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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第14节 定积分与微积分基本定理



第二章 函数、导数及其应用

第十四节

定积分与微积分基本定 理(理)

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理] 一、定积分的性质
b b 1.∫akf(x)dx= k∫af(x)dx (k 为常数); b b b ∫ ∫ ∫ 2. a[f1(x)± f2(x)]dx= af1(

x)dx± af2(x)dx ; b c b ∫ ∫ ∫ 3. af(x)dx= af(x)dx+ c f(x)dx (其中 a<c<b).

第二章 函数、导数及其应用

二、定积分的几何意义 1.当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫af(x)dx 的几何意 义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积[图 1 中阴影部分].
b

第二章 函数、导数及其应用

2. 一般情况下, 定积分∫af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 曲线 f(x) 以及直线 x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和[图 2 中阴 影所表示],其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

b

第二章 函数、导数及其应用

三、微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是在区间[a, b]上的连续函数, 且 F′(x)=f(x), 那么∫af(x)dx= F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 =F(b)-F(a). ,即∫af(x)dx=
b b

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评]
41 1.∫2 dx

x

等于 B.2ln 2 D.ln 2

(

)

A.-2ln 2 C.-ln 2

41 ∫ D [ 2x dx=ln x |42=ln 4-ln 2=ln 2.]

第二章 函数、导数及其应用

2.求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是 (
2 A.S=∫1 ( x -x)dx 0 2 B.S=∫1 ( x - x )dx 0 2 C.S=∫1 ( y -y)dy 0

)

D.S=∫1 0(y- y)dy B

第二章 函数、导数及其应用

3.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6 )

第二章 函数、导数及其应用

C [y= x与 y=x-2 以及 y 轴所围成 的图形面积为如图所示的阴影部分,
? ?y = x 联立? 得交点坐标为(4,2), ? ?y=x-2
4 ∫ 故所求面积为 S= 0[ x-(x-2)]dx 2 ?4 2 3 x 16 2 ? = [3x -( 2 -2x)] 0= .] 3 ?

第二章 函数、导数及其应用

2 2 ∫ ∫ 4.若∫1 f ( x )d x = 1 , f ( x )d x =- 1 ,则 0 0 1f(x)dx=________.

解析

1 2 ∵∫2 0f(x)dx=∫0f(x)dx+∫1f(x)dx,

2 1 ∴∫2 1f(x)dx=∫0f(x)dx-∫0f(x)dx=-1-1=-2.

答案

-2

第二章 函数、导数及其应用

5.(2012· 山东高考)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围 成封闭图形的面积为 a2,则 a=________. 解析 由已知得
1 2

a S=∫0

2 3 2 3 2 a xdx=3x |0=3a2=a2,

2 4 所以 a =3,所以 a=9. 4 答案 9

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]
1.利用微积分基本定理 (即牛顿—莱布尼兹公式 )求定积分, 关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数 f(x) 的一个原函数F(x),其过程实际上是求导运算的逆运算, 即运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反 方向上求出F(x). 2.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积

非负,而定积分的结果可以为负.

第二章 函数、导数及其应用

定积分的计算

[典题导入] 求下列函数的定积分.
2 (1)∫1(x2+2x+1)dx;

(2)∫0 (sin x-cos x)dx;
2 (3)∫1|3-2x|dx.

π

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 应用微积分基本定理求定积分∫af(x)dx 时,可按以下两步进行: 第一步:求使 F′(x)=f(x)成立的 F(x); 第二步:计算 F(b)-F(a).
b

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1.求下列定积分. (1)∫0(4x3+3x2-x)dx;
2 (2)∫0|1-x|dx. 2

解析
2

2 (1)∫0(4x3+3x2-x)dx 2 2

=∫04x3dx+∫03x2dx-∫0xdx 1 22 2 3 2 =x | 0+x | 0- x | 0 2
4

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

定积分在几何中的应用
[典题导入] (2012· 上 海 高 考 ) 已 知 函 数 y = f(x) 的图 象 是 折线 段 ABC,其中
?1 ? A(0,0)、B?2,1?、C(1,0).函数 ? ?

y=xf(x)(0≤x≤1)

的图象与 x 轴围成的图形的面积为________.

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

1 ? ?2x,0≤x<2, 由题知 y=f(x)=? ?2-2x,1≤x≤1, 2 ?

1 ? 2 ?2x ,0≤x<2, 则 y=xf(x)=? ?2x-2x2,1≤x≤1, 2 ?

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究] 在本例条件下, 求 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与直线 y=x 和 x=1 所 围成的图形的面积. 解析 如图阴影部分的面积为所求.

由题意得,所求面积 S 等于△AOB 的面积减去本例中所求面积, 1 1 1 即 S= - = . 2 4 4

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图;
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、 下限; (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差; (4)计算定积分,写出答案.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练]
2 2.(1)(2014· 合肥模拟)计算∫1 1 - x dx=________. 0

解析

令 y= 1-x2,则 y2=1-x2(y≥0),

即 x2+y2=1(y≥0), 其图形为在 x 轴上方的半圆,如图,
2 则∫1 0 1-x dx 的值为阴影部分的面积,

1 π 2 所以所求值为 × π× 1= . 4 4 答案 π 4

第二章 函数、导数及其应用

(2)(2014· 东北三省四市联考)向平面区域{(x,y)|0≤x≤ 2, 0≤y≤1}内随机投入一点,则该点落在曲线
3 ? 0≤x≤1, ?x , y=? 下方的概率等于__________. 2 ? ? 2-x ,1<x≤ 2

第二章 函数、导数及其应用

解析

4? x 1 1 1 3 ? 因为 S1=∫0x dx= 4 0=4, ?

π 1 1 1 2 S2= ·π·( 2) - ×1×1= - , 8 2 4 2 1 π 1 + - ? 4 4 2 2? ?π 1? 所以 P= = 2 ? - ?. 4? 2 ?4 答案 2? 1? ?π ? - 2? 4? ?4 ?

第二章 函数、导数及其应用

定积分在物理中的应用
[典题导入] (2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到 25 紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单 1+t 位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 ( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln 2 )

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

25 由于 v(t)=7-3t+ ,且汽车停止时速度为 0, 1+t

因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离

答案

C

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时,

关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之
间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用 微积分基本定理计算即得所求.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 3.设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到

x = 10 ,已知 F(x) = x2 + 1 且方向和 x 轴正向相同,则变力
F(x)对质点M所做的功为______ J(x的单位:m,力的单位: N).

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 定积分与概率求法的创新问题 (2012· 福建高考 ) 如图所示,在边长为 1 的正方 形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率 为 ( )

第二章 函数、导数及其应用

1 A.4 1 C.6 【思路导析】 型求概率.

1 B.5 1 D.7 利用定积分求出阴影部分的面积后,根据几何概

第二章 函数、导数及其应用

【解析】 ∵由图象知阴影部分的面积是 ∫1 0( x-x)dx=
?2 3 1 2??1 2 1 1 2 ? · ? ? x - x 0= - = , 3 2 ?? 3 2 6 ?

1 6 1 ∴所求概率为1=6. 【答案】 C

第二章 函数、导数及其应用

【高手支招】 定积分的计算常与概率求法、二项式定理的 应用等交汇创新命题,解决此类创新问题的关键在于一是准

确计算定积分的值,二是利用交汇点解决所给出的问题.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考] 1.(2013· 北京高考)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂 直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 4 A. 3 8 C.3 B.2 16 2 D. 3 ( )

第二章 函数、导数及其应用

C [由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1),

2 ? x3 ??2 x 8 2 ∴所求面积 S=4-2∫0 dx=4-2 ?12?? 0= , 4 3 ? ??

故选 C.]

第二章 函数、导数及其应用

2 2 21 x ∫ ∫ 2. (2013· 江西高考)若 S1= 1x dx, S2= 1 xdx, S3=∫2 e 则 S1, 1 dx ,

S2,S3 的大小关系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

(

)

第二章 函数、导数及其应用

1 32 7 2 2 ∫ B [S1= 1x dx= x |1= , 3 3
21 ∫ S2= 1x dx=ln x|2 1=ln 2,

7 2 x x2 2 ∫ S3= 1e dx=e |1=e -e=e(e-1)>e>3, 所以 S2<S1<S3,故选 B.]

第二章 函数、导数及其应用

3.(2013· 湖南高考)若∫0 x2dx=9,则常数 T 的值为________. 解析 1 3 T 2 因为∫0 x dx= T =9,所以 3 T=3.

T

答案 3

第二章 函数、导数及其应用

课时作业



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