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计数问题竞赛讲义题一



计数问题竞赛讲义一
一.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事情,有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方 法??在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法. 说明:分类加法计数原理针对的是“分类”

问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类 中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情,需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m 2 种不同的方法??做第 n 步有 m n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法. 说明:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其 中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分 步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的 一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: ①首先要确定“完成一件什么事”,然后确定怎样去完成?(即需要“分类”还是“分步”) ②分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理:首 先确定分步标准,其次要保证“步骤完整”,即必须并且只需连续完成这 n 个步骤,这件事才算完成. 【例题选讲】 例 1 .在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于 20 的不同 取法又共有多少种? 例 2.75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 例 3.(排数问题)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1) 可以组成多少个数字不重复的三位数? (2) 可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3) 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4) 可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5) 可以组成多少个大于 3000,小于 5421 的数字不重复的四位数? 例 4.(1)集合 A ? {a1 , a 2 , a3 ,?, a n } 的子集有多少个?为什么? (2)设 A, B , Ai 1 ? i ? k) 为集合, ( ①满足 A ? B ? {a,b} 的集合有序对(A,B)有 对?为什么? 对?为什么? ②满足 A ? B ? {a1,a2,a3, an } 的集合有序对(A,B)有 ?

③满足 A1 ? A2 ? ? ? Ak ? {a1,a2,a3, an } 的集合有序组 ( A1 , A2 , ?, Ak } 有 组?为什么? ? 例 5.(染色问题)将 4 种不同的颜色涂在下列图中的区域上,每一个区域涂一种颜色,相邻区域涂不同颜 色,则不同的涂法种数各有多少? 分析:对每一块区域逐一涂色:第一块:有 4 种颜色选择;第二块有 3 种;第三块有 2 种;第四块有 2 种, 只有四块区域全涂完这件事情才算完成了,所以涂色种数为: 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48 你还有别的解答方法吗?(能否从颜色的角度入手考虑?) ①用 4 色:共有 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种) ; ②用 3 色:共有 4 ? 3 ? 2 ? 24 (种) ; 所以一共有 24 ? 24 ? 48 (种) 变式: (1)如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上 5 种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻 区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 ① ② ③ 图一 ④ 3 2 1 4 5
1

若变为图二呢? (2)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物,如图,要求每部分栽种一种植物,相邻部分不能栽种不 同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有多少种栽种方案? A 二.排列与组合 B F 1.排列:从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n C E 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 D 2.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 An 表示。
m

n! ? , (n, m ? N , 且m ? n) (n ? m)! 4.组合:从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个
3. 排列数公式: An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ?
m

组合。 5.组合数: n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素的所有不同组合的个数, 从 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素组合数。
m An n! ? ? 6. 组合数公式: C ? , (n, m ? N , 且m ? n) m! m!(n ? m)! m n

7.解排列、组合题的基本策略与方法 (1)合理分类与准确分步 (2)有序排列,无序组合 (3)排列、组合混合问题先选后排 (4)特殊元素、特殊位置优先 (5)正难则反,等价转化 (6)相邻问题捆绑处理 (7)不相邻问题插空处理策略(8)定序问题除法处理(9)分排问题直排处理(10)构造模型的策略 【基础题型选讲】 例 1.用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字。 (1)可以组成多少个六位数? (2)可以组成多少个四位奇数? (3)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? (4)可以组成多少个能被 3 整除的四位数? (5)可以组成多少个大于 324105 的六位数? 例 2.七个人排成一排,按下列要求的有多少种排法? (1)其中甲不站排头; (2)其中甲不站排头,乙不站排尾; (3)其中甲、乙两人必须相邻; (4)其中甲、乙两人必须不相邻; (5)甲乙相邻,丙丁不相邻; (6)甲乙不相邻,丙丁不相邻; (7)其中甲、乙中间有且只有 1 人; (8)其中甲必须排在乙的右边; (9)前排 3 人,后排 4 人; (10)甲站前排,乙站后排 变式: (1)要排一个有 5 个独唱节目和 3 个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈 节目不排在一起,则不同的排法种数有( ) A. A6 A8
3 5

B. A5 A3

5

3

C. A5 A5

5

3

D. A5 A8

5

3

(2)从 6 名运动员中选出 4 个参加 4?100 m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有 种不 同的参赛方法。 (3)现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、 司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任 四项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152 B.126 C.90 D.54 (4)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排 在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 (5) 用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且 1 和
2

2 相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答)。 (6) 用 1,2,3,4,5,6,7,8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻, 3 与 4 相邻,5 与 6 相 邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有 个(用数字作答) 例 3.从 6 男 4 女中,选出 5 人,按下列要求的有多少种不同的选法? (1)甲必须当选; (2)乙不能当选; (3)甲当选一不当选; (4)至少 1 名女生至少 2 名男生, 变式: (1)某班级有 20 名男生和 18 名女生,从这 38 名学生中任选 4 名参加一个“Party” 。 (1)其中恰有 2 名女生的选法有多少种? (2)其中至少有 2 名女生的选法有多少种? (2)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种,现在餐厅准 备了 5 种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种. (3)5 个身高不等的学生站成一排合影,从中间到两边一个比一个矮的排法有( )种 A. 6 B. 8 C. 10 D.12 (4)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” ,在一个长方体中,由 两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A. 60 B.48 C. 36 D.24 例 4.从 0 到 9 这 10 个数字中选出 3 个偶数和 2 个奇数 (1)可组成多少个没有重复数字的 5 位数?(2)可组成多少个没有重复数字的被 5 整除的 5 位数? 变式: (1)25 人排成 5×5 方阵,从中选出 3 人分别担任三种不同的职务,要求这 3 人既不同行也不同列,则不 同的任职方法有多少种?(3600) (2)某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从 甲、 丙三人中产生, 乙、 最后一棒火炬手只能从甲、 乙两人中产生, 则不同的传递方案共有 种. (用 数字作答) (3) 四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓 库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( ) A.96 B.48 C.24 D.0 (4) 以集合 U ? {a, b, c, d} 的子集中选出 4 个不同的子集, 需同时满足以下两个条件: (1)a, b 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B ,必有 A ? B 或 B ? A ,那么共有 种不同的选法。 例 5.(从集合角度) 10 人组成的篮球队中,有 5 人只适于打锋,3 人只适于打卫,2 人打锋打卫即可, 现选 5 人参加比赛 3 锋 2 卫,问共有多少种不同的选择? 例 6.(1) 以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。 (2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 种(141) (3) 变式:四面体的一个顶点为 A ,从其他顶点与棱的中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一个平面上,则不 同的取法有 种(33)

[ 例

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