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高二数学 第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第2试



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第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
高二 第2试

8. 设函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ? a, b, c ? R ? , f ? 0? ? 1 .设

a ? 0, m ? 0, n ? 0 且 m ? n ? 0 , g ( x) ?
f ? x ? 为偶函数时,那么 g ? m ? ? g ?n ? (

?

f ( x), x ? 0, 当 ? f ( x), x ? 0.

) (C)小于零. (D)不能确定. )

未经“希望杯”组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不 准以任何形式(包括网络)转载。
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字 母写在下面的表格内. 1.如图 1,一个“半圆锥”的主视图是边长为 2 的正三角形,左视 图是直角三角形,俯视图是半圆及其圆心,这个几何体的体积为( ) 主视图 (A)
3 3

(A)大于零.

(B)等于零.

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? ? ? ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 sin 2 ( x ? )( x ? ? , ) ,则 f ( x ) 的零点个数为(
6 12

? ? 4 4? ?
1

(A)0.

(B)1.

(C)2.
2

(D)3.

10. Solution set of the inequality log 3 ? x ? 5? ? 1 ? log 3 25 ? x (A) ? -5,4? . (B) ? -∞,4 ? . (C) ? 4,+∞? .

?

2

?

with respect to x is(



装订线

(D) ? -5,+∞? .

左视图 二、填空题(每小题 4 分,共 40 分.) 图1 为 )
] ,则实数 a 的取值范围 11. 若 关 于 x 的 方 程 4 x ? (a ? 3) ? 2x ? 5 ? 0 至 少 有 一 个 实 根 在 区 间 [ 1 , 2 内

?.

(B)

3 6

?.

姓名

·

(C) 2 3? .

(D) 3? .

俯视图

x2 y2 2. 两个正数 a、b 的等差中项是 2,一个等比中项是 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率是( a b
(A) 3 . (B) 10 . (C)
10 3

. 12. 实数 x, y 满足 2x ? 4 xy ? 2 y ? x y ? 20 ,则 2 2 ? x ? y ? ? xy 的取值范围是
2 2 2 2

. . .

班 考号

装订线

.

(D) 10 或

10 3

.

13. 若对任意 x ? R ,不等式 x ? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2 2

?x ? 0 x ? y ? 3. 设 x、y 满足 ? y ? 0 ,则 的取值范围是( x ? 2 ?x ? y ? 1 ?
(A)[0,1]. (B)[?1,0] .
1 x

14. 过点 P(0, 5) 作圆 x ? y ? 4 的切线,则两个切点 A、B 所在的直线 AB 的方程是 )

学校

15. 有一几何体是由圆柱被一个平面截得的,已知截面是一个椭圆,其长轴是 5,短轴是 4,被截后的圆柱 最短母线长为 1,则该几何体的表面积是 (D)[?2,2] .
1 2

. 项.
o

(C)(??,?).

16. 已知数列 3 , 7 , 11 , 15 ,??,则 3 11 是它的第
, 1 , 2 , 3} 的所有非空子集中, “和

4. 对于任意 x ? A , 都有 谐”集有( ) (A)2 个.

? A, 则称集合 A 是 “和谐” 集.在集合 M = {0 ,

17. 等边△ABC 的边长为 2 2 ,AD 是 BC 边上的高,将△ABD 沿 AD 折起,使之与△ACD 所在平面成 120 的二 面角,这时 A 点到 BC 的距离是 .

(B)3 个.
2 x

(C)4 个.

(D)5 个.

市(县)

5. 已知函数 f ? x ? ? x ?

的定义域为 ? 0, ?? ? .设点 P 是函数 f ? x ? 的图像上的任意一点,过点 P 分别作直 是 ) (D)4. 为

18. 抛两个各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 的均匀的正方体玩具,“向上的两个数之和为 3”的概率 . 19. 经 过 两 条 直 线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 与 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 垂 直 的 直 线 方 程 . 20. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,它同时满足具有下述性质:
3 ①对任何 x ? R 均有 f x3 ? f ? x ? ;②对任何 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

装订线

线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M , N ,则 PM ? PN 的值为( (A)1. 6. 设函数 f ? x ? ? 域是( )
x

(B)2.

(C)3.

省(自治区、直辖市)

1? ? 1? 3 ? ( x ? R ) ,若 ? x? 表示不大于 x 的最大整数,则函数 y ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的值 2? ? 2? 1 ? 3x ?

(A) ? ?

? ? ?

3 3

,

?. 3 ? ?
m ?1 x

3?

(B) ? ?

? ? ?

2 3

,

?. 3 ? ?

2?

(C) ?-1,

? ? ?

?. 3 ? ?

3?

(D) ? ?

? ? ?

3 3

,

2? 3 ? ?

? ?

?.

则 f ?0? ? f ?1? ? f ? -1? ? 三、解答题


高二 第二页 共四页

7. 函数 f ( x ) ?

? 2 有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是(



每题都要写出推算过程.

(A)[-1,+∞).

(B)(-1,+∞) .

高二 ( 第一页 共四页 C)[-1,1] .

(D)[1,+∞).

21.(本题满分 10 分)

已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 2, an ? 1 ? an (an?1 ? 1) , bn ? an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 和为 Sn . (1)设 Tn ? S2n ? Sn ,求证: Tn?1 ? Tn ; (2)求证:对任意的 n ? N 有 1 ?
?
n 2 ? S 2n ? 1 2 ? n 成立.

F1、F2 为椭圆的两焦点,当点 P 不在 x 轴上时,过 F1 作∠F1PF2 的外角平分线的垂线 F1M,垂足为 M,当点 P 在 x 轴上时,定义 M 与 P 重合. (1)求 M 点的轨迹 T 的方程;
(2)已知 O(0, 0) 、 E (2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q:Q 是轨迹 T 内部的整点(平面内 横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ 的面积 S?OEQ ? 2 ?若存在,求出点 Q 的坐标, 若不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)ex ( x ? R) . (1)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,试求出 a 关于 b 的关 系式(用 a 表示 b ),并确定 f ( x ) 的单调区 间;
2 x?4 (2)在(1)的条件下,设 a ? 0 ,函数 g ( x) ? (a ? 14)e .若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1

成立,求 a 的取值范围.

高二

第三页

共四页

高二

第四页

共四页

23. (本题满分 15 分)已知如图,椭圆方程为

x

2

16

?

y b

2 2

? 1 (4 ? b ? 0) . P 为椭圆上的动点,



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