ? 2 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 结论成立. 2 3 n ?1 1 2 19. (1)若任意直线 l 过点 F (0,1) ,且与函 数 f ( x ) ? x 的图象 C 交于两个不同的点 A,B,分别过点 A,B 作 C 的切线,两切线 4
交于点 M,证明:点 M 的纵坐标是一个定值,并求出这个定值;

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立, g ( x) ? a ln x

(a ? 0) 求实数 a 的取值范围;

ln 24 ln 34 ln 44 ln n4 2 ? , (3)求证: 4 ? 4 ? 4 ? ... ? (其中 e 为无理数,约为 2.71828 ). 2 3 4 n4 e
【答案】 (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 AB 的斜率必存在 设, AB : y ? kx ? 1 代入

y?

1 2 x 得 4

? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0,?

x1 x2 ? ?4 ? f ( x) ?

1 2 x , 4

f ?( x) ?

x 2

? K AM ?

x1 x x2 x x x2 , K BM ? 2 ,? AM : y ? 1 ? 1 ( x ? x1 ) , 化简得: AM : y ? 1 x ? 1 2 2 4 2 2 4

2 x 2 x1 x2 x2 ? ?1 x? 同理: BM : y ? , 解得: y ? 4 2 4

x a x 2 ? 2a 1 2 (2)令: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x(a ? 0, x ? 0) ,? F ?( x) ? ? ? 4 2 x 2x
令 F ?( x) ? 0 得: x

? 2a 所以 当 x ? (0, 2a ) ,时 F ( x) ? 0
F ( x) 在 x ? ( 2a ,??) 上单调递增;

F ( x) 在 x ? (0, 2a ) 上单调递减;所以 当

x ? ( 2a ,??) ,时 F ( x) ? 0

? y ? F ( x) 在 x ?


2a 时取得最小值, 要 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只要 F( 2a ) ? 0
,解得 a ?

x ? a ln 2a ? 0 2

e 2

(3)由(2)得,取 a ?

e x2 e x 1 有 ? ln x 化简得: 2 ln ? p 2p p x2 e
即 ln x ? 2 x4 e x2
4

变形得:

4 ln x 2 ? 4 x e x2

? ln 2 4
2

4

?

ln 34 ln 44 ln n4 ? ? ... ? 34 44 n4

?

2 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ) e 2 3 4 n

2 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ... ? ) e 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1)n
? 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ) ? 2 (1 ? 1 ) ? 2 e 2 2 3 3 4 (n ? 1) n e n e
1 2 x ? 2 x ? k ln x, 其中k ? 0 。 2

20.设函数 f ( x) ?

(1)当 k>0 时,判断

f ( x)在(0, ??) 上的单调性;

(2)讨论 f ( x ) 的极值点。

k x 2 ? 2 x ? k ( x ? 1)2 ? k ? 1 ? ? x x x k ' (Ⅰ)当 k ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 ? ? 0 在 (0 , ? ?) 恒成立, x 所以 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递增. (Ⅱ)函数的定义域是 (0 , ? ?) .
【答案】

f ' ( x) ? x ? 2 ?

( x ? 1)2 ? k ? 1 ? 0 ,得 ( x ? 1)2 ? 1 ? k ? (0 ? 1)2 ? 1,所以 令 f ( x) ? x ' 当 k ? 0 时, f ( x) ? 0 在 (0 , ? ?) 没有根, f ( x) 没有极值点;
'

当 k ? 0 时,

? ?) 有唯一根 x0 ? 1 ? k ?1, f ' ( x) ? 0 在 (0 ,

因为在 (0, x0 ) 上

f ' ( x) ? 0 ,在 ( x0 , ??) 上 f ' ( x) ? 0 ,

所以 x0 是 f ( x ) 唯一的极小值点. 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? 与函数 g ( x ) ? a ln x 在点 (1,0) 处有公共的切线,设 2 2 F ( x ) ? f ( x ) ? mg ( x) ( m ? 0) .

(I) 求 a 的值 (Ⅱ)求 F ( x ) 在区间 [1,e] 上的最小值. 【答案】 (I)因为 f (1) ? g (1) ? 0, 所以 (1,0) 在函数 f ( x ), g ( x ) 的图象上 又 f '( x) ? x, g '( x) ? 所以 a ? 1

a ,所以 f '(1) ? 1, g '(1) ? a x

1 2 1 x ? ? m ln x ,其定义域为 {x | x ? 0} 2 2 2 m x ?m F '( x ) ? x ? ? x x m x2 ? m ?0, 当 m ? 0 时, F '( x ) ? x ? ? x x 所以 F ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上最小值为 F (1) ? 0
(Ⅱ)因为 F ( x) ? 当 m ? 0 时,令 F '( x ) ? x ?

m x2 ? m ? ? 0 ,得到 x1 ? m ? 0, x2 ? ? m ? 0 (舍) x x

当 m ? 1 时,即 0 ? m ? 1 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 恒成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递增,其最小值为 F (1) ? 0 当 m ? e 时,即 m ? e2 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递减, 其最小值为 F (e) ?

1 2 1 e ? ?m 2 2

当 1 ? m ? e ,即 1 ? m ? e 2 时, F '( x ) ? 0 对 (1, m ) 成立, F '( x ) ? 0 对 ( m ,e) 成立 所以 F ( x ) 在 (1, m ) 单调递减,在 ( m ,e) 上单调递增 其最小值为 F ( m ) ? 综上,当 m ? 1 时,

1 1 1 1 m m ? ? m ln m ? m ? ? ln m 2 2 2 2 2 F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (1) ? 0

当 1 ? m ? e 2 时, F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F ( m ) ? 当 m ? e 时,
2

1 1 m m ? ? ln m 2 2 2 1 1 F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (e) ? e2 ? ? m . 2 2

22.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 在区间[0, 1]上的最大值。 【答案】 (Ⅰ)因为 令

f ' ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[x ? (a ?1)]

f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

所以 a ? 1 (由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) )

(Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, 所以 f ' ( x ) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 2 4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k

1 4 (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,
所以 k ? ? 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ?
2

1 6

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? (a,1)时,

f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减
1 3 1 2 a ? a 3 2

所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ?

当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 , f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?
2

1 , 6

当 ?1 ? a ?

1 6 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当?

6 ? a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0. 6

当a ? ?

综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?

1 6 2 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ?

1 3 1 2 a ? a 3 2

当a ? ?

6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

当?

6 ? a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6



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