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河南省南阳市部分示范高中(五校)2015届高三上学期第一次联考理科数学试题



五校联考高三年级数学试题(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.如果命题“ p或q ”为假命题,则( A、 p, q 中至多有一个为假命题 C、 p, q 均为真命题 2.函数 y ? A、 ?1, 2 ? ) B、 p, q 均为假命题 D、 p, q 中恰有一个为真命题 ) C、 ?1, ?? ? D、 ? 2, ???

r />lg ? x ? 1? 的定义域是(
B、 ? 2, ???

3.已知函数 f ? x ? 可导,则 lim A. ?2 f '(1) 4.设 P ? B.

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? 等于( 2?x
C. ?

). D. f ( )

1 f '(1) 2

1 f '(1) 2


1 2

1 log2
11

?

1 log
11 3

?

1 log4
11

?

1 log5
11

,则(

A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3 5. 已知函数 f ( x) ? ?

B. 1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4

?sin ? x (0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 ? log 2010 x ( x ? 1)

a ? b ? c 的取值范围是( C )
A. (1, 2010) B. (1, 2011) C. (2, 2011) D. [2, 2011]

6 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,且当

x ? ?0, 2? 时, f ? x ? ? log2 ? x ?1? ,则 f ? ?2011? ? f ? 2012? ? (
A、 1 ? log 2 3 B、 ?1 ? log 2 3 C、 ?1 D、1



7. 已知函数 y=f(x)在(0,1)内的一段图象是如图所示的一段圆弧,若 0<x1<x2<1,则 A.

f ?x1 ? x1


<

f ?x2 ? x2

B.

f ?x1 ? x1

f ?x2 ? x2

C.

f ?x1 ? x1

>

f ?x2 ? x2

D.不能确定

8. 设函数 f ( x) ? sin(?x ? 条对称轴的方程是 A. x ? (

?
6

) ? 1(? ? 0) 的导函数 f ?( x) 的最大值为 3,则 f ( x) 的图象的一


?
9

B. x ?

?
6

C.

x?

?
3

D. x ?

?
2
)

9.已知: 3 cos(2? ? ? ) ? 5 cos ? ? 0, 则 tan( ? ? ? ) tan? 的值为( A.±4 B.4 C.-4 D.1

sin θ 3 3cos θ 2 ? 5π ?,则导数 f′(1)的取 10.设函数 f(x)= x+ x +tan θ ,其中 θ ∈?0, ? 12 ? 3 2 ? 值范围是 ( A. B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] )

11.已知向量

OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC
夹角的取值范围是 A. [0, ( B. [ )

?
4

]

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

12 、若关于 x 的方程 ( )

1 2 x ? ln x 2 ? 1 ? k 有四个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 2

?

?

A、 ? ? ?,

? ?

1 ? ? ln 2 ? 2 ?

B、 ?0,???

C、 ?

?1 ? ? ln 2,0? ?2 ?

D、 ?

?1 ? ? ln 2,0 ? ?2 ?

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分;直接将答案填写在答卷上,不用写计算过程.

? 1 x ?( ) , x ? 4 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为 ? ? f ( x ? 1), x ? 4



14. 设 函数 f ( x) 是 定义 在 R 上 的奇 函数 ,且 y ? f ( x) 的 图像 关于直 线 x ?

1 对 称, 则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? ____

15.设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则 值是 ____________. 16.已知函数 f ( x ) ? a ln x ? 的正实数 x1 、 x2 都有

a b c 的 ? / ? / f (a) f (b) f (c)
/

1 2 x ( a >0)若对任意两个不相等 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >2 恒成立,则 a 的取值范围是 x1 ? x2

三、解答题:共 70 分;要求在答卷上写出详细的计算与推演过程. 17. (本小题满分 10 分) 叙述并证明余弦定理

18. (本小题满分 12 分)某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员 发现海中 B 处有人求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处。若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒, 在海中的行进速度是 2 米/秒。 (不考虑水流速度等因素) (1)请分析救生员的选择是否正确; (2)在 AD 上找一点 C,使救生员 从 A 到 B 的时间最短,并求出最短时间. A C 300 米 D 300 米 B

19.本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 b2 ? ac, 且a2 ? c2 ? ac ? bc (1)求 ? A 的大小; ( 2 ) 设 f ( x) ? cos(? x ?

f ( x)在[0, ] 的最大值。 2
20.(本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? 2 处的切线斜率为 ? . (I)求实数 a 的值及函数 f ( x ) 的单调区间;

?

A ) ? sin(? x)(? ? 0) 且 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 求 2

1 2

(II) 设 g ( x) ?

x 2 ? 2kx ? k , 对 ?x1 ? (0,??), ?x2 ? (??,0) 使 得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 x

立,求正实数 k 的取值范围;

21. (本小题满分 12 分) 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且

2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求△ABC 的面积的最大值

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x) (1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x -x-a 在区间上恰有两个不同的零点,求 a 范围.
2 2

五校联考高三数学试卷(理科)参考答案 一:选择题 1—5 BDCBC,6―10CCACD,11-12CD 1. B 考查命题的有关概念 2. D 考察对数函数、根式函数的定义域 3. C 考查导数的定义 4. B 考查考查对数运算 5. C 考查三角函数、对数函数的图像 6. C 考查周期函数的概念及运算 7. C 考查曲线上的点与原点连线的斜率 8. A 考查正弦函数的对称轴 9. C 考查两角和与差的三角函数 10.D 考查三角函数的极值 11.C 考查向量的运算 12.D 考查函数的域值

二:填空题 13, 13.

1 14, 0 20

15,



16,

?1, ???

1 考查分段函数的运算 20
考查函数的对称性 考查导数的运算

14. 0 15. 0

16. ?1, ?? ? 考查函数的切线的斜率的有关概念

三:解答题: 17:略 18:解析: (1)从 A 处游向 B 处的时间 t1 ?

300 2 ? 150 2 ( s) , 2
300 300 ? ? 200 ( s ) 6 2

而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处的时间 t 2 ? 而 150 2 ? 200,所以救生员的选择是正确的.

??4 分

(2)设 CD=x,则 AC=300-x, BC ? 3002 ? x 2 ,使救生员从 A 经 C 到 B 的时间

t?

300 ? x 3002 ? x 2 ? ,0 ? x ? 300 6 2

??6 分

1 x ,令 t ? ? 0, x ? 75 2 t? ? ? ? 6 2 90000? x 2
又 0 ? x ? 75 2 , t ? ? 0;75 2 ? x ? 300 ,t? ? 0 , 知 x ? 75 2, t min ? 50 ? 100 2 (s) 答: (略) 19.(1)∵b
2

??9 分

?????11 分 ??12 分

=ac, a ﹣c

2

2

=ac﹣bc, ∴ a

2

﹣c

2

=b

2

﹣bc ,∴b

2

+c

2

﹣a

2

=bc



cosA=

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

又∵0<x< ?

∴A=

? 3

??6 分

(2).f(x)=cos( ? x-

? 1 3 3 )+sin ? x= cos ? x+ sin ? x+ sin ? x= cos ? x+ 2 6 2 2


3 ? sin ? x== sin( ? x+ ) 2 6
∴f(x)= ∵x ?

? ) 6 ? ? 7? ? ∴2x+ ] ∴x= 时 f max (x)= ? [ , 6 6 6 6
3 sin(2x+

2? =? ?

∴ ? =2 ?????9 分

3 .???12 分

20.解: (Ⅰ)由已知: f ?( x) ? 于是 f ?( x) ?

1 1 1 ? a ,∴由题知 f ?(2) ? ? a ? ? ,解得 a=1. x 2 2

1 1? x , ?1 ? x x

当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 , f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).???5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ? (x1)≤g(x2)成立,

k ? x 2 ? 2kx ? k k ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? x ? x? x ? ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.?????????12 分

21.解: 2R sin A ? sin A ? 2R sin C ? sin C ? ( 2a ? b)sin B,

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a2 ? c2 ? 2ab ? b2 ,
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab, cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 2 ? , C ? 450 2ab 2
????????????6 分

c ? 2 R, c ? 2 R sin C ? 2 R, a 2 ? b 2 ? 2 R 2 ? 2ab, sin C

2 R 2 ? 2ab ? a 2 ? b2 ? 2ab, ab ?

2R2 2? 2

1 2 2 2R2 S ? ab sin C ? ab ? ? , 2 4 4 2? 2
S max ? 2 ?1 2 R 2
????????????12 分

22.(1)存在 x0 使 n≥f(x0)min
f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ? 2 x ( x ? 2) 2 ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(0)min=1 ∴n≥1 ∴nmin=1 ?????????????????????6 分

(2)g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在上两个零点
? x+1-2ln(1+x)=a 有两个交点

令 h(x)=x+1-2ln(1+x)
h' ( x ) ? 1 ? 2 x ?1 ? x ?1 x ?1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

∴y=f(x)在上单减,(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(3)=4-2ln4 h(1)=2-2ln2

∴2-ln2<a≤1

????????????12 分



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