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数学必修一导学案 精华版



第一章集合与函数概念 § 1.1.1 集合的含义与表示(1)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意 义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一.课前预习 讨论:

军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对 象是全体的高一学生还是个别学生?

引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高 三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的 总体. 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗透到 自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和以后 学习数学知识准备必要的条件.

二、新课导学 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; ④ x 2 , 3x ? 2 , 5y 3 ? x , x 2 ? y 2 ; ⑤ 地区二中高一级全体学生; ⑥ 方程 x2 ? 3x ? 0 的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车; ⑧ 2008 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答: 各组对象分别是一些什么?有多少个对象?
新知 1:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set). 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究 2: “好心的人”与“1,2,1”这三个数是否构成集合? 新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有 一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 .
1

试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解; ② 3 的倍数; ③ 方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤ 最小的整数; ⑥ 周长为 10 cm 的三角形; ⑦ 中国古代四大发明; ⑧ 全班每个学生的年龄; ⑨ 地球上的四大洋; ⑩ 地球的小河流. 探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知 3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ?A. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合,则 5 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集) :全体非负整数组成的集合,记作 N; 正整数集:所有正整数的集合,记作 N*或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R. 试试 4:填∈或 ?:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, ? 3 Q, 3 ? 2 R. 探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述一个 集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢? 新知 5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示. B,0.5 B, 0 B, -1 B.

典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x( x 2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成的集合.

2

变式:用列举法表示“一次函数 y ? x 的图象与二次函数 y ? x 2 的图象的交点”组成的集合.

三、总结提升 学习小结 ①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集及表示;④列举法. 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念:把若干确定 的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称 为该集合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集 合论诞生日. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 下列说法正确的是( ). A.某个村子里的高个子组成一个集合 C.集合 {1,2,3,4,5} 和 {5,4,3,2,1} 表示同一个集合 B.所有小正数组成一个集合
1 3 6 1 D. 1,0.5, , , , 这六个数能组成一个集合 2 2 4 4

2. 给出下列关系: 1 ① ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N ? ;④ ? 3 ? Q. 2 其中正确的个数为( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为( ). 1 1 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} D. {(? ,0)} 2 2 4. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则: 深圳 A; 广州 A. (填∈或 ?) 2 5. “方程 x ? 3x ? 0 的所有实数根”组成的集合用列举法表示为___________

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业 A 组:
1. 用列举法表示下列集合: (1)由小于 10 的所有质数组成的集合; (2)10 的所有正约数组成的集合; (3)方程 x2 ? 10 x ? 0 的所有实数根组成的集合.

2. 设 x∈R,集合 A ? {3, x, x2 ? 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 ?2 ? A ,求实数 x.

3

B 组:1.下列说法正确的是(

) B. 0 与 ?0? 的意义相同

A.所有著名的作家可以形成一个集合 C.集合 A ? ? x x ?

? ?

? 1 , n ? N ? ? 是有限集 D.方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集只有一个元素 n ?
( D. {1} . )

2.方程组

y ?2 {x ? y ?0 的解构成的集合是 x?

A. {(1,1)}

B {1,1}

C. (1,1)

3.已知 A ? {?2,?1,0,1} , B ? { y | y ? x x ? A} ,则 B= 4.若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B=
2

.

§ 1.1.1 集合的含义与表示(2)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意 义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备 复习 1:一般地,指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 . 复习 2:集合 A ? {x 2 ? 2 x ? 1} 的元素是 ,若 1∈A,则 x= . .

复习 3:集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?四个集合有何关系?

二、新课导学 学习探究 思考: ① 你能用自然语言描述集合 {2, 4,6,8} 吗? ② 你能用列举法表示不等式 x ? 1 ? 3 的解集吗?

探究:比较如下表示法 ① {方程 x2 ? 1 ? 0 的根}; ② {?1,1} ; ③ {x ? R | x2 ? 1 ? 0} . 新知: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法, 一般形式为 {x ? A | P} , 其中 x 代表元素, P 是确定条件.
4

试试:方程 x2 ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合,用描述法表示为

.

典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x( x 2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

练习:用描述法表示下列集合. (1)方程 x3 ? 4x ? 0 的所有实数根组成的集(2)所有奇数组成的集合.

小结: 用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看, x ? R 、 x ? Z 明确时可省略,例如 {x | x ? 2k ? 1, k ? Z} , {x | x ? 0} . 例 2 试分别用恰当的方法表示下列集合: (1)抛物线 y ? x 2 ? 1 上的所有点组成的集合;
?3x ? 2 y ? 2 (2)方程组 ? 解集. ?2 x ? 3 y ? 27

变式:以下三个集合有什么区别. (1) {( x, y) | y ? x2 ? 1} ; (2) { y | y ? x2 ? 1} ; (3) {x | y ? x2 ? 1} . 反思与小结: ① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如 {( x, y) | y ? x2 ? 1} 与 { y | y ? x2 ? 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素的取值范围也可省略,例如 {x | x ? 1} , {x | x ? 3k , k ? Z} . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集 Z,所以不必写{全体整数}.下列写法 {实数集},{R}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或 有无限个元素时,不宜采用列举法.

三、总结提升 学习小结 1. 集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描述法) ; 2. 会用适当的方法表示集合; 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如: (1)所有直角三角形的集合可以表示为: {x | x是直角三角形} ,也可以写成:{直角三角形};
(2)集合 {( x, y) | y ? x2 ? 1} 与集合 { y | y ? x2 ? 1} 是同一个集合吗? 2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,即:文氏图,或称 Venn 图.

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学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 A ? {x ? N |1 ? x ? 6} ,则下列正确的是( ). A. 6 ? A B. 0 ? A C. 3 ? A D. 3.5 ? A 2. 下列说法正确的是( ). A.不等式 2x ? 5 ? 3 的解集表示为 {x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 {x | x ? 2k}
C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x2 ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {(?2, 2)} 3. 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x 的图象的交点组成的集合是( ). A. {1, ?2} B. {x ? 1, y ? ?2} C. {(?2,1)}
?y ? x ? 3 D. {( x, y ) | ? } ? y ? ?2 x .

4. 用列举法表示集合 A ? {x ? Z | 5 ? x ? 10} 为

5.集合 A={x|x=2n 且 n∈N}, B ? {x | x2 ? 6 x ? 5 ? 0} ,用∈或 ?填空: 4 A,4 B,5 A,5 B.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业 A组
1. (1)设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} ,试用列举法表示集合 A. (2)设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的倍数},求属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合.

2. 若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a、b.

B 组:1. 用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数. 2. 已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z} ,集合 B ? {( x, y) | y ? x2 ? 1, x ? A} . 试用列举法分别表示集 合 A、B.

§ 1.1.2 集合间的基本关系
学习目标
1. 2. 3. 4. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 理解子集、真子集的概念; 能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用; 了解空集的含义.

学习过程
一、课前准备 复习 1:集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. (1)10 以内 3 的倍数; (2)1000 以内 3 的倍数.

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复习 2:用适当的符号填空. (1) 0 N; 2 Q; -1.5 R. 2 (2)设集合 A ? {x | ( x ? 1) ( x ? 3) ? 0} , B ? {b} ,则 1 A;b B; {1,3} A.

思考:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?

二、新课导学 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: A ? {3,6,9} 与 B ? {x | x ? 3k , k ? N *且k ? 333} ; C ? {东升高中学生} 与 D ? {东升高中高一学生} ; E ? {x | x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1,2} .

新知:子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作: A ? B(或B ? A) ,读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B . ② 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两个集 合间的“包含”关系为: A ? B(或B ? A) . B A

③ 集合相等:若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B . ④ 真子集:若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记 作:A B(或 B A) ,读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A). ⑤ 空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? . 并规定:空集是任何集合的子集,是 任何非空集合的真子集. 试试:用适当的符号填空. (1) {a, b} {a, b, c} , a (2) ? (3)N
{x | x ? 3 ? 0} , ? N; {0,1} ,Q
2

{a, b, c} ;

R;

(4) {0} {x | x 2 ? x ? 0} . 反思:思考下列问题. (1)符号“ a ? A ”与“ {a} ? A ”有什么区别?试举例说明.

(2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论.

(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论? ① 若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ; ② 若 a ? b, 且b ? c, 则a ? c .

7

典型例题 例 1 写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.

猜想:集合中子集和真子集的个数和集合中元素个数有什么关系?

知识拓展
如果一个集合含有 n 个元素,那么它的子集有 2n 个,真子集有 2n ? 1 个. 例 2 判断下列集合间的关系: A ? {x | x ? 3 ? 2} 与 B ? {x | 2x ? 5 ? 0} ;

三、总结提升 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意区 别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列结论正确的是( ). A. ? A B. ??{0} C. {1, 2} ? Z
A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 2 3. 若 {1, 2} ? {x | x ? bx ? c ? 0} ,则( ). A. b ? ?3, c ? 2 B. b ? 3, c ? ?2 4. 满足 {a, b} ? A ? {a, b, c, d} 的集合 A 有

D. {0} ?{0,1} ).

2. 设 A ? ? x x ? 1? , B ? ? x x ? a? ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为( D. a ? 1 C. b ? ?2, c ? 3 个.

D. b ? 2, c ? ?3 ,

5. 设集合 A ? {四边形}, B ? {平行四边形}, C ? {矩形} , D ? {正方形} ,则它们之间的关系是 并用 Venn 图表示.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业 A组
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合,B 表示质 量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立? A ? B, B ? A, A ? C, C ? A 试用 Venn 图表示这三个集合的关系.

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2. 已知 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} 且 A ? B ,求实数 p、q 所满足的条件. B组 1. 写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合 2. 若集合 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 2x ? 5 ? 0} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围 3. 设集合 A={0,1},集合 B ? {x | x ? A} ,则 A 与 B 的关系如何? 4. . 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B={1,2}, C ? {x | x ? 8, x ? N} ,用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C. 5. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ? 2} ,且满足 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

§ 1.1.3 集合的基本运算(1)
学习目标
1. 理解交集与并集的概念,掌握交集与并集的区别与联系; 2. 会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题; 3. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程
一、课前准备 复习 1:用适当符号填空. 0 {0}; 0 {x|x +1=0,x∈R}; ?;? {0} {x|x<3 且 x>5};{x|x>-3} {x|x>2}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5}.
2

复习 2:已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则 A

S, {x|x∈S 且 x ?A}=

.

思考:实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?

二、新课导学 学习探究 探究:设集合 A ? {4,5,6,8} , B ? {3,5,7,8} . (1)试用 Venn 图表示集合 A、B 后,指出它们的公共部分(交) 、合并部分(并) ;

(2)讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并?

新知:交集、并集. ① 一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫作 A、B 的交集(intersection set) , 记作 A∩B,读“A 交 B” ,即: A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}. Venn 图如右表示. ② 类比说出并集的定义.
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A

B

由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A 与 B 的并集 (union set) 记作:A ? B , , 读作:A 并 B,用描述法表示是: A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B} . Venn 图如右表示. A B

试试: (1)A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; (2)设 A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= (3)A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= ,A∩B= . (4)分别指出 A、B 两个集合下列五种情况的交集部分,并用阴影表示。 A(B) A B



B A

A B

A

B

(5)分别指出 A、B 两个集合下列五种情况的交集部分,并用阴影表示。

B A

A(B)

A

B

A B

A

B

反思: (1)A∩B 与 A、B、B∩A 有什么关系?

(2)A∪B 与集合 A、B、B∪A 有什么关系?

(3)A∩A= A∩ ? =

;A∪A= ;A∪ ? =

. .

典型例题 例 1 设 A ? {x | ?1 ? x ? 8} , B ? {x | x ? 4或x ? ?5} ,求 A∩B、A∪B.

小结:有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
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例 2 设 A ? {( x, y) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 3x ? 2 y ? 7} ,求 A∩B. 反思:例 2 及变式的结论说明了什么几何意义?

三、总结提升 学习小结 1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质; 2. 求交集、并集的两种方法:数轴、Venn 图. 知识拓展
, ( , A ? B ? C)(A ? B)(A ? C) A ? B ? C)(A ? B)(A ? C) ( ? ? ? ? , , (A ? B) C ? A ? B ? C) (A ? B) C ? A ? B ? C) ? ( ? ( A ? A ? B) A,A ? A ? B) A . ( ? ( ? 你能结合 Venn 图,分析出上述集合运算的性质吗?

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设 A ? ? x ? Z x ? 5? , B ? ? x ? Z x ? 1? , 那么 A ? B 等于( A. {1,2,3,4,5} B. {2,3, 4,5} C. {2,3,4} ). D. ? x 1 ? x ? 5?

2. 已知集合 M={(x, y)|x+y=2} ,N={(x, y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( ). A. x=3, y=-1 B. (3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 3. 设 A ? ?0,1, 2,3, 4,5? , B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} ,则 ( A ? B) ? C 等于( ). A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8} 4. 设 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围是 5. 设 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 A ? B =
2 2

?

?

?

?

.

.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业
A 组: 1. 设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 , 直线 l2 上点的集合为 L2 , 试分别说明下面三种情况时直线 l1 与直线 l2 的位置关系? (1) L1 ? L2 ? {点P} ; (2) L1 ? L2 ? ? ; (3) L1 ? L2 ? L1 ? L2 .

1 2. 若关于 x 的方程 3x2+px-7=0 的解集为 A,方程 3x2-7x+q=0 的解集为 B,且 A∩B={ ? },求 A ? B . 3

B 组: 1. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3}, B ? { x |1 ? x ? 2} .求 A∩B、A∪B.

2..若 A={x|-5≤x≤8}, B ? {x | x ? 4或x ? ?5} ,则 A∩B= 3.(1)若 A ? {( x, y) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 4 x ? y ? 3} ,则 A ? B ? (2)若 A ? {( x, y) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 8x ? 2 y ? 12} ,则 A ? B ?

;A∪B= ; .

.

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§ 1.1.3 集合的基本运算(2)
学习目标
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 2. 能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程
一、课前准备 复习 1:集合相关概念及运算. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,则称集合 A 是集合 B 的 ,记作 若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的 ,记作 若 A ? B且B ? A ,则 . ② 两个集合的 部分、 部分,分别是它们交集、并集,用符号语言表示为: ; A? B ? . A? B ? 复习 2:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B、R 有何关系?

. .

二、新课导学 学习探究 探究:设 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系?

新知:全集、补集. ① 全集: 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集 (Universe) , 通常记作 U. ② 补集:已知集合 U, 集合 A ? U,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补集 (complementary set) ,记作: CU A ,读作: 在 U 中补集” “A ,即 CU A ? {x | x ?U , 且x ? A} . 补集的 Venn 图表示如右:

说明:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,补集的概念必须要有全集的限制. 试试: (1)U={2,3,4},A={4,3},B= ? ,则 CU A = , CU B = ; (2)设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = (3)设集合 A ? {x | 3 ? x ? 8} ,则 ?R A = ; . (4)设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = ;

反思: (1)在解不等式时,一般把什么作为全集?在研究图形集合时,一般把什么作为全集? (2)Q 的补集如何表示?意为什么?

典型例题 例 1 设 U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数},B={12 的正约数},求 CU A 、 CU B
12

例 2 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B .

变式:分别求 CU ( A ? B) 、 (CU A) ? (CU B) .

三、总结提升 学习小结
1. 补集、全集的概念;补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法:数轴、Venn 图.

知识拓展 试结合 Venn 图分析,探索如下等式是否成立? (1) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ; (2) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) . 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设全集 U=R,集合 A ? {x | x2 ? 1} ,则 CU A =( ) A. 1 B. -1,1 C. {1} D. {?1,1} 2. 已知集合 U= {x | x ? 0} , CU A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么集合 A ? ( A. {x | x ? 0或x ? 2} C. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0或x ? 2} D. {x | x ? 2} ).

).

3. 设全集 I ? ?0, ?1, ?2, ?3, ?4? ,集合 M ? ?0, ?1, ?2? ,
N ? ?0, ?3, ?4? ,则 ? ?I M ? ? N ? (

A. {0} C. ??1, ?2?

B. ??3, ?4? D. ? . D. 较差

4. 已知 U={x∈N|x≤10},A={小于 11 的质数},则 CU A = . 5. 定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M=

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

课后作业 A组
1. 已知全集 I= {2,3, a 2 ? 2a ? 3} ,若 A ? {b, 2} , CI A ? {5} ,求实数 a, b .

2. 已知全集 U=R,集合 A= ? x x 2 ? px ? 2 ? 0? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0? , 若 (CU A) ? B ? ?2? ,试用列举法 表示集合 A
王新敞
奎屯 新疆

B组 1.已知全集 I={小于 10 的正整数}, 其子集 A、 满足 (CI A) ? (CI B) ? {1,9} ,CI A) ? B ? {4,6,8} , ? B ? {2} . B ( A 求集合 A、B.
13

2. 设集合 A={x|2x +3px+2=0},B={x|2x +x+q=0},其中 p,q,x∈R,且 A∩B={

2

2

1 }时,求 p 的值和 A∪B 2

§ 1.1 集合(复习)

集合复习课
学习目标 1.加深对集合关系运算的认识 2.对含字母的集合问题有一个初步的了解 知识要点 1.数轴在解集合题中应用 2.若集合中含有参数,需对参数进行分类讨论 学习过程 复习 1:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何表示?图形语言? ; A? B ? ; A? B ? . CU A ? 复习 2:交、并、补有如下性质. A∩A= ;A∩ ? = ; A∪A= ;A∪ ? = ; A ? (CU A) ? ; CU (CU A) ? . A ? (CU A) ? 你还能写出一些吗? 典型例题 1.含有三个实数的集合可表示为 ?a,



? b ? ,1? ,也可表示为 ?a 2 , a ? b,0?,求 a 2003 ? b 2004 ? a ?

2.已知集合 A= ?x | x ? ?1或x ? 2? ,集合 B= ?x | 4 x ? p ? 0? ,当 A ? B 时,求实数 p 的取值范围

3.已知全集 U={1,3, x ? 3x ? 2 x },A={1,|2x—1|},若 CUA={0},则这样的实数 x 是否存在,若存
3 2

在,求出 x 的值,若不存在,说明理由

14

总结提升 1.由条件给出的集合要明白它所表示的含义,即元素是什么? 2.含参数问题需对参数进行分类讨论,讨论时要求既不重复也不遗漏。 当堂检测 1.已知 A={x|x<3},B={x|x<a} (1)若 B?A,求 a 的取值范围 (2)若 A?B,求 a 的取值范围 ?C (3)若 CRA ≠ RB,求 a 的取值范围

2.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y| y=x +1,x∈R },则 P∩Q = 2 2 3.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)| y=x ,x∈R },则 P∩Q = ? 4.满足{a,b} ≠ A?{a,b,c,d,e}的集合 A 的个数是

2

2

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组 3 2 1.已知集合 M={x|x —2x —x+2=0},则下列各数中不属于 M 的一个是 ( ) A.—1 B.1 C.2 D.—2 2.设集合 A= {x|—1≤x<2},B={ x|x<a },若 A∩B≠φ ,则 a 的取值范围是( ) A.a<2 B.a>—2 C.a>—1 D.—1≤a≤2 3.集合 A、B 各有 12 个元素,A∩B 中有 4 个元素,则 A∪B 中元素个数为 4.数集 M={x| x ? k ?

1 k 1 , k ? N },N={ x| x ? ? , k ? N },则它们之间的关系是 4 2 4

5.已知集合 M={(x,y)|x+y=2 },N={(x,y)|x—y=4},那么集合 M∩N= 2 2 6.设集合 A={x|x —px+15=0},B={x|x —5x+q=0},若 A∪B={2,3,5},则 A= B= B组 1.已知全集 U=R,A={x|x≤3},B={ x|0≤x≤5},求(CUA)∩B

2 2 ? 2.已知集合 A={x|x —3x+2=0},B={x|x —mx+(m—1)=0},且 B ≠A,求实数 m 的值

3.已知 A={x|x +x—6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,求实数 m 的取值范围

2

15

4.已知集合 A={x|—2<x<—1 或 x>0},集合 B={ x|a≤x≤b},满足 A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x >—2},求 a、b 的值

§ 1.2.1 函数的概念(1)
学习目标
1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合 与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 2. 了解构成函数的要素; 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.

学习过程
一、课前准备 复习 1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 复习 2: (初中对函数的定义)在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有 唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量. 表示方法有:解析法、列表法、图象 法.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数模型思想及函数概念 问题:研究下面三个实例: A. 一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地 面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 .
B. 近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面 积的变化情况. C. 国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低. “八五” 计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. … 年份 1991 1992 1993 1994 1995
恩格尔 系数%

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9



讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应关 系? 三个实例有什么共同点?

归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f: A ? B . 新知:函数定义. 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B
16

中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作:
y ? f ( x), x ? A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的 集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range).

试试: (1)判断下列对应是否为函数。 a) A=R,B=R.f:x→y=

1 ; x2

b) A=N,B=R,f:x→y=± x c) A=N,B=N+,f:x→y=|x-2|; d) A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4. (2)已知 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,求 f (0) 、 f (1) 、 f (2) 、 f (?1) 的值.

(3)函数 y ? x2 ? 2 x ? 3, x ?{?1,0,1, 2} 值域是 反思: (1)值域与 B 的关系是 (2)常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数
反比例函数

.

;构成函数的三要素是 定义域 值域





.

解析式

y ? ax ? b (a ? 0)

y ? ax 2 ? bx ? c , 其中 a ? 0 k y ? (k ? 0) x

探究任务二:区间及写法 新知:设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: {x | a ? x ? b} ? [a, b] 叫闭区间; {x | a ? x ? b} ? (a, b) 叫开区间; {x | a ? x ? b} ? [a, b) , {x | a ? x ? b} ? (a, b] 都叫半开半闭区间. 实数集 R 用区间 (??, ??) 表示,其中“∞”读“无穷大”“-∞”读“负无穷大”“+∞”读“正无穷 ; ; 大”. 试试:用区间表示. (1){x|x≥a}= {x|x≤b}= (2) {x | x ? 0或x ? 1} =

、{x|x>a}= 、{x|x<b}= . ,

、 .

(3)函数 y= x 的定义域 值域是 . (观察法)

典型例题
例 1 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ; (3)求 f (a 2 ? 1) 的值.
17

例 2 已知函数 f ( x) ?

1 x ?1

.

(1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ; (3)求 f (a 2 ? 1) 的值.

三、总结提升 学习小结 ①函数模型应用思想;②函数概念;③二次函数的值域;④区间表示. 知识拓展 求函数定义域的规则: f ( x) ① 分式: y ? ,则 g ( x) ? 0 ; g ( x)
② 偶次根式: y ? 2 n f ( x)(n ? N * ) ,则 f ( x) ? 0 ; ③ 零次幂式: y ? ( x)0 ,则 x ? 0 .

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知函数 g (t ) ? 2t 2 ? 1 ,则 g (1) ? ( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ).

2. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是( ). 1 1 1 1 A. [ , ??) B. ( , ??) C. (??, ] D. (??, ) 2 2 2 2 3. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,若 f (a) ? 1 ,则 a=( ). A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2 4. 函数 y ? x , x ?{?2, ?1,0,1,2} 的值域是 . 2 5. 函数 y ? ? 的定义域是 ,值域是 x

.(用区间表示) C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

课后作业 A组
1. 求函数 y ?
1 的定义域与值域. x ?1

18

2. 已知 y ? f (t ) ? t ? 2 , t ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 . (1)求 t (0) 的值; (2)求 f (t ) 的定义域; (3)试用 x 表示 y.

B组 1. 已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 5 x ? 2 ,求 f (3) 、 f (? 2) 、 f (a ? 1) 的值.

2. 求函数 f ( x) ?

1 的定义域. 4x ? 3

§ 1.2.1 函数的概念(2)
学习目标
1. 会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示; 2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

学习过程
一、课前准备 复习 1:函数的三要素是 、 、 .函数 y ?
3x2 与 y=3x 是不是同一个函数?为何? x

复习 2:用区间表示函数 y=kx+b、y=ax 2 +bx+c、y=

k 的定义域与值域,其中 k ? 0 , a ? 0 . x

二、新课导学 学习探究
19

探究任务:函数相同的判别 讨论:函数 y=x、y=( x ) 2 、y=
x3 、y= 4 x4 、y= x2 有何关系? x2

试试:判断下列函数 f ( x) 与 g ( x) 是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x) = ( x ? 1)0 ; g ( x) = 1. ② f ( x) = x; g ( x) = ④ f ( x) = | x | ; g ( x) =
x2 .

③ f ( x) = x 2; g ( x) = ( x ? 1)2 .
x2 .

小结: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) ; ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.

典型例题 例 1 求下列函数的定义域 (用区间表示). x ?3 (1) f ( x) ? 2 ; x ?2 (2) f ( x) ? 2 x ? 9 ; 1 (3) f ( x) ? x ? 1 ? . x?2
试试:求下列函数的定义域 (用区间表示). x?2 (1) f ( x) ? ? ?3x ? 4 ; x?3 1 (2) f ( x) ? 9 ? x ? . x?4

小结: (1)定义域求法(分式、根式、组合式) ; (2)求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组). 例 2 求下列函数的值域(用区间表示) : (1)y=x 2 -3x+4; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ; (3)y=
?5 x?2 2x ? 1 ; (4) f ( x) ? .(5) f ( x) ? . x?3 x?3 x?3

20

小结: 求函数值域的常用方法有: 观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 三、总结提升

学习小结 1. 定义域的求法及步骤; 2. 判断同一个函数的方法; 3. 求函数值域的常用方法. 知识拓展 对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,通过中间变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称它为函数 y ? f (u )
和 u ? g ( x) 的复合函数,记作 y ? f ( g ( x)) . 例如 y ? x 2 ? 1 由 y ? u 与 u ? x2 ? 1 复合.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 的定义域是( ). A. [?3,1] B. (?3,1) C. R D. ? 2x ? 1 2. 函数 y ? 的值域是( ). 3x ? 2 1 1 2 2 1 1 A. (??, ? ) ? (? , ??) B. (??, ) ? ( , ??) C. (??, ? ) ? (? , ??) 3 3 3 3 2 2 3. 下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是( )

D. R

? x ( x ? 0) A. f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )2 B. f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x ? 1)2 C. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? ?? x ( x ? 0) 1 4. 函数 f(x) = x ? 1 + 的定义域用区间表示是 . 2? x 5. 若 f ( x ? 1) ? x 2 ? 1 ,则 f ( x) = .

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组
1. 设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积 y 关于 x 的函数的解析式,并写出定义域.

2. 求下列函数定义域和值域。 3x ? 3 5x ? 3 (1) f ( x) ? ; (2) f ( x) ? ; 2x ? 2 4x ? 1

21

3. 若 f(x-1)=3x+5,求 f(x).

B组 1. 若 f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 ,求 f ( x) .

2. 一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 1 ? 4 x ,求 f ( x) .

3. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根,求 f(x)的解析式.

§ 1.2.2 函数的表示法(1)
学习目标
1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ,了解三种表示方法各自的优点,在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; 2. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.

学习过程
一、课前准备 复习 1: (1)函数的三要素是 (2)已知函数 f ( x) ?





. .

1 1 ,则 f (0) ? , f( )= , f ( x) 的定义域为 x2 ? 1 x (3)分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.

复习 2:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明.

22

二、新课导学 学习探究 探究任务:函数的三种表示方法 讨论:结合具体实例,如:二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等,说明三种表示法及优缺点.

小结: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值.

典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表示函数 y ? f ( x) .

变式:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元). 试用三种方法表示此实例中的函数.

反思: 例 1 及变式的函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗?

例 2 邮局寄信,不超过 20g 重时付邮资 0.5 元,超过 20g 重而不超过 40g 重付邮资 1 元. 每封 x 克(0<x ≤40)重的信应付邮资数 y(元). 试写出 y 关于 x 的函数解析式,并画出函数的图象.

变式: 某水果批发店,100 kg 内单价 1 元/kg,500 kg 内、100 kg 及以上 0.8 元/kg,500 kg 及以上 0.6 元/kg,试写出批发 x 千克应付的钱数 y(元)的函数解析式.

23

试试:画出函数 f(x)=|x-1|的图象.

小结: 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 在生活实例有哪些分段函数的 实例?

三、总结提升 学习小结 1. 函数的三种表示方法及优点; 2. 分段函数概念; 3. 函数图象可以是一些点或线段. 知识拓展 任意画一个函数 y=f(x)的图象,然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明三者(图象)之 间的关系.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如下图可作为函数 y ? f ( x) 的图象的是( ).

A. B. C. 2. 函数 y ?| x ? 1| 的图象是(

D. ).

B. C. D. ? x ? 2, ( x ≤ ?1) ? 3. 设 f ( x) ? ? x 2 , (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x=( ? 2 x, ( x ≥ 2) ? 3 A. 1 B. ? 3 C. D. 3 2
? x 2+2 ( x ? 2) ? 4. 设函数 f(x)= ? ,则 f (?1) = ?2 x ( x<2) ?

A.



. B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(
24

)A. 很好

课后作业 A组
?2 x ? 3, x ? ( ??,0) 1. 已知 f ( x) ? ? 2 ,求 f (0) 、 f [ f (?1)] 的值. ?2 x ? 1, x ? [0, ??)

2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的边长为 x ,面积为 y ,把 y 表示成 x 的函数.

B组 1.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P,从点 B 开始,沿着折现 BCDA 向点 A 运动,设 点 P 移动的路程为 x,△ABP 面积为 S. (1)求函数 S=f(x)的解析式及其定义域; (2)求 f[f(3)]的值。

A

D

B

P

C

2. 根据下列条件分别求出函数 f ( x) 的解析式. 1 1 1 (1) f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ; (2) f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x .(3) f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x . x x x

§ 1.2.2 函数的表示法(2)
学习目标
1. 了解映射的概念及表示方法;
25

2. 结合简单的对应图示,了解一一映射的概念; 3. 能解决简单函数应用问题.

学习过程
一、课前准备 复习:举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例: ① 对于任何一个 ,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; ② 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的 和它对应; ③ 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; ④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应. 你还能说出一些对应的例子吗?

讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?

二、新课导学 学习探究 探究任务:映射概念 探究 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系,并用图示意. ① A ? {1,4,9} , B ? {?3, ?2, ?1,1,2,3} ,对应法则:开平方; ② A ? {?3, ?2, ?1,1,2,3} , B ? {1,4,9} ,对应法则:平方;
③ A ? {30?,45?,60?} , B ? {1,
2 3 1 , , } , 对应法则:求正弦. 2 2 2

新知:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射(mapping) .记作“ f : A ? B ” 关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. 试试:分析例 1 ①~③是否映射?举例日常生活中的映射实例?

反思: ① 映射的对应情况有 、 ,一对多是映射吗? ② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应, 若将其中的条件 “非空数集” 弱化为 “任意两个非空集合” , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射.

26

典型例题 例 1 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R; (2)A={三角形},B={圆}; (3)A={ P | P 是平面直角体系中的点}, B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ; (4) A={高一学生},B= {高一班级}.

变式:如果是从 B 到 A 呢?

试试:下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射

(1) A ? 1,2,3,4? , B ? ?2,4,6,8? ,对应法则是“乘以 2” ; (2)A= R*,B=R,对应法则是“求算术平方根” ; (3) A ? ? x | x ? 0? , B ? R,对应法则是“求倒数”.

?

三、总结提升 学习小结 1. 映射的概念; 2. 判定是否是映射主要看两条:一条是 A 集合中的元素都要有对应,但 B 中元素未必要有对应;二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式. 知识拓展 在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v(千米/小时)的 平方与车身长 s(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为 50 公里/ 小时时,车距恰好等于车身上,试写出 d 关于 v 的函数关系式(其中 s 为常数).

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 在映射 f : A ? B 中, A ? B ? {( x, y) | x, y ? R} ,且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则与 A 中的元素 (?1, 2) 对 应的 B 中的元素为( ). A. (?3,1) B. (1,3) C. (?1, ?3) D. (3,1) 2.下列对应 f : A ? B : ① A ? R, B ? ? x ? R x ? 0? , f : x ? x ; ② A ? N , B ? N * , f : x ? x ? 1 ; ③ A ? ? x ? R x ? 0? , B ? R, f : x ? x 2 . 不是从集合 A 到 B 映射的有( ). A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③

27

? 0 ( x ? 0) ? 3. 已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} =( ? x ? 1( x ? 0) ? A. 0 B. ? C. 1 ? ? D.无法求 ? x ? 5 ( x ? ?1) ? 4. 若 f ( x) ? ? 2 x 2 (-1≤x ? 2) , 若 f ( x) =9 则 x= ? 3x ( x≥2) ?



. .

5. 已知 f(x)=x2?1,g(x)= x ? 1 则 f[g(x)] =

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

) A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A 组
1. 下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x ? 2 x ? 1 ; (2) A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 得的余数; (3) A ? N , B ? {0,1,2} , f : x ? x 被 3 除所得的余数; 1 1 1 1 (4)设 X ? {1,2,3,4}, Y ?{1, , , } f : x ? ; 2 3 4 x (5) A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于 x 的最大质数. 2. 已知集合 A ? ?a, b? , B ? ?0,1? , 从集合 A 到集合 B 的映射,试问能构造出多少映射?

B组
1 1 1. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? )?f ( x ? ) 的定义域. 4 4

2. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” ,月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元; “神州行” 不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟,两种通讯方式费用分别为 y1 , y2 (元). (1)写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式? (2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? (3)若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式?

28

§ 1.3.1 单调性与最大(小)值(1)
学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备 引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢? 复习 1:观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律: ① 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ② 能否看出函数的最大、最小值? ③ 函数图象是否具有某种对称性?

复习 2:画出函数 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 2 的图象.

小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线.

二、新课导学 学习探究 探究任务:单调性相关概念 思考:根据 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 2 ( x ? 0) 的图象进行讨论:随 x 的增大,函数值怎样变化?当 x 1 >x 2 时, f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?

新知: 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, 2, x1<x2 x 当 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

29

新知:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间 D 叫 f(x)的单调区间. 反思: ① 图象如何表示单调增、单调减? ② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ③ 函数 f ( x) ? x 2 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 试试:如图,定义在[-5,5]上的 f(x),根据图象说出单调区间及单调性.

.

典型例题 例 1 根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明. 1 (1) f ( x) ? ?3x ? 2 ; (2) f ( x) ? . x

k (k ? 0) 的单调性. x k 例 2 物理学中的玻意耳定律 p ? (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时,压 V 强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

变式:指出 y ? kx ? b 、 y ?

小结: ① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号; ② 证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简; 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论.

三、总结提升 学习小结
30

1. 增函数、减函数、单调区间的定义; 2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法). 3. 证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论.

知识拓展
函数 f ( x) ? x ?
a (a ? 0) 的增区间有 [ a , ??) 、 (??, ? a ] ,减区间有 (0, a ] 、 [? a , 0) . x

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的单调增区间是( ) A. (??,1] B. [1, ??) C. R D.不存在 2. 如果函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上单调递减,则( ) A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是( ) 2 A. y ? ?2x B. y ? C. y ?| x | D. y ? ? x2 x 1 4. 函数 y ? ? 的单调性是 . x 5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | 的单调递增区间是 ,单调递减区间是

. D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

课后作业 A组
1. 讨论 f ( x) ?
1 的单调性并证明. x ?1

2. 讨论 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 的单调性并证明.

B组
1.求证 f ( x) ? x ?
1 的(0,1)上是减函数,在 [1, ??) 是增函数. x

31

2. 指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x) ?| x | ; (2) f ( x) ? x 2 +3x .

§ 1.3.1 单调性与最大(小)值(2)
学习目标
1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备 复习 1:指出函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性,并进行证明.

复习 2:函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的最小值为 为 . 复习 3:增函数、减函数的定义及判别方法.

, f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大值

二、新课导学 学习探究 探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表, 函数 最高点 f ( x) ? ?2x ? 3 f ( x) ? ?2x ? 3 , x ?[?1, 2]
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 , x ?[?2, 2]

最低点

讨论体现了函数值的什么特征?

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value). 试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.
32

反思: 一些什么方法可以求最大(小)值?

典型例题
例 1 一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 ,那么什么时刻 距离地面的高度达到最大?最大是多少?

变式:经过多少秒后炮弹落地?

试试:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?

小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值. 例2求y?
3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2

变式:求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2

小结:
33

先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值.

试试:函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2, x ? [0,1] 的最小值为

,最大值为

. 如果是 x ?[?2,1] 呢?

三、总结提升 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象法、单调法. 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域,需根据对称轴与闭区间的位置关系, 结合函数图象进行研究. 例如求 a a a m?n m?n a 则先求得对称轴 x ? , 再分 ? m 、 ? ? 、 f ( x) ? ? x 2 ? ax 在区间 [m, n] 上的值域, m ? ?n、 2 2 2 2 2 2 a ? n 等四种情况,由图象观察得解. 2

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是( ). A. 0 B. -1 C. 2 D. 3 3. 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是( ). A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 且在区间 (??,0) 上, x ? ?1 时,f ( x) 有最小值 3, 当 则在区间 (0, ??) 上,当 x ? 时, f ( x) 有最 值为 . 5. 函数 y ? ? x 2 ? 1, x ? [?1,2] 的最大值为 ,最小值为 ) A. 很好 B. 较好 . C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 作出函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的简图,研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与最小值. (1) ?1 ? x ? 0 ; (2) 0 ? x ? 3 ; (3) x ? (??, ??) .

2.求函数 y=-2 x +3x-1 在[-2,1]上的最值

2

34

3.求 f ( x) ? x ? 2ax ? 1, x ? ?0,2? 上的最小值
2

B组 1. 用多种方法求函数 y ? 2 x ? x ? 1 最小值.

2.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,且 f(x 2 +x) > f(a-x)对一切 x∈R 都成立, 求实数 a 的取值范围

3.已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c (b、c 为常数)满足条件:f(0)=10,且对任意实数 x,都有
2

f(3+x)=f(3-x)。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若当 f(x)的定义域为[m,8]时,函数 y=f(x)的值域恰为[2m,n],求 m、n 的值。

§ 1.3.2 奇偶性
学习目标
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义; 2. 学会判断函数的奇偶性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
35

学习过程
一、课前准备 复习 1:指出下列函数的单调区间及单调性. 1 (1) f ( x) ? x 2 ? 1 ; (2) f ( x) ? x

复习 2:对于 f(x)=x、f(x)=x 2 、f(x)=x 3 、f(x)=x 4 ,分别比较 f(x)与 f(-x).

二、新课导学 学习探究 探究任务:奇函数、偶函数的概念 思考:在同一坐标系分别作出两组函数的图象: 1 (1) f ( x) ? x 、 f ( x) ? 、 f ( x) ? x3 ; x 2 (2) f ( x) ? x 、 f ( x) ?| x | . 观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在函数值方面有什么特征?

新知:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫偶函数(even function). 试试:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. 反思: ① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别? ② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称,图象关于 试试:已知函数 f ( x) ?

对称.

1 在 y 轴左边的图象如图所示,画出它右边的图象. x2

典型例题 例 1 判别下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? 3 x 4 ; (2) f ( x) ? 4 x3 ; 1 (3) f ( x) ? ?3x4 ? 5x2 ; (4) f ( x) ? 3 x ? 3 . x
36

小结:判别方法,先看定义域是否关于原点对称,再计算 f (? x) ,并与 f ( x) 进行比较. 试试:判别下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=
x ; 1 ? x2

(2)f(x)=x+

1 ; x

(4)f(x)=x 2 , x∈[-2,3].

三、总结提升 学习小结 1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征; 2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法. 知识拓展 定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间上 单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x) 有( ). A. f ( x) ? f (? x) ? 0 B. f ( x) ? f (? x) ? 0 C. f ( x)?f (? x) ? 0 D. f (0) ? 0 2. 已知 f ( x) 是定义 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是减函数. 下列关系式中正确的是( ) A. f (5) ? f (?5) B. f (4) ? f (3) C. f (?2) ? f (2) D. f (?8) ? f (8) 3. 下列说法错误的是( ). 1 A. f ( x) ? x ? 是奇函数 B. f ( x) ?| x ? 2 | 是偶函数 x x3 ? x 2 C. f ( x) ? 0, x ?[?6,6] 既是奇函数,又是偶函数 D. f ( x) ? 既不是奇函数,又不是偶函数 x ?1 4. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | 的奇偶性是 . 5. 已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是 函数,且最 值 为 . 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
)A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

37

课后作业 A组
1. 已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)的(-∞,0)上的单调性,并给出证明.

2.已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明.

3. 若 f ( x) ? ax3 ? bx ? 5 ,且 f (?7) ? 17 ,求 f (7) .

B组 1. 已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?
1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

2. 已知函数 f(x)=x +mx+n (m,n 是常数)是偶函数,求 f(x)的最小值

2

3.已知函数 f(x) 为 R 上的偶函数,在[0,+∞)上为减函数,f(a)=0 (a>0) 求 xf(x)<0 的解集

38

§ 1.3 函数的基本性质(练习)
学习目标
1. 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ; 2. 能应用函数的基本性质解决一些问题; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备 复习 1:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值?

复习 2:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义?

二、新课导学 典型例题
例 1 作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图象,指出单调区间及单调性.

小结:利用偶函数性质,先作 y 轴右边,再对称作. 变式:y=|x 2 -2x-3| 的图象如何作?

反思: 如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象?

例 2 已知 f ( x) 是奇函数,在 (0, ??) 是增函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上的单调性,并进行证明.
39

反思: 奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ;奇函数在关于原点对称的区间上单调性



例 3 某产品单价是 120 元,可销售 80 万件. 市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出销 售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多少元时,销售金额最大?最大是多少?

小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最小值问题 三、总结提升

学习小结 1. 函数单调性的判别方法:图象法、定义法. 2. 函数奇偶性的判别方法:图象法、定义法. 3. 函数最大(小)值的求法:图象法、配方法、单调法. 知识拓展 形如 f (| x |) 与 | f ( x) | 的含绝对值的函数,可以化分段函数分段作图,还可由对称变换得到图象. f (| x |) 的图象可由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧. | f ( x) | 的图 象,先作 f ( x) 的图象,再将 x 轴下方的图象沿 x 轴对折到 x 轴上方.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 2. 下列函数中,在区间 (0, 2) 上为增函数的是( ). A. y ? ? x ? 1 3. 已知函数 y= B. y ? x C. y ? x2 ? 4 x ? 5 ). D. a ? 0 . ,最小值为 )A. 很好 B. 较好 . C. 一般 D. 较差 ).

D. y ?

2 x

ax2 ? b 为奇函数,则( x?c A. a ? 0 B. b ? 0 C. c ? 0 4. 函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域为 5. f ( x) ? x2 ? 4 x 在 [0,3] 上的最大值为

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 已知 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的减函数,且 f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 . 求实数 a 的取值范围.

40

2. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x 2 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2)讨论 f ( x) 的单调性。

B组
1. 判断函数 y=
x?2 单调性,并证明. x ?1

2. 判别下列函数的奇偶性:
? ? x 2 ? x( x ? 0) ? (1)y= 1 ? x + 1 ? x ; (2)y= ? 2 . ? x ? x( x ? 0) ?

第一章 集合与函数的概念(复习)
学习目标
1. 理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、补等三种运算的,会利用几何直观性研究问题,如数 轴分析、Venn 图; 2. 深刻理解函数的有关概念,理解对应法则、图象等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法 和步骤,并会运用解决实际问题.

学习过程
一、课前准备
41

复习 1:集合部分. ① 概念:一组对象的全体形成一个集合 ② 特征:确定性、互异性、无序性 ③ 表示:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} ④ 关系:∈、 ? 、 ? 、 、= ⑤ 运算:A∩B、A∪B、 CU A ⑥ 性质:A ? A; ? ? A,…. ⑦ 方法:数轴分析、Venn 图示.

复习 2:函数部分. ① 三要素:定义域、值域、对应法则; ② 单调性: f ( x) 定义域内某区间 D, x1 , x2 ? D , x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 的 D 上递增; x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 的 D 上递减. ③ 最大(小)值求法:配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性:对 f ( x) 定义域内任意 x, f (? x) ? ? f ( x) ? 奇函数; f (? x)? f ( x) ? 偶函数. 特点:定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称.

二、新课导学 典型例题
例 1 设集合 A ? {x | x2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} , C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} . (1)若 A ? B = A ? B ,求 a 的值; (2)若 ? A ? B ,且 A ? C = ? ,求 a 的值; (3)若 A ? B = A ? C ? ? ,求 a 的值.

1? x . 1? x (1)求 f (5) 的值; (2)求 f ( x) ? 0 时 x 的值; (3)当 x >0 时,求 f ( x) 的解析式.

例 2 已知函数 f ( x) 是偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ?

例 3 设函数 f ( x) ?

1 ? x2 . 1 ? x2

1 (1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性; (3)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; x (4)求证: f ( x) 在 [1, ??) 上递增.

42

三、总结提升 学习小结 1. 集合的三种运算:交、并、补; 2. 集合的两种研究方法:数轴分析、Venn 图示; 3. 函数的三要素:定义域、解析式、值域; 4. 函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的研究. 知识拓展 要作函数 y ? f ( x ? a) 的图象, 只需将函数 y ? f ( x) 的图象向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即 可. 称之为函数图象的左、右平移变换. 要作函数 y ? f ( x) ? h 的图象, 只需将函数 y ? f ( x) 的图象向上 (h ? 0) 或向下 (h ? 0) 平移 | h | 个单位即 可. 称之为函数图象的上、下平移变换.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 A ? ? x | x 2 ? 0? ,则下列结论中正确的是( ). A. A ? 0 B. 0 A C. A ? ? D. ? A 2. 函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是( ). A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是( ). x A. y ? 1 B. y ? C. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 ?2 1? x 4. 某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 34 人,体育爱好者 43 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐, 则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 5. 函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则当 x ? 0 , f ( x) ? . D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

课后作业 A组
1. 判断下列函数的奇偶性: ? x(1 ? x) x ? 0, 2 x2 ? 2 x (1) f ( x) ? ; (2) f ( x) ? x3 ? 2 x ; (3) f ( x) ? a ( x?R) (4) f ( x) ? ? ; x ?1 ? x(1 ? x) x ? 0.

2. 求 f(x)=x2 _ 2ax- 1 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值 g(a)和最小值 h(a)(a∈R) .

43

B组 1. 若 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2| ,求 x<0 时 f(x)的表达式

2. 已知函数 f(x)=-x2+2ax+a-1 在区间[0,1]上的最大值为 1,求 a 的值。

第二章 基本初等函数
§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

学习过程
一、课前准备 复习 1:正方形面积公式为 ;正方体的体积公式为 . ,记作 . ;

复习 2: (初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的 ,记作

二、新课导学 学习探究 探究任务一:指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性.
44

实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万?

实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次?你能超过 8 次吗?

计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,求对折后的面积与厚度?

问题 1: 国务院发展研究中心在 2000 年分析, 我国未来 20 年 GDP (国内生产总值) 年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍?

问题 2:生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死 t 1 亡时碳 14 关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义? 2

小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二:根式的概念及运算 考察: (?2)2 ? 4 ,那么 ?2 就叫 4 的
(?3) ? 81 ,那么 ?3 就叫做 81 的
4

; 33 ? 27 ,那么 3 就叫 27 的
n

; .

.依此类推,若 x ? a ,,那么 x 叫做 a 的

新知:一般地,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? . 简记: n a . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 . 反思: 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? n a .

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 81 的 4 次方根就是 ,记: ? n a .

强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,即 n 0 ? 0 . 试试: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a ,则 a 的 3 次方根为 .

新知: n a 的式子就叫做根式 像 (radical) 这里 n 叫做根指数 , (radical exponent) a 叫做被开方数 , (radicand) .
45

试试:计算 ( 2 3) 2 、 3 43 、 n (?2)n .

反思: 从特殊到一般, ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果?

?a (a ? 0) 结论: ( n a )n ? a . 当 n 是奇数时, n a n ? a ;当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? . ??a (a ? 0)

典型例题 例 1 求下类各式的值:
(1)
3

( ? a )3 ;

(2)

4

(?7)4 ;

(3) 6 (3 ? ? )6 ; (4)

2

(a ? b) 2 ( a ? b ).

变式:计算或化简下列各式. (1) 5 ?32 ; (2) 3 a6 .

a mp ? n a m (a ? 0). 2 4 ? 25 ? 2 3 例 2 求值: 27 3 ; 16 3 ; ( ) ?3 ; ( ) 3 . 49 5
推广:
np

三、总结提升 学习小结 1. n 次方根,根式的概念; 知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质:若 a ? 0 ,则 a n ? 0 . 2. 正整数指数幂满足不等性质: ① 若 a ? 1 ,则 a n ? 1 ;② 若 0 ? a ? 1 ,则 0 ? an ? 1 . 其中 n?N*. 2. 根式运算性质.

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.
4

(?3)4 的值是(

). C. ? 3 ). D. 81

A. 3 B. -3 2. 625 的 4 次方根是(
46

A. 5
2

B. -5
2

C. ±5 ). C. ?b . ; 2 34 D.

D. 25
1 b

3. 化简 ( ?b ) 是( A. ?b B. b

4. 化简 6 (a ? b)6 = 5. 计算: ( 3 ?5)3 =

. ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 计算: (1) 5 a10 ; (2)
3

79 .

2. 化简: ?
4

(3 ? ?) 4 ;

?

3

(? x ) 6 ;

?

a 2 ? 2ab ? b 2 ;

?

4

x8 。

B组 1. 化简 2. 化简
5?2 6 ? 5? 2 6

5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
学习目标
1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算.

学习过程
一、课前准备 复习 1:一般地,若 xn ? a ,则 x 叫做 a 的 像 a 的式子就叫做
n

,其中 n ? 1 , n ? ?? . 简记为: .

.

,具有如下运算性质: ; a mp =
np

(n a) =

n

; a =
n n

47

复习 2:整数指数幂的运算性质.
m

(1) am ? n ? a 复习 3:填空.

;(2) (a m )n ?

;(3) (ab)n ?

. (4) a n =

.(5) a

?

m n

=

.

( x ? 0) ? 时, n x n ?| x |? ?........... . ( x ? 0) ? ② 求下列各式的值:



n为

3
4

26 =
x8 =



4

16 =

; 6 81 = .

; 6 (?2)2 =



15

?32 =



; 6 a 2b4 =

二、新课导学 探究任务:分数指数幂
10

引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a2 )5 ? a2 ? a 5 ,则类似可得
3

3

a12 ?



a 2 ? (a 3 )3 ? a 3 ,类似可得 a ?
3

2

2

.

新知:规定分数指数幂如下
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ; a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) .

试试: (1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2

35 =
2


2

3

54 =
? 4 3

; am = ; a
? 5 2

(a ? 0, m ? N ? ) .

(2)求值: 8 3 ;

55 ;

6

.

小结: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算 性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: ( a ? 0, b ? 0, r, s ? Q ) a r · a r ? a r ? s ; (a r )s ? a rs ; (ab)r ? a r a s .

三.典型例题
2 4 ? 25 ? 2 3 例 1. 求值: 27 3 ; 16 3 ; ( ) ?3 ; ( ) 3 . 49 5

变式:化为根式.

例 2. 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b2 ? b ; (2) b3 ?5 b3 ; (3) 3 b 4 b .

48

例 3. 计算(式中字母均正) :
2

(1) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (2) ( m 4 n 8 )16 .

1

1

1

1

5

1

3

例 4 计算: (1) (2m 2 n 5 )10 ? ( ? m 2 n ?3 ) 6 (m, n ? N ? ) ; (2) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64
? 3 1

三、总结提升 学习小结 ①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互化;③有理指数幂的运算性质. 知识拓展 1. 立方和差公式:
a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ; a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) . 2. 完全立方公式: (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 ;
(a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 .

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是(
A. a m ? a n ? a
3

). D. 1 ? a n ? a0? n

m n

B. a m ? a n ? a mn ). D. 125 ).
2 2

C.

?a ?

m n

? am?n

2. 化简 25 2 的结果是( A. 5 B. 15 C. 25 3. 计算 ? ? 2 ? ? A. 2 4. 化简 27
? 2 3

?

?

?2

? 2 的结果是( ? ?

?

1

B. ? 2 = .

C.

D. ?

2 2

5. 若 10m ? 2, 10n ? 4 ,则 10

3m ? n 2

=

. ) A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(
49

课后作业 A组
1.求下列各式的值: ? 100 ;
1 2

? 8 ;

2 3

? 9

?

3 2



?

4

2

81? 9 3

2.化简下列各式: ?

a2 a? a
3 2



? 3 xy 2 ? xy ?1 ? xy 。

8a3 4 3. 计算: (1) 3 3 ?4 3 ?4 27 ; (2) 6 ( ) . 125b3

B组 补充:立方和差公式 a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) .
1

1. 化简 (2a 4 b 3 )(?3a 2 b 3 ) ? (? a 4 b 3 )

?

1

?

1

2

1 4

?

1

?

2

4

1

2.化简

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 23 ab ? a
2 3 2 3

÷ (1 ? 23

b )×3 a a

3. 已知 a 2 ? a

1

?

1 2

? 3 ,求: (1) a 2 ? a

1

?

1 2



(2) a 2 ? a

3

?

3 2

50

§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质(单调性、特殊点).

学习过程
一、课前准备 复习 1:零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的? (1) a0 ? ; (2) a ? n ? ;
m

(3) a n ? ;a n ? 其中 a ? 0, m, n ? N * , n ? 1

?

m

.

复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) am ? n ? ; (2) (a m )n ? a

; (3) (ab)n ?

.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念 实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个,如 此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自 变量,残留量 y 的函数关系式是什么?
讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么?

新知:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的 定义域为 R. 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?

探究任务二:指数函数的图象和性质 引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 回顾: 研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: 1 y ? ( ) x , y ? 2x 2

51

讨论:
1 1 (1)函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) x 的图象? 2 2

1 (2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为 3 或 后呢? 3

新知:根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

性 质

典型例题
例 1 函数 f ( x) ? a x ( a ? 0, 且a ? 1 )的图象过点 (2, ? ) ,求 f (0) , f (?1) , f (1) 的值.

小结:①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小: (1) 20.6 , 20.5 ;



(2) 0.9?2 ,0.9?1.5 ; (3) 2.10.5 ,0.52.1 ; (4) ?

2? 3

与1 .

小结:利用单调性比大小;或间接利用中间数.

三、总结提升 学习小结 ①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指数函数的图象与性质;③单调法. 知识拓展
因为 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的定义域是 R, 所以 y ? a f ( x ) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域与 f ( x) 的定义域相 同. 而 y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域,由 y ? ? (t ) 的定义域确定.
52

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为( ). A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 x ?2 2. 函数 f(x)= a ? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点( ). A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2) 3. 指数函数① f ( x) ? m x ,② g ( x) ? n x 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是( ).

2

4

4. 比较大小: (?2.5) 3

(?2.5) 5 .

1 5. 函数 y ? ( ) x ? 1 的定义域为 9

. ) A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 : A组
1. 已知下列不等式,试比较 m、n 的大小: 2 2 (1) ( )m ? ( )n ; (2) 1.1m ? 1.1n . 3 3

2. 比较大小: (1) a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ; (2) 10 , 0.4?2.5 , 2?0.2 , 2.51.6 .

B组 1. 求函数 y=
1 5
x 1? x

的定义域.
?1

2. 已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[1,2]上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值

53

3.试比较 a 2 x

2

?3 x ?1

与 ax

2

? 2 x ?5

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大小

§ 2.1.2 指数函数及其性质(2)
学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2. 掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调性; 3. 培养数学应用意识.

学习过程
一、课前准备 复习 1:指数函数的形式是 其图象与性质如下 a>1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4) 单调性: , 0<a<1

复习 2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图: 1 1 1 y ? 2 x , y ? ( ) x , y ? 5x , y ? ( ) x , y ? 10 x , y ? ( ) x . 2 5 10

思考:指数函数的图象具有怎样的分布规律?

二、新课导学 典型例题 例 1 我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国 的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为 了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2)从 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少?

54

小结:学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法. 试试:2007 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来的 多少倍?多少年后产值能达到 120 亿?

小结:指数函数增长模型. 设原有量 N,每次的增长率为 p,则经过 x 次增长后的总量 y=
(k ? R, a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为指数型函数.

. 我们把形如 y ? ka x

例 2 求下列函数的定义域、值域: (1) y ? 2 x ? 1 ; (2) y ? 3
5 x ?1
1

; (3) y ? 0.4 x ?1 .

变式:单调性如何?

小结:单调法、基本函数法、图象法、观察法. 试试:求函数 y ? 2? x ?
1 的定义域和值域,并讨论其单调性. 2

三、总结提升 学习小结
1. 指数函数应用模型 y ? ka x (k ? R, a ? 0且a ? 1) ; 2. 定义域与值域; 2. 单调性应用(比大小).

知识拓展
形如 y ? a f ( x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数值域的研究,先求得 f ( x) 的值域,再根据 a t 的单调性,列出简单 的指数不等式,得出所求值域,注意不能忽视 y ? a f ( x ) ? 0 . 而形如 y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数值域 的研究,易知 a x ? 0 ,再结合函数 ? (t ) 进行研究. 在求值域的过程中,配合一些常用求值域的方法,例如
55

观察法、单调性法、图象法等.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如果函数 y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数 y=bx (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有( A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 - 2. 函数 f(x)=3 x-1 的定义域、值域分别是( ). A. R, R ? B. R, (0, ??) C. R, (?1, ??) D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列说法错误的是( ). -x x 1-x A. y=a 的图象与 y=a 的图象关于 y 轴对称? B. 函数 f(x)=a (a>1)在 R 上递减
).

C. 若 a 2 >a 2 ?1 ,则 a>1 ? D. 若 2 x >1,则 x ? 1 4. 比较下列各组数的大小: 3 ? 2 ?1 3 0 ?0.75 (0 . )2 ; ( ) . 7 6 4 ( 3) . ( ) 2 5 3 5. 在同一坐标系下,函数 y=ax, y=bx, y=cx, y=dx 的图象如右图,则 a、b、c、d、1 之间从小到大的顺序 是 .

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业
A组 1. 求指数函数 y ? 2 x
2

?1

的定义域和值域,并讨论其单调性.

2. 已知下列不等式,比较 m, n 的大小. (1) 3m ? 3n ; (2) 0.6m ? 0.6n ; (3) am ? an (a ? 1) ; (4) am ? an (0 ? a ? 1) .

B组
2 1 2 1.求函数 y ? ( ) x ? 4 x ?1 和 y ? 2 ?2 x ? 4 x ? 7 的单调区间。 3

2.求下列函数的定义域和值域。
1

? y ? 2 x?4 ;

? y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1

56

§ 2.2.1 对数与对数运算(1)
学习目标
1. 理解对数的概念; 2. 能够说明对数与指数的关系; 3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

学习过程
一、课前准备 复习 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

复习 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? (只列式)

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数的概念 问题:截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少年后 人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿?

讨论: (1)问题具有怎样的共性? (2)已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:由 1.01x ? m ,求 x.
王新敞
奎屯 新疆

新知:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm). 记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 试试:将复习 2 及问题中的指数式化为对数式.
王新敞
奎屯 新疆

新知:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
57

王新敞
奎屯

新疆

在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 loge N 简记作 lnN
王新敞
奎屯 新疆

试试:分别说说 lg5 、lg3.5、ln10、ln3 的意义. 反思: (1)指数与对数间的关系? 时, a x ? N ? a ? 0 ,a ? 1 (2)负数与零是否有对数?为什么? (3) loga 1 ? , loga a ?

. .

典型例题 例 1 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 (1) 53 ? 125 ; (2) 2?7 ? ; (3) 3a ? 27 ; (4) 10?2 ? 0.01 ; 128 (5) log 1 32 ? ?5 ; (6)lg0.001= ?3 ; (7)ln100=4.606.
2

变式: (1) log 232 ? ? (2) lg

1 ?? 10000

小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体. 例 2 求下列各式中 x 的值: 2 (1) log64 x ? ; (2) log x 8 ? ?6 ; (3) lg x ? 4 ; 3

(4) ln e3 ? x .

小结:应用指对互化求 x.

三、总结提升 学习小结 ①对数概念;②lgN 与 lnN;③指对互化;④如何求对数值 知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一 般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550-1617 年)男 爵. 在纳皮尔所处的年代, 哥白尼的 “太阳中心说” 刚刚开始流行, 这导致天文学成为当时的热门学科. 可 是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因 此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者, 为了简化计算,他多年潜心研
58

究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 log 2 x ? 3 ,则 x ? ( ). A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2. log (
n ?1 ? n )

( n ?1 ? n) = (

).

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 对数式 loga ? 2 (5 ? a) ? b 中,实数 a 的取值范围是( ). A. (??,5) B.(2,5) C. (2, ??) D. (2,3) ? (3,5) 4. 计算: log
2 ?1

(3 ? 2 2) ?

.

5. 若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 ,则 x=________,若 log 2 8 ? y ,则 y=___________.

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

).A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业
A组 1. 求下列各式的值.
(1) log5 25 ; (2) log 2
1 ; (3) lg 10000. 16

log8 9 2. .求值:(1) log 2 3

(2) 7

1?log7 5

(3) 100

1 ( lg 9 ? lg 2 ) 2

B组 1. 将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式. 1 1 (1) 35 ? 243 ; (2) 2?5 ? ; (3) 4a ? 30 (4) ( )m ? 1.03 ; 2 32 (5) log 1 16 ? ?4 ; (6) log 2 128 ? 7 ; (7) log3 27 ? a .
2

59

2. 计算: (1) log9 27 ; (2) log3 243 ; (3) log 4 3 81 ; (4) log (2 ?
3)

(2 ? 3) ;

(5) log 3 4 625 .
5

§ 2.2.1 对数与对数运算(2) §
学习目标
1. 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

学习过程
一、课前准备 复习 1: (1)对数定义:如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做 (2)指数式与对数式的互化: a ? N ?
x

,记作

.

.

复习 2:幂的运算性质. (1) am ? n ? ; (2) (a m )n ? a (3) (ab) ?
n



.

复习 3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答: (1)设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 am? n ; (2)设 loga M ? m , log a N ? n ,试利用 m 、 n 表示 loga (M · N ) .

二、新课导学 学习探究 探究任务:对数运算性质及推导 问题:由 a p a q ? a p ? q ,如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系?
问题:设 loga M ? p , log a N ? q ,由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q , ∴ loga MN=p+q,即得 loga MN= loga M + loga N 根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; M (2) log a ? log a M ? log a N ; N
60
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(3) log a M n ? n loga M (n ? R) .

反思: 自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式, 并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式 )
王新敞
奎屯 新疆

典型例题
例 1 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:(1) loga
xy ; z2

(2) log a

x3 y
5

z

.

例 2 计算: (1) log5 25 ; (2) log0.4 1 ; (3) log 2 (48 ? 25 ) ; (4)lg 9 100 .

三、总结提升 学习小结 ①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③换底公式. 知识拓展
① 对数的换底公式 log a N ?
logb N 1 ; ② 对数的倒数公式 log a b ? . logb a logb a

③ 对数恒等式: log an N n ? log a N , log am N n ?

n log log log a N , loga b? b c? c a ? 1 . m

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列等式成立的是( ) A. log 2 (3 ? 5) ? log 2 3 ? log 2 5 B. log2 (?10)2 ? 2log 2 (?10)
C. log2 (3 ? 5) ? log2 3? 2 5 D. log 2 (?5)3 ? ? log 2 53 log 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( ). ab3 3ab A.x=a+3b-c B. x ? C. x ? 5 D.x=a+b3-c3 c 5c 3. 若 2lg ? y ? 2 x ? ? lg x ? lg y ,那么( ). A. y ? x B. y ? 2 x C. y ? 3x 4. 计算: (1) log9 3 ? log9 27 ? 5. 计算: lg
3 1 5 ? lg ? 5 2 3

D. y ? 4 x 1 (2) log 2 ? log 1 2 ? 2 2

.

. ) A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业
61

A组
1. 设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 .

变式:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12. lg 3 的值.

2. 运用换底公式推导下列结论. 1 n (1) log am bn ? log a b ; (2) log a b ? . logb a m

7 3. 计算: (1) lg14 ? 2lg ? lg 7 ? lg18 ; 3

(2)

lg 243 . lg 9

B组 1. 计算: lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 (1) ; (2) lg 2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 . lg1.2

1 1 1 2. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: ? ? . c a 2b

§ 2.2.1 对数与对数运算(3)

62

学习目标
1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题; 2. 加强数学应用意识的训练,提高解决应用问题的能力.

学习过程
一、课前准备 复习 1:对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) log a (MN ) ? (3) log a M n ? 换底公式 loga b ? . . ;(2) log a
M ? N



复习 2: 1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口总数 将超过 14 亿? (用式子表示)

二、新课导学 典型例题 例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能 量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M,其计算 公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振 幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震的振 幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精确 到 1)

小结:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回 答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我 们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间 的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

63

反思: ① P 和 t 之间的对应关系是一一对应; 1 ② P 关于 t 的指数函数 P ? (5730 ) x ,则 t 关于 P 的函数为 2 三、总结提升

.

学习小结 1. 应用建模思想(审题→设未知数→建立 x 与 y 之间的关系→求解→验证) ; 2. 用数学结果解释现象. 知识拓展 在给定区间内,若函数 f ( x) 的图象向上凸出,则函数 f ( x) 在该区间上为凸函数,结合图象易得到 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f( )? 2 2 在给定区间内,若函数 f ( x) 的图象向下凹进,则函数 f ( x) 在该区间上为凹函数,结合图象易得到 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . f( )? 2 2

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.
5 A.-a
log5 ( ? a )2

(a≠0)化简得结果是( ). B.a2 C.|a| D.a
1

2. 若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 =( A. 3 B. 2 3

).

C. 2 2 D. 3 2 1 1 3. 已知 3a ? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m 之值为( ). a b A.15 B. 15 C.± 15 D.225 a 4. 若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 表示为 . 5. 已知 lg 2 ? 0.3010 , lg1.0718 ? 0.0301 ,则
1

lg 2.5 ?

; 210 ?

. )A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 计算: (1) 51?log0.2 3 ; (2) log4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32 .
2

? y? 2.若 lg x ? m, lg y ? n, 则 lg x ? lg ? ? 的值是多少? ? 10 ?
64

2

B组 1. 化简:
2 (1) lg52 ? lg8 ? lg5lg 20 ? (lg 2)2 ; (2) ? log 2 5+log 4 0.2 ? ? log5 2+log 25 0.5 ? . 3

2. 若 lg ? x ? y ? ? lg ? x ? 2 y ? ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求

x 的值. y

§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)
学习目标
1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数 是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养数形结合 的思想方法,学会研究函数性质的方法.

学习过程
一、课前准备
1 复习 1:画出 y ? 2 x 、 y ? ( ) x 的图象,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质. 2

复习 2:生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳 14 的残余量约 占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代.(列式)

二、新课导学 学习探究 探究任务一:对数函数的概念 问题:根据上题,用计算器可以完成下表:
65

碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

讨论:t 与 P 的关系? (对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ? log
5730

1 2

P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,

从而 t 是 P 的函数) 新知:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y ? log a x 叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x; 函 数的定义域是(0,+∞). 反思: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如: y ? 2log2 x , y ? log5 (5 x) 都不是对数 函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) . 探究任务二:对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?

研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象.
y ? log 2 x ; y ? log0.5 x .

反思: (1)根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

(2)图象具有怎样的分布规律?

典型例题 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? log a x2 ; (2) y ? loga (3 ? x) ;

66

变式:求函数 y ? log 2 (3 ? x) 的定义域.

例 2 比较大小: (1) ln 3.4, ln 8.5 ; (2) log0.3 2.8, log0.3 2.7 ; (3) loga 5.1, loga 5.9 .

小结:利用单调性比大小;注意格式规范.

三、总结提升 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. 知识拓展 对数函数凹凸性:函数 f ( x) ? loga x, (a ? 0, a ? 1) , x1 , x2 是任意两个正实数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 当 a ? 1 时, ? f ( 1 2 ) ; 当 0 ? a ? 1 时, ? f( 1 2). 2 2 2 2

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? log a x 的图象是( ).

2. 函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥1) 的值域为( A. (2, ??) 3. 不等式的 log 4 x ? A. (2, ??) 4. 比大小: (1)log 67 B. (??, 2)
1 解集是( 2

). D. ?3, ?? ?

C. ? 2, ?? ? ).

B. (0, 2)

1 C. ( , ??) 2

1 D. (0, ) 2
log 2 0.8. . )A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

log 7 6 ; (2)log 31.5

5. 函数 y ? log ( x-1) (3 - x) 的定义域是

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 求下列函数的定义域.
67

(1) y ? log0.2 (? x ? 6) ; (2) y ? 3 log 2 x ? 1 .

2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1) log 2 3和 log 2 3.5 ; (2) log0.3 4和log0.2 0.7 ; (3) log0.7 1.6和log0.7 1.8 ; (4) log2 3和log3 2 .

B组 1. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log3 m< log3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n; (3) loga m> loga n

(a>1)

2. 求下列函数的定义域: (1) y ? log 2 (3x ? 5) ; (2) y ? log 0.5 4 x ? 3 .

§ 2.2.2 对数函数及其性质(2)
学习目标
1. 解对数函数在生产实际中的简单应用; 2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函 数的图象性质.

学习过程
68

一、课前准备 复习 1:对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

0<a<1

复习 2:比较两个对数的大小. (1) log10 7 与 log10 12 ; (2) log 0.5 0.7 与 log 0.5 0.8 .

复习 3:求函数的定义域. 1 (1) y ? ; (2) y ? log a (2 x ? 8) . 1 ? log3 2 x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反函数 问题:如何由 y ? 2 x 求出 x?

反思:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 x 解出,是把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上 我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x . 新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自 变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) 例如:指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为反函数. 试试:在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log 2 x 图象,发现什么性质?

反思: (1) 如果 P0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 x 的图象上, 那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log 2 x 的图象上吗?
69

为什么?

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两个函数的图象关于

对称.

典型例题 例 1 求下列函数的反函数: (1) y ? 3x ; (2) y ? loga ( x ? 1) .

小结:求反函数的步骤(解 x →习惯表示→定义域) 例 2 溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计算公式 pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离子的 浓度,单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系? (2)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算其酸碱度.

小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模型解决问题,这就是数学应用建模思想.

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值和它对应. 对 于一个单调函数,反之对应任意 y 值,x 也都有惟一的值和它对应,从而单调函数才具有反函数. 反函数 的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域,即互为反函数的两个函数,定义域与值域 是交叉相等.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? log 0.5 x 的反函数是( ).
A. y ? ? log0.5 x B. y ? log 2 x C. y ? 2 x
1 D. y ? ( ) x 2

2. 函数 y ? 2 x 的反函数的单调性是( ). A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在 (0, ??) 上单调递增 D. 在 (0, ??) 上单调递减 3. 函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的反函数是(
70

).

A. y ? ? x ( x ? 0)
x

B. y ? x ( x ? 0)

C. y ? ? x ( x ? 0) .

D. y ? ? x

4. 函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的值为 之间的关系为 . ).

5. 右图是函数 y ? loga1 x , y ? log a2 x y ? log a3 x , y ? log a4 x 的图象,则底数

自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业
A组 1.点 (2,3) 在函数 y ? loga ( x ? 1) 的反函数图象上,求实数 a 的值.

2. 己知函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点(1,3)其反函数的图象过点(2,0) ,求 f ? x ? 的表达式.

B组 1. 求下列函数的反函数. (1) y= ( 2) x (x∈R); (2)y= loga
x (a>0,a≠1,x>0) 2

2. 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a

x

? a ? 0且a ? 1? 的反函数,其图像经过 ?

a , a ,求 f ( x)

?

3.求函数 y ? log 1
2

3 ? 2 x ? x 2 的定义域和值域

71

4.已知 y ? log 4 (2 x ? 3 ? x )
2

(1) 求定义域 (2) 求 f (x) 的单调区间 (3) 求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值

§ 2.2 对数函数(练习)
学习目标
1. 掌握对数函数的性质; 2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

0<a<1

复习 2:根据对数函数的图象和性质填空. ① 已知函数 y ? log 2 x ,则当 x ? 0 时, y ? 当 x ? 4 时, y ? . ② 已知函数 y ? log 1 x ,则当 0 ? x ? 1时, y ?
3

;当 x ? 1 时, y ? ;当 x ? 1 时, y ? .

;当 0 ? x ? 1时, y ? ;当 x ? 5 时, y ?

; ;

当 0 ? x ? 2 时, y ?

;当 y ? 2 时, x?

小结:数形结合法求值域、解不等式.

二、新课导学 典型例题 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1? x (1) f ( x) ? log ; (2) f ( x) ? ln( 1 ? x 2 ? x) . 1? x

72

例 2 证明函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1) 在 (0, ??) 上递增.

变式:函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1) 在 (??,0) 上是减函数还是增函数?

例 3 求函数 f ( x) ? log0.2 (?4 x ? 5) 的单调区间.

变式:函数 f ( x) ? log2 (?4 x ? 5) 的单调性是

.

小结:复合函数单调性的求法及规律: “同增异减”.

三、总结提升 学习小结 1. 对数运算法则的运用; 2. 对数运算性质的运用; 3. 对数型函数的性质研究; 4. 复合函数的单调性. 知识拓展 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x) 两个函数 的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函数,则复 合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我们可以抓住 “x 的变化→ u ? ? ( x) 的变化→ y ? f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
73

1. 下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ? x 2 B. y ?
x x
2

) C. y ? aloga x (a ? 0且a ? 1) D. y ? log a a x

2. 函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

).

2 2 B. ( , ??) C. [ ,1] 3 3 3. 若 f (ln x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) 的表达式为(

A. [1, ??)

2 D. ( ,1] 3
) . . B. 较好 C. 一般 D. 较差

A. 3ln x B. 3ln x ? 4 C. 3e 2 4.函数 f ( x) ? lg( x ? 8) 的定义域为
2

x

D. 3e x ? 4 ,值域为 )A. 很好

5. 将 0.3 , log2 0.5 , log 0.5 1.5 由小到大排列的顺序是

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

课后作业 A组
1. 比较大小:
1 (1) log a ? 和log a e (a ? 0且a ? 1) ; (2) log2 和log2 (a2 ? a ? 1) (a ? R) . 2

2. 已知 log a (3a ?1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

3. 函数 y ? log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值.

4. 求函数 y ? log3 ( x2 ? 6 x ? 10) 的值域.

B组
1. 若定义在区间 (?1,0) 内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围.
74

2. 已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数 f ( x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. ? log 2 x 1? x

§ 2.3 幂函数
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

学习过程
一、课前准备 复习 1:求证 y ? x3 在 R 上为奇函数且为增函数.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数;
(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
1

75

新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 试试:判断下列函数哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x 探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象,总结填写下表:
y?x
y ? x2
1

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 小结: 幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0, ??) 上是增函数. 特 别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减函数.在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋 于 ?? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

典型例题
例 1.讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.

例 2 比较大小: (1) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (2) (2 ? a 2 )
? 2 3

与 2 3 ; (3) 1.1 2 与 0.9 2 .

?

2

?

1

?

1

小结:利用单调性比大小. 三、总结提升

学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小. 知识拓展
幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到大. y 轴和直线
76

x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若幂函数 f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则( A. ? >0 B. ? <0 C. ? =0 2. 函数 y ? x 的图象是(
4 3

). D.不能确定

).

A.
1 2

B.
? 1 2

C.

D. ). D.1< b < a

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a 4. 比大小: (1) 1.3 2 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 .
1 1

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

) A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组
2

1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

2. 比大小:
3 3 6 6

(1) 2.3 4 与 2.4 4 ;

(2) 0.315 与 0.35 5 ;

(3) ( 2) 2 与 ( 3)

?

3

?

3 2

.

B组 1. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,求它的解析式.

2. 已知幂函数 f(x)= x 并写出相应的函数 f(x).
77

1 3 ? p2 ? p ? 2 2

(p∈Z)在 (0, ??) 上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求 p 的值,

第二章 基本初等函数Ⅰ(复习)
学习目标
1. 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质; 2. 了解五个幂函数的图象及性质.

学习过程
一、课前准备 复习 1:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质?

复习 2: 函数

y ? ax

y ? log a x

定义域 值域 图像

当 a ? 1时

当 0 ? a ? 1时

当 a ? 1时

当 0 ? a ? 1时

单调性 值的分布

当 x>0 时, y ________. 当 x<0 时, y ________.

当 x>0 时, y ________. 当 x<0 时, y ________.

当 x>1 时, y ________. 当 0<x<1 时, y ________.

当 x>1 时, y ________. 当 0<x<1 时, y ________.

定点 复习 3:填空: 幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在_____________都有定义,并且图象都过点________; (2)_______时,幂函数的图象通过原点,并且在区间_______上是增函数.特别 地,当_______时,幂函数的图象下凸;当________时,幂函数的图象上凸; (3)_______时,幂函数的图象在区间________上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ?? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

二、新课导学 典型例题
78

例 1 求下列函数的定义域: 1 1 (1) y ? ( ) x ? 1 ; (2) f ( x) ? ; (3) f ( x) ? log 2 x ?1 3x ? 2 . log 2 ( x ? 1) ? 3 2

例 2 已知函数 f ( x) ?

10 x ? 10? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性. 10 x ? 10? x

1 例 3 已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 (??,0] 上是减函数,若 f ( ) ? 0 ,求不等式 f ? log 4 x ? ? 0 的解集. 2

三、总结提升 学习小结 1. 幂、指、对函数的图象与性质; 2. 指数、对数运算; 3. 函数定义域与值域; 4. 函数单调性与奇偶性; 5. 应用建模问题. 知识拓展 1. 图象平移变换: ①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左或右平移 a 个单位得到. ②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上或向下平移 b 个单位而得到. 2. 图象翻折变换: ①y=f(|x|)的图象在 y 轴右侧(x>0)的部分与 y=f(x)的图象相同,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴 对称. ②y=|f(x)|的图象在 x 轴上方部分与 y=f(x)的图象相同, 其他部分图象为 y=f(x)图象下方部分关于 x 轴的 对称图形.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? 2? x 3 A. (??, ) 2
79
2

?3 x ? 2

的单调递增区间为( ). 3 3 B. ( , ??) C. (??, ? ) 2 2

3 D. (? , ??) 2

2. 设 f (log2 x) ? 2x ( x ? 0) ,则 f (3) 的值是( A. 128 B. 256 C. 512 D. 8 3. 函数 y ? log 2 ( x ? x 2 ? 1) 的奇偶性为( ).

).

A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 1 4. 函数 y ? x ?2 在区间 [ , 2] 上的最大值是 . 2 5. 若函数 y ? (log 1 a) x 为减函数,则 a 的取值范围是
2

C.非奇非偶函数

D.既奇且偶函数

. B. 较好 C. 一般 D. 较差

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

课后作业
A组 1. 求下列函数的定义域与值域.
1

(1) y ? 8 2 x ?1 ;

(2) y ? 1 ? 2 x

1 2 2. 讨论函数 y ? ( ) x ?3 x ? 2 的单调性. 2

x?b ? a ? 0, b ? 0且a ?1 ? . x?b (1)求 f ( x) 的定义域; (2)讨论 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性.

3. 函数 f ( x) ? log a

B组 1. 函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ?1 4

? ( x 2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,求实数 m 的取值范围?

80

2. 一个幂函数 y=f(x)的图象过点( 3 ,

4

27 ) ,另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8,-2)

1)求这两个幂函数的解析式 2)判断这两个函数的奇偶性 3)作出这两个函数的图象,观察得 f(x)<g(x)的解集

第三章

函数的应用

§ 3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联 系; 2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程
一、课前准备 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = .当 ? 0,方程有两根,为 x1,2 ? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? ;当 ? 0,方程无实根.



复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系? 判别式 一元二次方程 二次函数图象

??0
??0 ??0

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 为 . 2 ② 方程 x ? 2x ? 1 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 为 . 2 ③ 方程 x ? 2x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 为 .
根据以上结论,可以得到:
81

个交点,坐标 个交点,坐标 个交点,坐标

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交 点的 . 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗?

新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什么 关系?

试试: (1)函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 的零点为

; (2)函数 y ? x2 ? 4 x ? 3 的零点为

.

小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4 x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f (a)?f (b) 零点; f (b)?f (c) 零点; f (c)?f (d )

0; 0; 0.

新知:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a)?f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:(1)零点个数一定是一个吗? (2)逆定理成立吗?(3)在什么情况下零点个数唯一确定?试结合图形 来分析.

典型例题
82

例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点.

三、总结提升 学习小结 ①零点概念;②零点、与 x 轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质: (1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非偶次零点) ,函数值变号. 推论:函数在区间 [a, b] 上的图象是连续的,且 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有一个 零点. (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为( ). ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上连续,且有 f (a)?f (b) ? 0 .则函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上( A. 一定没有零点
x ?1

B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点 ).

D. 零点情况不确定

3. 函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 4 的零点所在区间为( A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

4. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 20 的零点为 . 5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 f ( x) 的零点个数为

.

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

) A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组
1. 求下列函数的零点: (1) y= x ? 5 x ? 14
2

(2) y= ? x ? x ? 20
2

(3) y=(x-1)( x ? 3x ? 1 )
2

(4) y=( x ? 2 )( x ? 3x ? 2 )
2
2

(5) y ? x2 ? 5x ? 6 ;

(6) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) .

83

2. 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点所在的大致区间.

B组 1.已知 y= x ? ax ? 3 ? a 在区间[-2,2]上恒非负,求实数 a 的取值范围。
2

2.方程 x ?
2

3 x ? k 在(-1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2

3.方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,求实数 a 的取值范围。
2

4.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3) 。 (1) 若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式 (2) 若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围。

84

§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理 问题的意识.

学习过程
一、课前准备 复习 1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 ? 函数 y ? f ( x) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?

. ,那么,函数

二、新课导学 学习探究 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要求次 数越少越好. 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.
思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在区 间?如何找出这个零点?

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

反思: 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢?

①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ;
85

③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 则令 b ? x1(此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④.

典型例题
例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2x ? 3x ? 7 的近似解.

变式:求方程 2x ? 3x ? 7 的根大致所在区间.

三、总结提升 学习小结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. 知识拓展
高次多项式方程公式解的探索史料 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直没 有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的代数方 程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次 的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及 其它的一些函数,有必要寻求其零点近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上( ). ) A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下 列 函 数 图 象 与 x 轴 均 有 交 点 , 其 中 不 能 用 二 分 法 求 函 数 零 点 近 似 值 的 是 (

86

3. 函数 f (x) ? 2x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5,6)

).

4. 用二 分法求方程 x3 ? 2x ? 5 ? 0 在 区间 [2, 3]内的实根,由计算 器可算得 f (2) ? ? 1, f (3) ? 16 , . f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 5. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为 ,大致所在区间为 .

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业
A组 3 1. 求方程 2x +3x-3=0 的一个近似解(精确到 0.1)

2.求方程 lgx=3-x 的近似解。

3. 求方程 logax=x+1 (0<a<1)的实数解的个数。

B组 x 1. 证明:方程 2 - 2x ? 3 ? 0 的两根一个在区间(-2,-1)内,一个在(3,4)内。

x?2 (a ? 1) . x ?1 (1)证明:f(x)在(-1,+ ? )上为增函数。
2. 已知函数 f(x)= a ?
x

(2)证明:方程 f(x)=0 没有负实数根。 (3)若 a=3,求方程 f(x)=0 的根(精确到 0.01)

87

§ 函数与方程(练习) 3.1
学习目标
1. 体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件; 2. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 3. 初步形成用图象处理函数问题的意识.

学习过程
一、课前准备 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤. ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 则令 b ? x1(此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④. ,那么,函数

二、新课导学 典型例题
例 1 已知 f ( x) ? 2 ? log 3 x (1 ? x ? 9) ,判断函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x 2 ) 有无零点?并说明理由.

例 2 若关于 x 的方程 x 2 ? 6 x ? 8 ? a 恰有两个不等实根,求实数 a 的取值范围.

小结:利用函数图象解决问题,注意 | f ( x) | 的图象.
88

例 3 试求 f ( x) = x3 ? 8x ? 1 在区间[2,3]内的零点的近似值,精确到 0.1.

小结:利用二分法求方程的近似解. 注意理解二分法的基本思想,掌握二分法的求解步骤.

三、总结提升 学习小结 1. 零点存在性定理; 2. 二分法思想及步骤; 知识拓展 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 二分法的条件 f (a)?f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 y ? f ( x) 的最小值为 2,则 y ? f ( x) ? 1 的零点个数为( A. 0 B. 1 C. 0 或 l D. 不确定
a?b ) ? 0 .则( 2

).

2. 若函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上连续,且同时满足 f (a)?f (b) ? 0 , f (a)?f (
a?b ] 上有零点 2 a?b C. f ( x) 在 [a, ] 上无零点 2

).

A. f ( x) 在 [a,

a?b , b] 上有零点 2 a?b D. f ( x) 在 [ , b] 上无零点 2

B. f ( x) 在 [

3. 方程 | x 2 ? 2 |? lg x 的实数根的个数是(

). . B. 较好 C. 一般 D. 较差

A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 x 4. 方程 2 ? x ? 4 的一个近似解大致所在区间为 5. 求函数 f ? x ? ? 2 x ? x2 零点个数__________.

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

) A. 很好

课后作业 A组
1.判断函数 f ( x) ? x ? 3 ? ln x 的零点的个数。

2. 选择正确的答案. (1)用二分法求方程在精确度 ? 下的近似解时,通过逐步取中点法,若取到区间 ? a, b ? 且 f (a)?f (b) ? 0 ,

89

a?b ,有 f (a)?f (c) ? 0 ,此时 a ? c ? ? ,而 a, b, c 在精确度 ? 2 下的近似值分别为 x1 , x2 , x3 (互不相等).则 f ( x) 在精确度 ? 下的近似值为( ).

此时不满足 a ? b ? ? ,通过再次取中点 c ? D. ?

A. x1

B. x2

C. x3

(2)已知 x1 , x2 是二次方程 f ( x) 的两个不同实根, x3 , x4 是二次方程 g ( x) ? 0 的两个不同实根,若 ). g ( x1 )?g ( x2 ) ? 0 ,则( A. x1 , x2 介于 x3 和 x4 之间 C. x1 与 x2 相邻, x3 与 x4 相邻 B组 1.已知 f ( x) ? 2 ? 2 x ? x2 , (1)如果 g ( x) ? f (2 ? x 2 ) ,求 g ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) 的零点大致所在区间. B. x3 , x4 介于 x1 和 x2 之 D. x1 , x2 与 x3 , x4 相间相列

2. 已知二次函数 f(x)= ax ? bx (a,b 为常数)且 a ? 0 满足条件:f(-x+5)=f(x-3),f(x)=x 有等根
2

(1) 求 f(x)的解析式 (2) 是否存在实数 m,n 使 f(x)的定义域和值域分别为[m.n]和[3m,3n],如果存在,求出 m,n 的值,如 果不存在说明理由。

函数的模型及应用(1)
学习目标 1. 能根据实际问题的情景建立函数模型,结合对函数性质的研究给出问题的解答; 2. 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题,启发引导学生数学地观察世界、感受世界; 3. 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 知识要点 解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法,建立恰当的数学模型;能力方面要求 注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力,在具体的解题过程中主要抓住以下步骤: 第一步:阅读理解、认真审题; 第二步:引进数学符号,建立数学模型; 第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步:再转化成具体问题作出规范解答. 典型例题 例 1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机可变成本为 3000 元,每台计算机的售价为 5000 元。分别写出总成本 C (万元) 、单位成本 P (万元) 、销售收入 R (万 元) 、以及利润 L (万元)关于总产量 x (台)的函数关系式.
90

例 2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0 ,经过一 定时间 t 后

? 1 ?h 的 温度是 T ,则 T ? Ta ? ?T0 ? Ta ? ? ? ? ,其中 Ta 表示环境温度, h 称为半衰期. ?2?
现在一杯用 88 0 C 热水冲的速溶咖啡,放在 24 0 C 的房间里,如果咖啡降温到 40 0 C 需要

t

20 min ,那么降温到 35 0 C 时,需要多长时间?

例 3.在经济学中,函数 f ? x ? 的边际函数 Mf ?x ? 定义为 Mf ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 。某公司每月最多生产 100 台报警系统装置,生产 x 台 x ? N

?

*

?的收入函数为 R?x? ? 3000 x ? 20 x

2

(单位:元) ,其成本函数

C ?x ? ? 500 x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差.
(1) 求利润函数 P ? x ? 及边际利润函数 MP?x ? ; (2) 利润函数 P ? x ? 与边际利润函数 MP?x ? 是否具有相同的最大值?

91

例 4.如图所示,有一块半径为 R 的半圆形钢板,计划裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是⊙o 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形的周长 y 与腰长 x 之间的函数式,并写出它的定义域.

D

C

A

B

总结提升 1.审好题,审题注意取准自变量与函数值,不要盲目取变量,另外,审题时,切不可在一些规定的专用 名词上纠缠。 2.列出函数解析式时,注意实际问题对自变量取值范围的限制。 3.建立函数模型后,需解答函数模型,解答主要是方程求解,函数性质的讨论,有时用到不等式,因此, 对计算能力要求较高,另外,在涉及近似计算时,要注意问题的实际意义,切不可采取简单处理的方法, 是用四舍五入法,还是用进位法或取整法,都应视实际情况而定。

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)=t -3t+60,时间单位是小时,温度单位是 C,当 t=0 时表 示中午 12:00,其后 t 值去为正,则上午 8 时的温度是( ) 0 0 0 0 A.8 C B.112 C C.58 C D.18 C 2.某商店卖 A、B 两种不同的价格的商品,由于 A 连续两次提价 20℅,同时 B 连续两次降价 20℅,结果 都以每件 23.04 元售出这两种商品各一件,则与价格不提不降的情况相比较,商店盈利的情况是 ( ) A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C. 多赚 28.92℅ D.盈利相同 3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路,该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间
92
3 0

的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示,每付出 100 元的广告 费,所得销售额是 1000 元,问该企业应投入 广告费,才能获得最大的广告效应。 4.生产某商品 x 吨的费用是 1000+5 x +

1 2 x x 元,出售这种商品 x 吨的价格是每吨 a ? 元,其中 a、b 10 b

是常数,若生产的产品都被卖掉,并且当生产量是 150 吨时利润最大,这时每吨价格是 40 元,则 a、b 的值分别是 。

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

) A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组 1.某种菌种在培养过程中每 20 分钟分裂一次 (一个分裂为 2 个) 经过 3 小时, , 一个菌种可繁殖为 ( ) A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 2.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之比为 y,则 y=f (x)的图象大致是( ) y
y

y
1

y

1 0 x

0
0 x

x

0

A

C

x

B

D

3.用活动拉门(总长为 a)靠墙围成一矩形场地(一边利用墙) ,则可以围成的场地的最大 面积为( ) A. 1 a 2
2

B. 1 a 2
4

C. 1 a 2
8

D. 1 a 2
16

4.已知镭经过 100 年剩留质量是原来质量的 0.9567,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y, y 关于 x 则 的函数关系是( ) A. y ? 0.9567
x 100

B. y ? (

0.9567 x ) 100
x

C. y ? 0.9567

100 x

D. y ? 1 ? 0.0424 100

5.某工厂的产值月平均增长率为 p,则年平均增长率是 6.某厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加 1 万元,又知总 收入 R 是单位产量 Q 的函数: R(Q) ? 4Q ?

1 Q 2 ,则总利润 L(Q)的最大值是 200

万元,这

时产品的生产数量为 (总利润=总收入-成本). 7.从盛满 aL(a 是常数)纯酒精的容器中倒出 1L,然后用水填满,再倒出 1L 混合液后又用水填满,这样 继续下去,如果倒第 n 次(n ? 1)时共倒出纯酒精 xL,设倒第(n+1)次时共倒出 f(x)L,则函数 f(x) 的表达式为 . B组 1.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加 50 元时,未出租的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆没月需要维 护费 50 元。 (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?
93

(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

2 .某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百台) ,其成 本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+ 生产成本) ,销售收入 R(x)满足 R(x)= ?

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8, (0 ? x ? 5), ? 10 .2, ( x ? 5),

假定该产品销售平衡,那

么根据上述统计规律。 (1) 要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2) 工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?

函数模型及其应用(2)
学习目标 1.学会分析问题,准确地选择函数模型; 2. 学会解决常见的函数问题,如增长率问题、最佳效益问题; 3. 培养分析问题、解决问题的能力. 知识要点 1.用已知函数模型解决实际问题 数学应用题一般文字叙述较长,反映的时间背景新颖,知识涉及广, 这就要求 有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力. 2.增长率问题 在实际问题中,常常遇到平均增长率问题,如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 P,则对于
94

时间 x 的总产值为 y,用公式 y=N(1+P) 表示,解决平均增长率,要用这个公式. 3.最佳效益问题 实际问题中中的最佳效益问题,即函数的最值问题.求函数最值的方法 较多. 典型例题 例 1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台,现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台,已知 从甲地调运一台至 A 地、B 地的费用分别为 400 元和 800 元,从乙地调运一台到 A 地、B 地的运费分别是 300 元和 500 元 (1) 若从乙地要调运 x 台至 A 地,求总运费 y(元)与 x 之间的函数关系式 (2) 若总运费不得超过 9000 元,问共有几种调运方案 (3) 求出总运费最低的调运方案及最低的运费

x

例 2.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须 留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量 y 吨与空闲率和实际增长量 x 的乘积成正比,比例系数为 k (k>0)(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值) 。 (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2) 求鱼群年增长量的最大值; (3) 当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

例 3.在某服装批发市场,季节性服装当季节来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元,并 且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每天 削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售。 (1) 试建立价格 p(元)与周次 t 之间的函数关系; (2) 若此服装每周进价 q(元)与周次 t 之间的关系式为 q ? ?0.125 (t ? 8) ? 12, t ? [0,16], t ? N ,
2

试问该服装第几周每件销售利润最大?

95

例 4.某城市现有人口数为 100 万人,如果年增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1) 写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2) 计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3) 计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年) (4) 如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少?

当堂检测 1.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表: x y 1 1 2 3 3 8 )
x

?? ??

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x ? 1
2

C. y ? 2 ? 1

D. y ? 1.5 x ? 2.5 x ? 2
2

2.已知 A、 两地相距 150km, B 某人开车以 60km/h 的速度从 A 到达 B 地, B 地停留 1 小时后, 在 再以 50km/h 的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x 随时间变化的关系式是 3.某厂年生产化肥 8000 吨,计划 5 年后把产量提高到 14000 吨, 则平均每年增长的百分数是(精确到 0.1%) 参考数据:

lg 1.4 ? 0.1461, lg 1.75 ? 0.2430 , lg 1119 ? 3.0486 , 5 1.75 ? 1.119 , 6 1.75 ? 1.098

4. 设距地面高度 x(km)的气温为 y(℃) ,在距地面高度不超过 11km 时,y 随着 x 的增加而降低,且每 升高 1km, 大气温度降低 6℃; 高度超过 11km 时, 气温可视为不变。 设地面气温为 22℃, 试写出 y ? f (x) 的解析式,并分别求高度为 3.5km 和 12km 的气温。

总结提升
96

就一般的数学建模来说,是离不开假设的,如果在问题的原始状态下不作任何假设,将所有的变化 因素全部考虑进去,对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了. 课后作业 A组 1.(一次函数模型)某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示, 由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是( ) A310 元 B300 元 C290 元 D280 元 收入 (元 )

1300 800 0 1
销售量 (万件 )

2

x

2.(二次函数模型)将进货单价为 8 元的某商品按 10 元一个售出时,能卖出 200 个,已知这种商品每涨 价 1 元,其销售量减少 20 个,为了获得最大利润,售价应定为( ) A11 元 B12 元 C13 元 D14 元 3.一家旅社有 100 间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现每间客房每天的价格与住房 率之间的关系如下: 每间每天定价/元 住房率 20 65℅ 18 75℅ 16 85℅ 14 95℅

要使每天收入达到最高,每天定价应为( ) A20 元 B18 元 C16 元 D14 元 4.(分段函数模型)电讯费调整后,市话费标准为:通话时间不超过 3 分钟,收费 0.2 元;超过 3 分钟, 每增加 1 分钟收费 0.1 元,不足 1 分钟按 1 分钟计算,则通话费 S(元)与通话时间 t(分钟)的函 数图象(如下图)可表示为( )

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O

3 6 (A)

t

O

3 6 (B)

t

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O
97

3 6 (C)

t

O

3 6 (D)

t

5.某种菌类生长很快,长度每天增长 1 倍,在 20 天长成 4 米,那么长成 0.25 米要( ) A 1.25 天 B 5天 C 16 天 D 12 天 6.有一批材料可以建成长 200 米的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同 样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图) ,则围成矩形的最大面积是 .

B组 1.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水,蓄水池现有水 9 前吨,水厂每小时向池中注入 2 千吨水, 同时向全市供水, x 小时内供水总量为 8 x ,问: (1)多少小时时池内水量最少? (2)当蓄水池水量少于 3 千吨时,供水就会出现紧张现象,那么出现这种紧张情况有多长时间? (3)为了保证生产,生活的需要,决定扩大生产每小时向池内注水 3 千吨,能否消除供水紧张现象?为 什么?

2 .假设国家收购某种农产品的价格是 120 元/担,其中征税标准为每 100 元征收 8 元(收税率为 8 个百 分点,即 8%) ,计划可收购 m 万担,为减轻农民的负担,决定税率降低 x 个百分点,这样收购量预计可 增加 2 x 个百分点。 (1)写出税收 y (万元)与 x 的函数关系式; (2)当 x 不低于 2 个百分点时,求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少多少个百 分点?

函数的模型及应用(3)
学习目标 1. 学会分析问题,思考问题,准确地选择解决问题的方法和模型; 2. 学会解决常见的函数应用问题,如图表问题、拟合函数问题;
98

3. 进以步培养分析问题、解决问题的能力. 知识要点 1.拟合模型 2.离散点问题
距离(km)

当堂检测 80 例 1.如右图所示,表示一位骑自行车者和一位骑摩托者在相距为 80km 的 70 两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用 6 小时(含途中 60 休息的 1 小时),骑摩托者用了 2 小时,有人根据这个函数图象,突 50 出了关于这两个旅行者的如右信息: 40 (1) 骑自行车者比骑摩托者早出发 3 小时,晚到 1 小时; 自行车 摩托车 (2) 骑自行车者是变速运动,骑摩托者是匀速运动; 30 (3) 骑摩托者在出发 1.5 小时后追上了骑自行车者 20 其中正确信息的序号是 10 例 2.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不 800 元的部分不必纳税,超过 800 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款 0 1 2 3 4 5 6 按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额 不超过 800 元的部分 超过 800 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ?? 税率 5% 10% 15% ?? )

超过
时间(h)

某人一月份应交纳此项税款 26.78 远,则他的当月工资、薪金得介于( A.800—900 元 B.900—1200 元 C.1200—1500 元 D. 1500—2800 元
2

例 3.现测得 ? x, y ? 的两组值为 ?1, 2 ? , ? 2,5 ? ,现有两个拟合模型甲: y ? x ? 1 ,乙: y ? 3x ? 1 ,若又 测得 ? x, y ? 的一组对应值为 ? 3,10.2 ? ,则应选用 作为拟合模型较好

例 4.某厂 1 月、2 月、3 月、生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估计以后每个月的 产量,以这 3 个月的产量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系。模拟函数 可选择二次函数或函数 y ? ab ? c ( a、b、c 为常数) ,已知四月份该产品的产量为 1.37 万件,
x

试问用以上哪个函数作模拟函数较好?

当堂检测 1.今有一组实验数据如下:

t
99

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

V

1.5

4.04

7.5

12

18.01 )

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律,其中最接近的一个是( A. V ? log 2 t B. V ? log 1 t
2

C. V ?

t 2 ?1 2

D. V ? 2t ? 2

2.画出以下 4 个点:(15,7),(50,25),(60,34),(100,80),根据散点图,以下四种趋势,不应该 选用( ) A.指数 B. 乘幂 C.二次函数 D.对数 3.设本金为 a 元,每期利率为 r,本利和为为 y,存期为 x,按复利计算利息,则本利和 y 随存期 x 变化 的函数式为 4.下图是一份统计图表,根据此图表可以得到的以下说法中,正确的有 ( ) ①这几年人民生活水平逐年得到提高; 生活费收入指数 120 ②人民生活费收入增长最快的一年是 2000 年; 115 ③生活价格指数上涨速度最快的一年是 2001 年; 110 ④虽然 2002 年生活费收入增长较缓慢,但由于生 105 生活价格指数 100 活价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善 A.1 项 B.2 项 C.3 项 D.4 项
2000 2001 2002 2003

总结提升 常见的函数模型的应用实例主要包括两个方面:建立确定性函数模型解决实际问题与建立拟合函数 模型解决实际问题。 (1)确定性函数模型 这类应用题中提供的变量关系是确定的,求解时按下面的步骤:①认真审题,通过阅读理解,读懂题意, 关键找出题目中的自变量与函数值所满足的等式;②赋于自变量与函数值符号,常用 x,y 表示,由已分 析出的等式列出 y 关于 x 的函数关系式,这个函数关系中可能含有待定的系数,则需进一步由已知条件 求出待定系数;③利用函数知识,如单调性、最值等,对函数模型予以解答;④转译为具体问题作答, 简单的说即审题-建模-求模-还原。 (2)不确定性函数模型,或称拟合函数模型 这类应用题提供的变量关系是不确定的,只是给出两个变量的几组对应值,求解这类函数模型的一般步 骤为:画散点图 ? 选择函数模型 ? 用待定系数法求函数模型 ? 检验,若符合实际,可用此函数模型解 决实际问题,若不符合实际,则继续选择函数模型,重复操作以上过程。另外,以上过程可以利用计算 器或计算机进行数据拟合,在“添加趋势线”工具栏中,提供了线性、对数、指数、多项式等多种数学 模型,可供择优选用。 常见函数模型可分为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型,对数函数模型、幂函数模型、分段 函数模型等。 课后作业 A组 1.一辆匀速行驶的汽车 90min 行驶的路程为 180km,则这辆汽车行驶的路程 y(km)与时间 t(h)之间的 函数关系式是( A.y=2t ) B.y=120t C.y=2t (t>=0) D.y=120t (t>=0)

2. 用 一 根 长 为 12m 的 细 铁 丝 弯 折 成 一 个 矩 形 的 铁 框 架 , 则 能 弯 成 的 框 架 的 最 大 面 积 是
100

.

3.某音像社对外出租光盘的收费方法是:每张光盘在租出后的前两天每天收 0.8 元,以后每天收 0.5 元. 那么一张光盘在租出后的第 n 天( n ? N )应收的租金是
?

元。

4.据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上 年增长 7.3%,如果“十五”期间(2001 年-2005 年)每年我国国内生产总值按此年增长率增长,那么到 “十五”末我国国内年生产总值约为( A115000 亿元 B120000 亿元 ) C 127000 亿元 D135000 亿元 y

5.有一个空容器,由悬在它上方的一根水管均匀地 注水,直至把容器注满,在注水过程中,水面的高 度曲线如图 29-1 所示,其中 PQ 为一线段,则与图 相对应的容器的形状是( )


P

Q



O

x(时间 )

(A)

(B)

(C)

(D)

6.如下图,A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点, l 为公路,图中所示线段为道路,ABQP、BCRQ、CDSR 近 似于正方形,已知 A、B、C、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3:2:1:5,运煤的费用与运煤的路程、 所运煤的重量都成正比,现要从 P、Q、R、S 中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中 转站的费用最少,则地点应选在( (A) P
A B

) (D) S

(B) Q
C D

(C) R

I

P

Q

R

S

7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价为 5 元,销售单价与日均 销售量的关系如下表所示:

销售单价(元) 日均销售量(桶)

6 480

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

101

B组 1.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品能获得的利润依次是 P 和 Q(万元) ,它们与投入资金 x(万 元)的关系,有经验公式: P

?

x 3 ,Q ? x ,今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最 5 5

大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少,能获得的最大利润是多少?

2.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量

y ? ? g ? 与时间 t (小时)之间近似满足右图所示曲线
y

(1)写出服药后 y 与 t 的函数关系;

6

0

1

10

x

(2) 据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 ? g 时治疗疾病有效,假如病人一天中第一次服药为上午 7: 00,问一天中怎样安排服药时间(共四次)效果最佳?

第三章 函数的应用(复习)
学习目标
1. 体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件,能用二分法求方程的近似解,初步
102

形成用函数观点处理问题的意识; 2. 结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性, 初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤. ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 , x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 , 则 则令 b ? x1(此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④. 复习 3:函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点图→选 择函数模型→求函数模型→检验→符合实际,用函数模型解释实际问题;不符合实际,则重新选择函数 模型,直到符合实际为止.

,那么,函数

二、新课导学 典型例题
例 1 已知二次方程 (m ? 2) x 2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值范围.

例 2.将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻温度的数据如下表:
60 时间(S) 温度(℃) 86.86 时间(S) 360 温度(℃) 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

(1)描点画出水温随时间变化的图象; (2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x(s) 的函数模型,并作出其图象,观察它 与描点画出的图象的吻合程度如何. (3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模型分析,至少经过几分钟水温才会降到室温?再经过几 分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价?

103

三、总结提升 学习小结 零点存在定理及二分法;函数建模. 知识拓展 数学模型:对于现实中的原型,为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工 具得到一个数学结构。也可以说,数学建模是利用数学语言(符号、式子与图象)模拟现实的模型。把 现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态,或者 能预测到对象的未来状况,或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模:(Mathematical Modelling)把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的 解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一应用过 程称为数学建模.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.函数 f(x)=2x+7 的零点为 A、7 2.方程 x ? A、 (0,1)
x

( C、 ?



B、

7 2

7 2

D、-7 ( ) D、 (2,3)

1 ? 0 的一个实数解的存在区间为 x
B、 (0.5,1.5)

C、 (-2,1)
x

3 . 设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( )
A

(1,1.25)

B
2

(1.25,1.5)

C

(1.5, 2)

D 不能确定 ) D、小于 0

4.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间(1,2)内的函数值为( A、大于等于 0 B、等于 0 C、大于 0

5.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米(b<a) ,再 前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

6.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是(
x



104

A

(1, ??)

B

(0,1)

C

(0, 2)

D

(0, ??)

7.方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的实数解的个数为________________。

自我评价 你完成本节导学案的情况为(

)A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

课后作业 A组
1.某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比,且比例系数为 a,其余费用与 船的航行速度无关,约为每小时 b 元,若该船以速度 v 千米/时航行,航行每千米耗去的总费用为 (元) ,则 y 与 v 的函数解析式为________. 2.有一块长为 20 厘米,宽为 12 厘米的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然后折 成一个无盖的盒子。则盒子的容积 V 与 x 的函数关系式是 。

y

3.老师今年用 7200 元买一台笔记本。电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年计算机的 价格降低三分之一。三年后老师这台笔记本还值 4.已知函数 f ? x ? 的图象是连续不断的,有如下的 x , f ? x ? 对应值表:

x
f ?x ?

-2 -3.51

-1.5 1.02

-1 2.37

-0.5 1.56

0 -0.38

0.5 1.23

1 2.77

1.5 3.45

2 4.89

函数 f ? x ? 在哪几个区间内有零点?为什么?

B组 1.一个体户有一种货,如果月初售出可获利 100 元,再将本利都存入银行,已知银行月息为 2.4%,如 果月末售出可获利 120 元,但要付保管费 5 元,问这种货是月初售出好,还是月末售出好?

2.证明:函数 f ( x) ?

2x ? 5 在区间(2,3)上至少有一个零点。 x2 ? 1

105

3.有一片树林现有木材储蓄量为 7100 cm ,要力争使木材储蓄量 20 年后翻两番,即达到 28400 cm . (1) 求平均每年木材储蓄量的增长率. (2)如果平均每年增长率为 8%,几年可以翻两番?

3

3

4.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估测以 后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? a ? b ? c (其中 a, b, c 为常数)已知 4 月份该产品的产量为 1.37
x

万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由

必修一 综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符号题目要求的。) 1.(09· 宁夏 海南理)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?NB=( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} [答案] A [解析] A∩?NB={1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,?}={1,5,7}. 2.方程 log3x+x=3 的解所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) [答案] C [解析] 令 f(x)=log3x+x-3, ∵f(2)· f(3)<0,∴f(x)的零点在(2,3)内,∴选 C. 3.(08· 全国Ⅰ)(1)函数 y= x(x-1)+ x的定义域为( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1} [答案] C ?x(x-1)≥0 ? [解析] 要使 y= x(x-1)+ x有意义,则? , ? ?x≥0
?x≥1或x≤0 ? ∴? ,∴x≥1 或 x=0, ? ?x≥0 ∴定义域为{x|x≥1}∪{0}. 106

1 4.(09· 辽宁文)已知函数 f(x)满足:x≥4,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=( ? ? 1 A. 24 1 C. 8 [答案] A 1 B. 12 3 D. 8

)

5.(08· 江西)若 0<x<y<1,则( A.3y<3x C.log4x<log4y

) B.logx3<logy3 1 1 D.?4?x<?4?y ? ? ? ?

[答案] C [解析] ∵0<x<y<1, ∴①由 y=3u 为增函数知 3x<3y,排除 A; ②∵log3u 在(0,1)内单调递增, ∴log3x<log3y<0,∴logx3>logy3,∴B 错. ③由 y=log4u 为增函数知 log4x<log4y,∴C 正确. 1 1 1 ④由 y=?4?u 为减函数知?4?x>?4?y,排除 D. ? ? ? ? ? ? 6.已知方程|x|-ax-1=0 仅有一个负根,则 a 的取值范围是( A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1 [答案] D [解析] 数形结合判断.

)

1 7.已知 a>0 且 a≠1,则两函数 f(x)=ax 和 g(x)=loga?-x ?的图象只可能是( ? ?

)

[答案] C 1 [解析] g(x)=loga?-x?=-loga(-x), ? ? 其图象只能在 y 轴左侧,排除 A、B; 由 C、D 知,g(x)为增函数,∴a>1,
107

∴y=ax 为增函数,排除 D.∴选 C. 8.下列各函数中,哪一个与 y=x 为同一函数( x2 A.y= B.y=( x)2 x C.y=log33x D.y=2log2x [答案] C [解析] A∶y=x(x≠0),定义域不同; B∶y=x(x≥0),定义域不同; D∶y=x(x>0)定义域不同,故选 C.

)

1 1 9. (上海大学附中 2009~2010 高一期末)下图为两幂函数 y=xα 和 y=xβ 的图像, 其中 α, β∈{- , , 2 2 2,3},则不可能的是( )

[答案] B 1 1 1 [解析] 图 A 是 y=x2 与 y=x ;图 C 是 y=x3 与 y=x- ;图 D 是 y=x2 与 y=x- ,故选 B. 2 2 2

?log2x, x>0, ? 10.(2010· 天津理,8)设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ? ?log2(-x), x<0.

)

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) [答案] C [解析] 解法 1:由图象变换知函数 f(x)图象如图,且 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数,∴f(a)>f(-a) 化为 f(a)>0,∴当 x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选 C. 1 1 解法 2: a>0 时, f(a)>f(-a)得, 2a>log a, 当 由 log ∴a>1; a<0 时, f(a)>f(-a)得, (-a)>log2(- 当 由 log 2 2 a),∴-1<a<0,故选 C. 11.某市 2008 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房,有关部门计划以后每年 新建住房面积比上一年增加 5%,其中经济适用房每年增加 10 万平方米.按照此计划,当年建造的经济 适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据:1.052=1,1.053=1.16,1.054=1.22,1.055 =1.28)( ) A.2010 年 B.2011 年 C.2012 年 D.2013 年 [答案] C [解析] 设第 x 年新建住房面积为 f(x)=100(1+5%)x, 经济适用房面积为 g(x)=25+10x, 2g(x)>f(x) 由 得:2(25+10x)>100(1+5%)x,将已知条件代入验证知 x=4,所以在 2012 年时满足题意. 12.(2010· 山东理,4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(- 1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 [答案] D [解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即 0=20+b,∴b=-1, 故 f(1)=2+2-1=3,∴f(-1)=-f(1)=-3. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)
108

13.化简:(lg2)2+lg2lg5+lg5=________. [答案] 1 [解析] (lg2)2+lg2lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1. 1 14.(09· 重庆理)若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1 1 [答案] 2 [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1), 1 1 1 即 -1 +a=- -a,∴a= . 2 2 -1 2-1 2 15.已知集合 A={x|x -9x+14=0},B={x|ax+2=0}若 B A,则实数 a 的取值集合为________. 2 [答案] {0,-1,- } 7 [解析] A={2,7},当 a=0 时,B=? 2 满足 B A;当 a≠0 时,B={- } a 2 2 由 B A 知,- =2 或 7,∴a=-1 或- a 7 2 综上可知 a 的取值集合为{0,-1,- }. 7
2 3

16.已知 x3>x5,则 x 的范围为________. [答案] (-∞,0)∪(1,+∞)
2 3 2 3

[解析] 解法 1:y=x3和 y=x5定义域都是 R,y=x3过一、二象限,y=x5过一、三象限,
2 3

∴当 x∈(-∞,0)时 x3>x5恒成立 x=0 时,显然不成立.
2 3

当 x∈(0,+∞)时,x3>0,x5>0,

1

2

3



=x15>1,∴x>1,即 x>1 时 x3>x5
2 3

∴x 的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞). 解法 2:x<0 时,x3>0>x5成立; x>0 时,将 x 看作指数函数的底数 2 3 2 3 ∵ > 且 x3>x5,∴x>1. 3 5 ∴x 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞). [点评] 变量与常量相互转化思想的应用. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) x-2 17.(本题满分 12 分)用单调性定义证明函数 f(x)= 在(-1,+∞)上是增函数. x+1 [解析] 证明:设 x1>x2>-1,则 x1-2 x2-2 3(x1-x2) f(x1)-f(x2)= - = >0 x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) ∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 18.(本题满分 12 分)已知全集 R,集合 A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(?RA)∩B= {2},求 p+q 的值. [解析] ∵(?RA)∩B={2},∴2∈B, 由 B={x|x2-5x+q=0}有 4-10+q=0,∴q=6, 此时 B={x|x2-5x+6}={2,3}
109

假设?RA 中有 3,则(?RA)∩B={2,3}与(?RA)∩B={2}矛盾, ∵3∈R 又 3?(?RA), ∴3∈A,由 A={x|x2+px+12=0}有 9+3p+12=0, ∴p=-7.∴p+q=-1. 4x 19.(本题满分 12 分)设 f(x)= x ,若 0<a<1,试求: 4 +2 (1)f(a)+f(1-a)的值; 1 2 3 1 000 (2)f( )+f( )+f( )+?+f( )的值. 1 001 1 001 1 001 1 001 - 41 a 4a [解析] (1)f(a)+f(1-a)= a + 1-a 4 +2 4 +2 a a 4 +2 4 4 = a + =1 a= a 4 +2 4+2×4 4 +2 1 1 000 2 999 ∴f( )+f( )=f( )+f( ) 1001 1001 1001 1001 500 501 =?=f( )+f( )=1.∴原式=500. 1001 1001 20.(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x2+2ax+2-a=0 有两个不相等的实根,求分别满足下列条件 的 a 的取值范围. (1)方程两根都小于 1; (2)方程一根大于 2,另一根小于 2. [解析]设 f(x)=x2+2ax+2-a (1)∵两根都小于 1,

?Δ=4a -4(2-a)>0 ? ∴?-2a<2 ?f(1)=3+a>0 ?

2

,解得 a>1.

(2)∵方程一根大于 2,一根小于 2, ∴f(2)<0 ∴a<-2. 21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=loga(a-ax)(a>1). (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域内的单调性; (3)求证函数的图象关于直线 y=x 对称. [解析] (1)解:由 a-ax>0 得,ax<a,∵a>1, ∴x<1,∴函数的定义域为(-∞,1) ∵ax>0 且 a-ax>0. ∴0<a-ax<a. ∴loga(a-ax)∈(-∞,1),即函数的值域为(-∞,1). (2)解:u=a-ax 在(-∞,1)上递减, ∴y=loga(a-ax)在(-∞,1)上递减. (3)证明:令 f(x)=y,则 y=loga(a-ax), ∴ay=a-ax, ∴ax=a-ay,∴x=loga(a-ay), 即反函数为 y=loga(a-ax), ∴f(x)=loga(a-ax)的图象关于直线 y=x 对称. [点评] (1)本题给出了条件 a>1,若把这个条件改为 a>0 且 a≠1,就应分 a>1 与 0<a<1 进行讨 论.请自己在 0<a<1 的条件下再解答(1)(2)问. (2)第(3)问可在函数 f(x)的图象上任取一点,P(x0,y0),证明它关于直线 y=x 的对称点(y0,x0)也在函 数的图象上. ∵y0=loga(a-ax0) ∴ay0=a-ax0 即 a-ay0=ax0 ∴f(y0)=loga(a-ay0)=logaax0=x0 ∴点(y0,x0)也在函数 y=f(x)的图象上.
110

∴函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称. ax 1 1 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)= 2 的定义域为[- , ],(a≠0) 2 2 x -1 (1)判断 f(x)的奇偶性. (2)讨论 f(x)的单调性. (3)求 f(x)的最大值. -ax [解析] (1)∵f(-x)= 2 =-f(x),∴f(x)为奇函数. x -1 1 1 (2)设- ≤x1<x2≤ , 2 2 ax1 ax2 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2-1 a(x2-x1)(x1x2+1) = 2 (x1-1)(x2-1) 2 若 a>0,则由于 x2-1<0,x2-1<0,x2-x1>0, 1 2 x1x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0 1 1 ∴f(x1)>f(x2)即 f(x)在[- , ]上是减函数 2 2 1 1 若 a<0,同理可得,f(x)在[- , ]上是增函数. 2 2 (3)当 a>0 时,由(2)知 f(x)的最大值为 1 2 f(- )= a. 2 3 1 2 当 a<0 时,由(2)知 f(x)的最大值为 f( )=- a. 2 3

111



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