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湖南省浏阳一中2015-2016学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题 文


高二下期数学文科第一次阶段性测试试卷
班级_______ 姓名______ 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 4 ? 3i

3 ? 4i ?( i

) C. 4 ? 3i D. ?4 ? 3i

B. ?4 ? 3i

2.命题“存在实数 x ,使 x ? 1 ”的否定是( ) (A) 对任意实数 x , 都有 x ? 1 (B)不存在实数 x ,使 x ≤ 1 (C) 对任意实数 x , 都有 x ? 1 (D)存在实数 x ,使 x ? 1 3.已知随机变量 x, y 的值如右表所示,如果 x 与 y 线性

9 ,则实数 b 的值为 2 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 2 2 6 6 4.已知命题 p : ?4 ? x ? a ? 4 ,命题 q : ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 q 是 p 的充分而不必要条件,
相关 且回归直线方程为 y ? = bx + 则 a 的取值范围是 A.

??1,5?

B.

??1,5?

C.

? ?1,5?

D.

? ?1,5?

5. 观 察 下 列 各 式 : a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,? , 则

a1 0 ? b 1 0 ?( )
(A)28 (B)76 (C)123 (D)199

?x ? y ? 2 ? 6.已知 O 是坐标原点,点 A ? ?2,1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 ?y ? 2 ? ??? ? ???? ? 上的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围是
A. ? ?1,0? B. ? ?1,2? C. ?0,1? D.

?0, 2?
第 7 题图

7.按照如图的程序运行,已知输入 x 的值为 2 ? log2 3 , 则输出 y 的值为 A. 7 C. 12 8.参数方程 B. 11 D. 24 (t 为参数)表示什么曲线( )

A. 一条直线 B. 一个半圆 C. 一条射线 D. 一个圆

9 函数 f ( x) ? (2 x ? 3)e 的单调递增区间是(
x



-1-

1 A. (??, ) 2

1 B. ( , ??) 2

1 C. (0, ) 2
( ) C.

D.

(2, ??)

10 若 x ? R ,则下列不等式恒成立的是 A. 2 x ?

( x ? 1) 2 2

B. lg( x 2 ? 1) ? lg 2 x

1 ?1 x ?1
2

D. x 2 ? 1 ? 2 x

11 如图, F 1 、 F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 : 分别是 C1 与 C2 在第二、四象限的公共点. ,则 C1 的离心率是

x2 ? y 2 ? 1 的公 共焦点, A 、 B 2
若四边形 AF 1BF 2 为矩形
第 11 题图

1 A. 2

B.

2 2

C.

3 2

1 D. 3

12. f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a, b , 若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf (a ) ) B. bf (a ) ? af (b) C. af (a ) ? bf (b) D. bf (b) ? af (a )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 13.已知复数 z=(3+i) (i 为虚数单位),则|z|=________ 14.双曲线 x +ky =1 的一条渐近线的斜率是 2,则 k 的值为 _________ 15.以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,直线的参数方程为 ? 线的距离是 .
2 2 2

? ? x ? 3t ( t 为参数) ,则圆心到直 ? ?y ? t

16.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石 子能排列的形状对数进行分类,如下图中的实心 点个数 1,5,12,22,?, 被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个五 角形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数 记作 a3 ? 12 ,第 4 个五角形数记作 ??, 若按此规律继续下去, a4 ? 22 , (1) a5 ? _________; (2) 若 an ? 117 , 则n . 第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
-2-

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 c ? (Ⅰ)求角 C 和角 A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积 S .

3 , b ? 1 , B ? 30?

18. (本小题满分 12 分) 某城市随机抽取一年 (365 天) 内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据, 结果统计如下: [0,50] (50,100] (100,150] (150, 200] (200, 250] (250,300] ? 300 API 空气质量 天数 优 4 良 13 轻微污染 18 轻度污染 30 中度污染 9 中度重污染 11 重度污染 15

(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 ω)的关系式为:
0 ? ? ? 100, ?0, ? S ? ?4? ? 400, 100 ? ? ? 300, ?2000, ? ? 300. ?

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附:

P(K2 ≥ k0) k0

0.25

0.15

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

1.32 2.07 3 2 2 n(ad ? bc) K2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 供暖季 非供暖季 合计

非重度污染

重度污染

合计

100

19. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方 程为 .

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

-3-

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 ,且 S3 ? S5 ? 50 , a1 , a4 , a13 成等比数 列. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {

bn } 是首项为 1 公比为 2 的等比数列,求数列 {bn }前 n 项和 Tn . an

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 形的四个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx 交椭圆 C 于 A, B 两点,在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上存在点 P ,使得 ?PAB 为 等边三角形,求 k 的值.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, 一内角为 60? 的菱 a 2 b2

22. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c ( a, b, c 是 常 数 ) 在 x ? e 处 的 切 线 方 程 为

(e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,且 f (1) ? 0 .
(Ⅰ)求常数 a, b, c 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x) ( m ? R )在区间 (1,3) 内不是单调函数,求实数 m 的取值范
2

围.

-4-

一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 A

2 c
/

3] D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 C

9 B

10 A

11 C

12 D

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 ) 13.10; 14.-1/4 三、解答题: 16 解: (Ⅰ)∵ 15.

3;

16. (1)35; (2)9.

sin C c 3 3 ? ? sin C ? , ∵c > b , ∴C ? B , sin 30? ? sin B b 1 2
? ? 或 C ? 120 , A ? 30 ????????6 分

? ? ∴ C ? 60 , A ? 90

注:只得一组解给 5 分. (Ⅱ)当 A ? 90 时, S ? bc sin A ? ; 2 2
?

1

3

当 A ? 30 时, S ?
?

1 3 , bc sin A ? 2 4

所以 S=

3 3 或 2 4 ???????????12 分

注:第 2 问只算一种情况得第 2 问的一半分 3 分. 17 解: (Ⅰ)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A ??1 分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,??3 分

P ( A) ?

39 ?????????.4 分 100
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85
2

(Ⅱ)根据以上数据得到如下列联表: 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100 ??????.8 分

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 ?????????.10 分 85 ?15 ? 30 ? 70
2

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ?????????.12 分 18.解: (1)∵曲线 C 的参数方程为 ∴曲线 C 的普通方程是 , ,

-5-

∵点 P 的极坐标为 ∴点 P 的普通坐标为(4cos

, ,4sin ) ,即(0,4) ,

把(0,4)代入直线 l:x﹣y+4=0, 得 0﹣4+4=0,成立, 故点 P 在直线 l 上. (2)∵Q 在曲线 C: ∴ 上, (0°≤α<360°) 到直线 l:x﹣y+4=0 的距离:

= ∴

, (0°≤α<360°) .

3? 2 5? 4 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 19 解: (Ⅰ)依题得 ? 2 2 ??????2 分 ?(a ? 3d )2 ? a (a ? 12d ) ? 1 1 1
解得 ?

?a1 ? 3 ??????4 分 ?d ? 2

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ,即? an ? 2n ? 1?????6 分
(Ⅱ)

bn ? 2n?1 , bn ? an ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ??????7 分 an
① ②????9 分

?Tn ? 3? 20 ? 5 ? 21 ? 7 ? 22 ???? ? (2n ?1)? 2n?1

2Tn ? 3? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ???? ? (2n ?1)? 2n?1 ? (2n ? 1)? 2n
两式相减得: Tn ? ?3 ? 2 ?

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)?2n 1? 2

? 1 ? (2n ?1)? 2n ??????13 分
x2 y 2 20 解:(Ⅰ)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a b
一内角为 60 的菱形的四个顶点,
?

所以 a ? 3, b ? 1,

-6-

椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1?????? 4 分 3

(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? ,则 B ? ? x1 , ? y1 ? (i)当直线 AB 的斜率为 0 时, AB 的垂直平分线就是 y 轴,

y 轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P(0,3) ,
又 AO ?

3, PO ? 3 ?| AB |?| PA |?| PB |? 2 3 ,

所以 ?PAB 是等边三角形,所以 k ? 0 满足条件;??????6 分 (ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设 AB 的方程为 y ? kx

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 所以 ? 3 ,化简得 (3k ? 1) x ? 3 ? y ? kx ?
所以 AO ? 1 ? k 2 又 AB 的中垂线为 y ? ?

解得 x1 ?

3 3k ? 1
2

3 3k 2 ? 3 ?????? 8 分 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 x ,它 l 的交点记为 P( x0 , y0 ) k

3k ? x0 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? k ?1 由? 解得 ? 1 y?? x ? y ? ?3 ? k ? 0 ? k ?1 ?

9k 2 ? 9 则 PO ? ?????? 10 分 (k ? 1)2
因为 ?PAB 为等边三角形, 所以应有 PO ? 3 AO

代入得到

9k 2 ? 9 3k 2 ? 3 ,解得 k ? 0 (舍) , k ? ?1 ? 3 (k ? 1)2 3k 2 ? 1
b , x

综上可知, k ? 0 或 k ? ?1 ?????? 13 分
' 21 解: (Ⅰ)由题设知, f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ( x ) ? a ?

因为 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , 所以 f ' (e) ? ?

e ?1 b e ?1 ,且 f (e) ? 2 ? e ,即 a ? ? ? ,且 ae ? b ? c ? 2 ? e , e e e

又 f (1) ? a ? c ? 0 ,解得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 ??????5 分
-7-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) 因此, g ( x) ? x2 ? mf ( x) ? x2 ? mx ? m ln x ? m( x ? 0)
' 所以 g ( x) ? 2 x ? m ?

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) ??????7 分 x x

令 d ( x) ? 2x2 ? mx ? m( x ? 0) . (ⅰ)当函数 g ( x) 在 (1,3) 内有一个极值时, g ' ( x) ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,即

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,又因为 d (1) ? 2 ? 0 ,当 d (3) ? 0 ,即
m ? 9 时, d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根 x ?

3 ,当 d (3) ? 0 时,应有 2

d (3) ? 0 ,即 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 ,所以有 m ? 9 .
(ⅱ)当函数 g ( x) 在 (1,3) 内有两个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有两个根,即二次函数
'

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,
?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0 ? d (1) ? 2 ? m ? m ? 0 ? ? 所以 ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 8 ? m ? 9 . ? ?1 ? m ? 3 ? ? 4
综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) ??????13 分

-8-


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