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高中数学知识重组、网络建构系列之集合与不等式:专题六 恒成立问题


专题六 恒成立问题完美突破 ? 主干知识互联,提纲挈领 1. ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x ? R 恒成立 ? ? ?a ? 0 , 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 . ?a ? 0 , ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x ? R 恒成立 ? ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 . 2. 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恒成立, 则等价于在区间上 f ? x ?min ? A ; 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B .如果函数在区间 D 上不存在最值,那么也可以根据函数值 域的端点值得出类似的等价关系. ? 重点难点突破,抓住核心 考向 1 不等式的恒成立问题 ? 方法规律提升,融会贯通 【例 1】 【2016 年福建厦门一中高三质量检测】函数 f ? x ? ? ? x2 ? 3x ? a, g ? x ? ? 2x ? x2 , 若 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于 在区间上 f ? x ?min ? A ;若不等式 f ? x ? ? B 在区间 f? ? g ? x?? ? ? 0 对 x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 a 的取值 范围是 A. ? ?e, ?? ? C. ? ?2, ?? ? 【答案】C. 【解析】令 t ? g ? x ? ,x ?[0 , 1] , 则 B. ? ? ln 2, ?? ? D. ? ? ( ) D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B . ? 1 ? , 0? ? 2 ? g x) ( ? x0) ? 0 ,则函数 ( g ( ? x) ? 2x ln2 ? 2x 设 g 在 [0,x0 ] 上单调递增,在上 [ x0, 1] 单调递减, g x) ( 在 x ? ? 0,1? 的值域 g x0) ?1 , ( ? ? g ? x0 ? ? 2 x 2 0 ? x0 2 , ? ( f t) ? 0, ? ? a ? ?2. 即 a ? t ? 3t, 故选 C. 【变式训练】 1. 【2016 高考浙江理数】已知实数 a , b , c 2 2 2 2 2 A.若 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c ? 100 2 2 2 2 2 B.若 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c ? 100 2 2 2 2 2 C.若 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c ? 100 2 2 2 2 2 D.若 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c ? 100 ( ) 【答案】D 3 2 2. 【2016 全国大联考 1 课标 I 卷】 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a ln x(a ? R) ,g ( x ) ? ? x ? 5 2 x ? 2x ? 6 , 2 g ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 b ,当 x ??1, ?? ? 时, f ( x) ? b 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 a ? 1 【解析】 g ?( x) ? ?3x ? 5x ? 2 ? ?( x ? 2)(3x ? 1) ,所以 g ( x) 在 [1, 2] 上是增函数, [2, 4


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