18.向量共线定理和向量基本定理

向量共线定理和向量基本定理 知识点归纳: 1. 向量共线定理(两个向量之间的关系) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数
? ,使得 b ? ? a .

变形形式:已知直线 l 上三点 A, B, P , O 为直线 l 外任一点,有且 只有一个实数 ? ,使得
OP ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB .

2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 考点 1 向量共线定理 题型 1 判断向量共线、三点共线、 两直线平行 例 1 如图,已知 AD ? 3 AB , DE ? 3BC ,试 判断 AC 与 AE 是否共线?
D A B C E

例 2 已知向量 a, b ， 且 AB ? a ? 2b , BC ? ?5a ? 6b , CD ? 7a ? 2b 则一定 B. A, B, C C. B, C, D 共 线 的 三 点 是 ： A. A, B, D

D. A, C, D

例 3 根据下列条件,分别判断四边形 ABCD 的形状 ⑴ AD ? BC ⑵ AD ? 1 BC
3

⑶ AD ? BC ,且 AB

? AD

题型 2 向量共线定理的应用 例 4 ⑴已知点
AB , BC ? AB
C

在线段

AB

上,且

AC 5 ? CB 2

,则

AC ?

⑵ 设

e1 , e2

是 不 共 线 的 向 量 , 已 知 向 量 ,若 A,B,D 三点共线,求 k 的

AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2

值. ⑶已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，若 OB ? a1OA ? a200 OC ，且
A ，B，C

三点共线（该直线不过点 O ） ，则 S200 等于
B. 101 C. 200 D. 201

A. 100

考点 3 平面向量基本定理 题型 在几何图形中,用基底表示其他向量 例 5 如图,
ABCD 的两条对角线相交于点 M

,且 AB ? a , AD ? b ,
C

用 a, b 为基底表示 MA, MB, MC, MD
b

D M

A

a

B

A

例6

D 是 △ ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD ?
1 BC ? BA 2 1 B D. BC ? BA 2

D

1 1 A. ?BC ? BA B. ?BC ? BA C. 2 2

C

， ， OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 例 7 如图，平面内有三个向量 OAOB

120?

，

OA

与

OC

的夹角为

30 ?

，且

OA ? OB ? 1

，

OC ? 2 3

．若
C

OC ? ?OA ? ?OB ? ?, ? ? R ? ，

则 ? ? ? 的值为

B

O

A

练习: 1. 若已知 e1 、e2 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不 能作为基底的一组是 ( A．e1 与— e2 与 2 e1 →”是“四边形 ABCD 为梯 2. 在四边形 ABCD 中，“→ AB＝2DC 形”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 ) C．e1 ＋ e2 与 e1 — e2 D．e1

B． 3 e1 与 2 e2

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件
BC ? e1 ? e 2 , CD ? 2e1 ? e 2 ，则下列关系一

3. 已知：AB ? 3(e1 ? e2 ), 定成立的是（ ）

A、A，B，C 三点共线 线 C、C，A，D 三点共线 线

B、A，B，D 三点共

D、B，C，D 三点共

A

4. 如图，已知 AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC ，用 a, b 表
B

C D

示 AD ，则 AD ? （ A． a ? 3 b
4

）
4 4 4 4 4 4

B． 1 a ? 3 b C． 1 a ? 1 b D． 3 a ? 1 b

5. 在 △ ABC 中 ， AB ? c ， AC ? b ． 若 点 D 满 足 BD ? 2DC ， 则 AD ? ( ) A． 2 b ? 1 c B． 5 c ? 2 b C． 2 b ? 1 c
3 3 D． 1 b ? 2 c 3 3
△ ABC

3

3

3

3

6. 在

中，已知

D

是

AB

边上一点，若
B.

AD ? 2DB
D. ?

，

1 CD ? CA ? ? CB 则 ? ? 3

A.

2 3

1 3

C. ?

1 3

2 3

7. D、E、F 分别是△ABC 的 BC、CA、AB 上的中点，且 BC ? a ，
CA ? b ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（

）

① AD ? ? 1 a ? b

2 ③ CF ? ? 1 a ? 1 b 2 2

② BE ? a ? 1 b
2

④ AD ? BE ? CF ? 0 B、2 C、3

A、1

D、4 8. 设 e1, e2 是两个不共线的向量，若 a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ?e2 共线， 则实数 ? ? 9. 在平行四边形 ABCD 中，AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ，M 为 BC 的中 点， 则 MN ? （用 a, b 表示） 10. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ? 2 ， BC ? 3 ， ?ABC ? 60? ，
AH ? BC 于 H

， M 为 AH 的中点，若 AM ? ? AB ? ? BC ， .
B

A

则? ?? ?

?M
H C

设 e1 , e2 是不共线的向量，e1 ? 4e2 与 ke1 ? e2 共线，则实数 k 的值是 若 3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量， 求ｍ，ｎ. 如图，在 Δ ABC 中，D、E 为边 AB 的 两个三等分点，→ CA =3a，→ CB =2b，求
E B D A

C

→ CD ，→ CE ．

已知 a + b = e1 ? 3e 2 ， a - b = e1 ? 2e2 ，用 e1 、 e 2 表示 a =

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?