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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-1 平面向量的实际背景及基本概念



成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
平面向量

第二章 平面向量

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第二章
2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第二章 平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

2.1

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课前自主预习

第二章

2.1

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温故知新 1.我们已经学习过位移、速度、力等,你能总结出它们
既具有大小又具有方向的量 的特点吗?特点为________________________________.

2.在学习三角函数线时,我们已经学习过有向线段了, 你还记得吗?
可以看作带有方向的线段 所谓有向线段就是________________________,三角函数 有向线段 线都是_____________.

第二章

2.1

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新课引入 12 届全国数学奥林匹克竞赛出了一道有趣的狼追兔子的 计算题.

第二章

2.1

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如图,直线 L 是树林的边界,兔子和狼分别位于直线 L 的 垂线 AC 上的 A 点和 B 点处(AB=BC=a).它们都以固定的速 度奔跑,且兔子的奔跑速度是狼的两倍.如果狼比兔子早到或 者与兔子同时到达某点,兔子就会被狼逮住. 设兔子沿线段 AD 进入树林,那么 D 点应该在何处,兔子 才不会被狼逮住呢?

第二章

2.1

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自主预习 1.概念
大小 方向 (1)向量:既有_______,又有_____的量叫做向量,如力,

位移等.
方向 (2)数量: 只有大小, 没有________的量称为数量, 如年龄、

身高、长度、面积、体积、质量等.

第二章

2.1

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[破疑点]向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方 向;数量之间可以比较大小,而向量之间不能比较大小. (3)有向线段:带有______的线段叫做有向线段.其方向是 方向 → 起点 终点 由______指向______,以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB → (如图所示),线段_____的长度也叫做有向线段AB 的长度,记作 AB → |AB|.书写有向线段时,起点写在终点的前面,上面标上箭头.

第二章

2.1

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起点、方向、长度 (4)有向线段的三个要素:______________________.知道
终点 了有向线段的起点、方向、长度,它的_______就唯一确定.

第二章

2.1

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下列物理量中不是向量的有( (1)质量 (7)功 (2)速度 (3)力

) (5)路程 (6)密度

(4)加速度

(8)电流强度 B.4 C.3 D.2

A.5
[答案] A

第二章

2.1

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[解析]

看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的

两个要素:大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理 本身的意义作出判断,(2)(3)(4)既有大小也有方向,是向量, (1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向,不是向量.

第二章

2.1

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2.向量的表示法

有向线段 (1)几何表示:用__________表示,此时有向线段的方向就
长度 是向量的方向.向量的大小就是向量的_______ → → 果向量AB的长度记作 |AB| .
(2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b, c,?表示向量,书写时,可写成带箭头的小写字母 → , → , a b (或称模),如

→ ,?.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, c
→ 如以A为起点,以B为终点的向量记为AB.

第二章

2.1

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在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则 它们的终点组成____________.
[答案] 一个圆
[解析] 模长相等的向量放在同一起点上,则各终点到该起

点的距离相等,所以各终点应在同一个圆上.

第二章

2.1

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3.有关概念

第二章

2.1

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第二章

2.1

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[总结]①共线向量所在直线平行或重合.如果两个向量所 在的直线平行或重合,则这两个向量是平行向量. ②在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同 且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相 等向量.

第二章

2.1

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单位向量的长度等于(

)

A.0 B.1 C.2 D.不确定

[答案] B

第二章

2.1

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如图所示,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三 角形,

→ (1)图中与AB共线的向量有________;

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→ (2)图中与AB相等的向量有________; → (3)图中与AB模相等的向量有________; → (4)图中与EC相等的向量有________.

第二章

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[答案]

→ → → → → → → (1)DC、CD、BE、EB、AE、EA、BA

→ → (2)DC、BE → → → → → → → → → (3)DC、CD、BA、BE、EB、DA、AD、CB、BC → (4)BD

第二章

2.1

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[解析]

根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形.

第二章

2.1

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课堂典例讲练

第二章

2.1

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思路方法技巧
命题方向1 向量的基本概念
下列命题正确的是________. → → ①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一条 直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; → → ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC;

第二章

2.1

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⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. [分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特

征进行逐一考察,注意各自的特例对命题的影响.
④⑤

[答案]

第二章

2.1

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给出下列几种说法: ①若非零向量a与b共线,则a=b; ②若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ③若两向量可移到同一直线上,则两向量相等; ④若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中错误的序号是____________.
[答案] ①②③④

第二章

2.1

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[解析]

①错误.共线向量指向量的基线互相平行或重

合,其方向相同或相反,所以共线向量未必相等. ②错误.向量是既有大小,又有方向的量,不能比较大 小. ③错误.两向量可移到同一直线上,则表示两向量的有 向线段在同一条直线上,但两向量的大小和方向不一定都相 同. ④错误 .当b=0时,则a与c就不一定平行了.

第二章

2.1

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命题方向2

依据图形写相等或共线向量
如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四

边形OAED、OCFB都是正方形.

在图中所示的向量中:

第二章

2.1

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→ → (1)分别写出与AO、BO相等的向量; → (2)写出与AO共线的向量; → (3)写出与AO的模相等的向量; → → (4)向量AO与CO是否相等?

第二章

2.1

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[解析]

→ → → → (1)AO=BF,BO=AE;

→ → → → (2)与AO共线的向量为:BF,CO,DE; → → → → → → → → (3)|AO|=|CO|=|DO|=|BO|=|BF|=|CF|=|AE|=|DE|; (4)不相等.

第二章

2.1

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以边长为2的正方形的中心O为起点,分别以各顶点、各 边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h. (1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正 方形ABCD中找出与它们相等的向量; → → → → (2)试找出分别与AB、BC、AC、BD共线的向量.

第二章

2.1

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[解析] 1,

(1)作出图形如图,由已知,有|a|=|c|=|e|=|g|=

|b|=|d|=|f|=|h|= 2 ,而在正方形ABCD中,|AB|=|CD|= |BC|=|AD|=1,|AC|=|BD|= 2.

第二章

2.1

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→ → → → 又已知两正方形对应边平行,所以AB=DC =a,BC =AD → → → → → → → =c,BA =CD =e,CB =DA =g,AC =b,CA =f,BD =d, → DB=h. (2)已知两正方形对应边平行,则对应对角线也平行,所 → 以与AB共线的向量有:a、e; → 与BC共线的向量有:c、g; → 与AC共线的向量有:b、f; → 与BD共线的向量有:d、h.
第二章 2.1

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规律总结:(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素: 大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,也可 以看出,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相 同.(2)对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素, 与向量的大小无关.故寻找非零共线向量时,只需判断两向 量所在的直线是否共线或者重合即可.

第二章

2.1

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命题方向3

向量的几何表示与向量的应用
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,

然后又改变方向向西偏北50° 走了200 km到达C点,最后又改变 方向,向东行驶了100 km到达D点. → → → (1)作出向量AB、BC、CD; → (2)求|AD|.

第二章

2.1

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[解析]

→ → → (1)向量AB、BC、CD,如图所示.

→ → → → (2)由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线, → → 又|AB|=|CD|, ∴在四边形ABCD中, AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形.

→ → → → ∴AD=BC.|AD|=|BC|=200 km.

第二章

2.1

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规律总结:1.准确画出向量的方法是先确定向量的起 点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终 点. 2.要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模 型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向,需要在 日常学习中不断积累经验.

第二章

2.1

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飞机从A地按北偏西15° 的方向飞行1400km到达B地,再 从B地按东偏南15° 的方向飞行1400km到达C地,那么C地在A 地什么方向?C地距A地多远?

第二章

2.1

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[解析]

→ 如图所示,AB表示飞机从A地按北偏西15° 方向飞

→ 行到B地的位移,则|AB|=1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移, → 则|BC|=1400km.

第二章

2.1

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→ 所以AC为从A地到C地的位移. 在△ABC中,|AB|=|BC|=1400,且∠ABC=(90° -15° )- 15° =60° ,所以∠BAC=60° ,且|AC|=1400. 所以C地在A地北偏东60° -15° =45° ,距离A地1400km.

第二章

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名师辨误作答
1.混淆向量的模与绝对值 给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a| =|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a∥b,b∥ c,则a∥c.其中,正确的命题有( A.0个 [错解] D B.1个 ) C.2个 D.3个

第二章

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[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误,将向量的模 与绝对值混淆. [思路分析] ①忽略了0与0的区别,a=0;②混淆了两个 向量的模相等和两个实数相等,两个向量的模相等,只能说 明它们的长度相等,它们的方向并不确定;③两个向量平 行,可以得出它们的方向相同或相反,未必得到它们的模相 等;④当b=0时,a、c可以为任意向量,故a不一定平行于c.
[正解] A

第二章

2.1

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2.对零向量理解错误 下列说法中错误的是( A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 [错解] B或D )

第二章

2.1

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[错因分析] 误认为零向量没有方向.另外,没有理解零 向量的长度的意义. [思路分析] 零向量是规定了模为0的向量,其方向没有 规定,是任意的,可以看作和任一向量平行,但并不是没有 方向.
[正解] A

第二章

2.1

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3.对共线向量的理解错误 → → “若向量 AB 与 CD 是共线向量,则四点A、B、 C、D必在同一直线上”这种说法是否正确?为什么? [错解] 正确.因为共线是指在同一直线上.

[错因分析] 错误地理解共线向量的概念. [思路分析] 共线向量只要求方向相同或相反即可,并不 → → 要求两个向量 AB 与 CD 在同一直线上,向量是可以自由平移 的.
[正解] 不正确.因为是向量可以自由平移.
第二章 2.1

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第二章

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