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排列组合基础知识打印版



排列组合基础知识 一、两大原理 1.加法原理 (1)定义:做一件事,完成它有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 中不同的方法, 第二类方法中有 m2 种不同的方法......第 n 类方法中 mn 种不同的方法,那么完成这件 事共有 N ? m1 ? m2 ? ...? mn 种不同的方法。 (2)本质:每一类方法均能独立完成该任务。 (3)特点:分成几类,就有几项相加。 2.乘法原理 (1)定义做一件事,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有 m1 中不同的方法,做 第二个步骤有 m2 种不同的方法......做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法,那么完成这件 事共有 N ? m1m2 ...mn 种不同的方法。 (2)本质:缺少任何一步均无法完成任务,每一步是不可缺少的环节。 (3)特点:分成几步,就有几项相乘。 二、排列组合 1.排列 (1)定义:从 n 个不同的元素中,任取 m 个( m ? n )元素,按照一定的顺序排成 一列,叫做从 n 个不同的元素中,选取 m 个元素的一个排列,排列数记为 Pnm ,或记
m 为 An 。 (2)使用排列的三条件 ① n 个不同元素; ②任取 m 个; ③讲究顺序。 (3)计算公式
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)....(n ? m ? 1) ?

n! (n ? m)!

(4)关于 P
n! r ( An ) (n ? r ) ! r n 若 r ? n ,责称为全排列,记为 Pn ,全排列 Pn ? n! ( An ) An ? n! Pnr ? n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? r ? 1) ?

尤其: Pn0 ? 1, Pn1 ? n, Pnn ? n!
2 ? 4 ? (4 ? 2 ? 1) ? 例如: A4

4 ? 3 ? 2 ?1 2 ?1

4 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

例:把 4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,每个盒子放一个球,有多少种放法?

2.组合 (1)定义:从 n 个不同的元素中,任取 m 个( m ? n )元素并为一组,叫做从 n 个 m 不同的元素中,选取 m 个元素的一个组合,组合数记为 Cn 。 (2)使用三条件 ① n 个不同元素; ②任取 m 个; ③并为一组,不讲顺序。 (3)计算公式 n! n(n ? 1)...(n ? m ? 1) m Cn ? ? m!(n ? m)! m(m ? 1)...2 ?1 0 1 n m n ?m 尤其: Cn ? 1, Cn ? n, Cn ? 1, Cn ? Cn (4)关于 P Pnr n(n ? 1) ?(n ? r ? 1) n! r Cn ? ? ? r! r! r! (n ? r ) ! 0 !? 1 与 Cn ? 1 PS. 规定 0 4?3 2 ? 例如: C 4 2 ?1 例:孙佳在自助餐厅就餐,这只超级能吃的猪准备挑选三种肉类中的一类,四种蔬 菜中的两种,以及四种点心中的一种。若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少 种不同的选择方法?

例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数? A.226 B.246 C.264 D.288

例 2.旅行社有豪华游 5 种和普通游 4 种,某单位欲从中选择 4 种,其中至少有豪华 游和普通游各一种的选择有()种。 A.60 B.100 C.120 D140

排列组合的常见题型及其解法
一. 特殊元素(位置)用优先法 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位 置)优先安排的方法。 例 1. 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法? 分析:解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 解法 1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任 一位置上,有 A4 种站法;第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上,有 A5 种站法,故站法 共有: A4 ? A5 =480(种) 解法 2:(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人
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1

5

站在左右两端,有 A5 种;第二步再让剩余的 4 个人(含甲)站在中间 4 个位置,有 A4 种,故
2 站法共有: A5 ? A44 ? 480 (种) 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看作一个整 体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。 例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法?

2

4

解:把 3 个女生视为一个元素,与 5 个男生进行排列,共有 A6 种,然后女生内部再进行排
6 列,有 A3 种,所以排法共有: A6 ? A33 ? 4320 (种)。 三. 相离问题用插空法 元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好 的元素位置之间和两端的空中。 例 3. 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法?

6

3

解:先将其余 4 人排成一排,有 A4 种,再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插
4 入,有 A5 种,所以排法共有: A4 ? A53 ? 1440 (种) 四. 定序问题用除法 对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题方法是:先将 n 个元素进行全排

4

3

列有 An 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 Am 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其 中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序
n m

一定,则有

Ann 种排列方法。 m Am
1 5

例 4.由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的 六位数有多少个? 解:不考虑限制条件,组成的六位数有 A5 ? A5 种,其中个位与十位上的数字一定,所以所 求的六位数有:
1 A5 ? A55 ? 300 (个) A22

五. 分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法 求解。 例 5. 9 个人坐成三排, 第一排 2 人, 第二排 3 人, 第三排 4 人, 则不同的坐法共有多少种?

解:9 个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来处理,不 同的坐标共有 A9 种。 六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求 出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不 漏。 例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,取其中 4 个不共面的点,则不同的取法共有 () A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 解:从 10 个点中任取 4 个点有 C10 种取法,其中 4 点共面的情况有三类。第一类,取出的 4 个点位于四面体的同一个面内,有 4C6 种;第二类,取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中 点,这 4 点共面,有 6 种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面 体相对的两条棱),它的 4 个点共面,有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取
4 法共有: C10 ? 4C64 ? 6 ? 3 ? 141 (种)。 七. 多元问题用分类法 按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算 总数。 例 7.已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。

9

4

4

a ? 0 ,即 a,b 异号。 b (1) 若 c=0, a, b 各有 3 种取法, 排除 2 个重复 ( 3x ? 3 y ? 0 , , 2 x ? 2 y ? 0 ,x ? y ? 0 )
解:设倾斜角为 ? ,由 ? 为锐角,得 tan ? ? ? 故有:3×3-2=7(条)。 (2)若 c ? 0 ,a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,而同时 c 还有 4 种取法,且其中任意两条直 线均不相同,故这样的直线有:3×3×4=36(条)。 从而符合要求的直线共有:7+36=43(条) 八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。 例 8. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分派方案共有多 少种? 解:可分两步进行:第一步先将 4 名教师分为三组(1,1,2), (2,1,1), (1,2,1),
1 C42 ? C2 ? C11 共有: ? 6 (种),第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 A33 种方法。由分 2 A2
1 C42 ? C2 ? C11 3 步计数原理得不同的分派方案共有: ? A3 ? 36 (种)。因此共有 36 种方案。 A22

九. 隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例 9. 有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种不同的分配 方案? 解:6 个班,可用 5 个隔板,将 10 个名额并排成一排,名额之间有 9 个空,将 5 个隔板插 入 9 个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有: C9 ? 126 (种)
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