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2011高考函数试题[1]



一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 5)对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对 称”是“ y = f ( x ) 是奇函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要

2. (2011 年高考山东卷理科 9)函数 y ?

r />x ? 2 sin x 的图象大致是 2

3. (2011 年高考山东卷理科 10)已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当

0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D )9

11. (2011 年 高 考 全 国 新 课 标 卷 理 科 12) 函 数 y ?

1 的 图 像 与 函 数 x ?1

y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标之和等于

(A)2

(B) 4

(C) 6

(D)8

13. (2011 年高考天津卷理科 8)对实数 a 与 b , 定义新运算 “? ” :a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设 ?b, a ? b ? 1.

2 2 函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共

?

? ?
? ?

?

点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

) B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

3? 2?

? ?

3? ? 4?

C. ? ??, ? ? ?

? ?

1? 4?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

D.

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? ?

16. (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 x ? ? 闭图形的面积为

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D.

3

17. (2011 年高考湖南卷理科 8)设直线 x ? t 与函数 f ?x ? ? x 2 , g ?x ? ? ln x 的图像分别交于 点 M , N ,则当 MN 达到最小时的 t 值为

A. 1

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

29. (2011 年高考福建卷理科 9)对于函数 f (x) =asinx+bx+c (其中, a,b ? R,c ? Z) ,选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1) ,所得出的正确结果一定不可能 是 ..... A.4 和 6 二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 16)已知函数 f(x) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3 <b<4 时,函数 f(x)的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= . B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2

6. (2011 年高考四川卷理科 16)函数 f(x) 的定义域为 A,若 x1,x 2 ? A且f(x1) =f(x 2) 时总有 x1 =x 2,则称f(x) 为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命 题: ① 函数 f(x) = x (x ? R)是单函数;
2

② 若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ? A且x1 ? x 2,则f(x1) ? f(x 2); ③ 若 f:A ?B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④ 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)

12 . (2011 年 高 考 上 海 卷 理 科 13) 设 g ( x) 是 定 义 在 R 上 , 以 1 为 周 期 的 函 数 , 若

f ( x) ? x ? g ( x) 在 [3, 4] 上 的 值 域 为 [?2,5] , 则 f ( x) 在 区 间 [?10,10] 上 的 值 域
为 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 21)(本小题满分 12 分) 某 企 业拟建造如图所示的容器 (不计厚度, 长度单位: 米) , 其中容器的中间为圆柱形, 。

左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米, 且 l≥2 r .假设该容器的建造费用仅与 3
其表面积有关 .已知圆柱形部分每平方米建造费用 为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) . 设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 2.(2011 年高考浙江卷理科 22)(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ln x(a ? R)(Ⅰ) 若 x ? e 为 y ? f ( x) 的极值点, 求实数 a(Ⅱ) 求实数 a 的取值范围, 使得对任意 x ? (0,3e] 恒有 f ( x) ? 4e2 成立 注: e 为自然对数的底数

3.(2011 年高考辽宁卷理科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)设 a>0,证明:当 0<x<

1 1 1 时,f( +x)>f( -x) ; a a a

(III)若函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明: f ’( x0)<0. 7. (2011 年高考天津卷理科 19)(本小题满分 14 分)
2 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax , x ? 0. ( f ( x ) 的图像连续不断)

(Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

( Ⅲ ) 若 存 在 均 属 于 区 间 ?1,3? 的 ? , ? , 且 ? ? ? ? 1 , 使 f (? ) ? f ( ? ) , 证 明

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3
12. (2011 年高考湖北卷理科 21)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? 1, x ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk (k ? 1, 2,3?n ) 均为正数,证明:
k k (1)若 a1b1 ? a2b2 ? ?a nbn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,则 a1k a2 ?an ? 1;
1 2 n

k k 2 2 (2)若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 ? b1k b2 ?bn ? b12b2 ?bn
1 2 n

1 n

13.(2011 年高考陕西卷理科 19)(本小题满分 12 分)如图,从点 P 1 (0, 0) 作 x 轴的垂线交 曲线 y ? e x 于点 Q1 (0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P 2 ,再从 P 2 作 x 轴的垂线交 曲线于点 Q2 , 依次重复上述过程得到一系列点:P Q1 ; 1,

P2 , Q2 ;
( k ? 1, 2,

; P n , Qn 记 P k 点 的 坐 标 为 ( xk ,0)

,n)

(Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 ? k ? n ) (Ⅱ)求 | PQ 1 1 |?| P 2Q2 | ?

? | PnQn |

16.(2011 年高考四川卷理科 22) (本小题共 l4 分) 已知 函数 f(x)=

2 1 x+ , h(x)= 3 2

x.

(I)设函数 F(x)=f(x)一 h(x),求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4 [ (Ⅲ)试比较 f (100)h(100) ?
100

3 3 f ( x ? 1) ? ]=1og2 h(a-x)一 log2h (4-x); 2 4

? h(k ) 与 6 的大小.
k ?1

1

22.(2011 年高考上海卷理科 20)(12 分)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满
x x

足 ab ? 0 。 (1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。



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