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平面向量的坐标运算


平面向量的坐标运算

复习回顾
? ? 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 ? 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 , ? ? ? 使 a ? ?1e1 ? ?2e2
?? ?? ? ? 我们把不共线的向量 e1 , 2 叫做 e
表示这一平面内所有向量的一组基底

平面向量基本定理

对于确定的一组基底,平面内的任一向量 会和一对实数对应

平面向量的坐标表示

如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向 ?? 同向的两个单位向量 i、 作基底. j

? 平面内的任一向量 a ,

? ? ? 有且只有一对实数x,y,使 a ? xi ? y j 成立

? 则称(x,y)是向量 a 的坐标
? 记作: a ? ( x, y )

? a

y

? a ? a

? j
O

? i

x

问题: 若已知 a =(1 1,3) , =(5 2,1), (x ,y1) b (x ,y2) 如何求 a + b , - b的坐标呢? a

y, y ) + ( , y ) x2 a + b =(x1 4 1a 2 C (6,4) =(x 3 +y j )+(x +y j)

j 2 =(x1 + x2 )i + ( y1+ y2 ) j
1 1 2

i

i

2

1 -5 -4 -3 -2 -1 o 0 -1 1 2 3 4 5

b

x

猜想:a + b =(x1+x2 ,y1+y2) 证明: -2
-3 - b =(x1-x2 ,y1-y2) a -4

平面向量的坐标运算法则

? ? 已知a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?
结论:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差)

向量的数乘运算
? 若? ? R, a ? ( x1, y1 ), 则

? ? x j ? a ? ?(?1i ? y1 ? ) ? ? x1i ? ? y1 j

? ?a ? ?





? ? a ? (? x1, ? y1 )

结论:实数与向量的积的坐标等于这个 实数乘原来向量的相应坐标

平面向量的坐标运算法则

a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则:? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (?x1 , ?y1 )

平面向量坐标运算法则应用
? ? 例 1.已知a ? (2,1), b ? (?3, 4), ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b,3a ? 4b的坐标。
(-1,5) (5,-3)

(-6,19)

探究 : 若已知 点A、B的坐标分别为 (1,3), (x1,y1) (4,2),如何求 AB 的坐标呢? (x2,y2)

y (x1,y1) 4 A(1,3) AB OB OA 3 (x2 ,y2) (x1,y1) 2 (x2,y2) (x2 x1 ,y2 y1) B(4,2)

·
1

·

1 -5 -4 -3 -2 -1 o 0 -1 2 3 4 5

x

-2 AB 的坐标可能为 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有 -3 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 (x2-x1 , y2-y1)
-4

(3,-1)

返回

已知

ABCD的三个顶点A、B、C的坐
y
6 5 4

标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),
求顶点D的坐标。 B A

C

3 2

D
1 2 3 4 5

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2

x

思考1已知

ABCD的三个顶点A、B、C的坐

标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),
求顶点D的坐标。
? AB ? (?1,3) ? (?2,1) ? (1, 2) ???? A DC ? (3, 4) ? ( x, y ) ? (3 ? x, 4 ? y ) ??? ???? ? 且 AB ? DC ?(1,2) ? (3 ? x,4 ? y) ? 1 ? 3 ? x 2 ? 4? y
解得 x=2,y=2
解:设点D的坐标为(x,y) ??? ?
B D O x y C

所以顶点D的坐标为(2,2)

y

解法2:

C B D

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? BD ? BA+ AD= BA+BC

A O
x

? (?2 ? (?1),1 ? 3) ? (3 ? (?1), 4 ? 3)
? (3, ?1)
??? ??? ??? ? ? ? OD ? OB ? BD ? (?1,3) ? (3, ?1) ? (2, 2)
∴顶点D的坐标为(2,2)

小结回顾
1.平面向量坐标的加.减运算法则

2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则 ?

a ?b

? ? =( x1 , y1) + (x2 , a ? ? b?

y2)= (x1+x2 , y1+y2)

=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)

? a ? ?( x, y) ? (? x, ? y)
AB=(x2
- x1 , y 2 – y1 )

3.平面向量坐标

若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)


拓展练习
4.已知a ? (1,0)、b ? (1,1), c ? (?1,0), 求实数? 与?,使c ? ?a ? ?b.


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