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必修一2.2.2 指数函数


第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

2.2.2 指数函数

问题情境1: 折纸游戏
层数y关于折叠次数x的函数为:

y ? 2 , x ? N?
x

面积y关于折叠次数x的函数为:

?1? y ? ? ? , x ? N? ?2?

x

问题情境2:
放射性碳法测定古物年代:在动植物的体内都含
有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈 代谢,不再产生14C,且原有的14C会自动衰变.每经 过一年残留量剩余为原来的0.999879倍.若14C的 原始含量为1,则经过x年后14C的残留量为多少?

残留量y关于年数x的函数关系为:

y ? 0.999879
x

, x ??0, ???

?1? x y ? 2 , y ? , y ? 0.999879 问题1: ? ? ?2?
x

x

它们具有哪些相同的 特征?

y=a

x

自变量出现在指数上

底数a是一个常数

探讨:若使该函数定义域为R, 底数a的取值范围是 什么?为什么?

【数学建构】

一般地,函数y=ax (a>0,a≠1) 叫做 指数函数,其中x是自变量,定义域 为R.
问题2:
您打算如何去 研究指数函数?

x x y ? 2 , y ? 3 在不同的坐标系中画出函数
的图象.

x




-2
1 4 1 9

-1
1 2

0
1 1

1
2 3

2
4 9


… …

2x
3x



1 3

y

y

y

y ? 10

x

y ?3
y?2
x

x

0

x

0

x

0

x

y

y

y

y ? 10

x

y?2

y ?3
x

x

0

x

0

x

0

x

x ?1? 画出函数 y ? ? ? 的图象. ?2?

问题3:

在画图过程中您 发现指数函数有 哪些性质?

x y ? a 指数函数 的图象与性质:

a>1
y

0<a<1
x

y?a
1

y?a

x

y

图 象
o

(a ? 1)
x

(0 ? a ? 1)
1

o

x

(1)定义域

R ( 0 , + ∞) 过定点 ( 0 , 1 ) 在(-∞,﹢∞)上 是单调增函数 在(-∞,﹢∞)上 是单调减函数

性 质 (3)定 点
(4)单调性

(2)值 域

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

1 0
x

1

0

x

三、深入探究,加深理解
y

引导学生 观察图象,发 现图象与底的 关系

在第一象限 沿箭头方向 底增大

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图象 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y ? 2x

y ? 3x

1

1

0

1

x

0

1

x

y
y ? 2x

y

y ? 3x

1

1

0

1

x

0

1

x

a>1
y 图象
1

0<a<1
y

1

o

x

o

x

定义域 一 般 性 质 值域 奇偶性 对称性 定点

R

探 究
: 指 数 函 数 性 质

( 0 , + ∞)
非奇非偶

非对称图形
过定点 ( 0 , 1 ),即 x =0时,y=1

单调性
特 殊 性 质 值域的分布 图象的走势

在R上是增函数
当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1

在R上是减函数
当x>0时, 0<y<1 当x<0时, y>1

无限接近x轴,但始终在x轴上方

【数学运用】 例1 比较下列各组数中两个值的大小:

?3? ? 3? (1) ? ? , ? ? ; ?2? ? 2?

2.5

3.2

?3? 解:考察指数函数 y ? ? ? , ?2?
x

x

3 ?1 2

?3? 所以 y ? ? ? , 在R上是单调递增函数,又因为 ?2? 2.5<3.2
所以

?3? ? ? ?2?

2.5

? 3? ?? ? ? 2?

3.2

【数学运用】

?3? ?4? (2) ? ? , ? ? . ?2? ?5?
解:有指数函数的性质知

2.5

3.2

?3? ? ? ?2? ?4? ? ? ?5?
所以

2.5

?3? ? ? ? ? 1, ?2? ?4? ? ? ? ? 1, ?5?
2.5
0

0

3.2

?3? ? ? ?2?

?4? ?? ? . ?5?

3.2


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