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直线与平面的垂直判定和性质典型例题(学生版无答案)



典型例题
例 1 下列图形中,满足唯一性的是( ) . A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线外一点与该直线平行的平面 C.过平面外一点与平面平行的直线 D.过一点作已知平面的垂线 例 2 已知下列命题: (1) 若一直线垂直于一个平面的一条斜线, 则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影; (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行; (3)若平面外的

两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直; (4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则 这两条直线在这个平面上的射影互相垂直. 上述命题正确的是( ) . A. (1) 、 (2) B. (2) 、 (3) C. (3) 、 (4) D. (2) 、 (4)

O 是底面正方形 ABCD 的 例 3 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是 BB 1 的中点,
中心,求证: OE ? 平面 ACD 1.

例 4 如图,在△ ABC 中, ?B ? 90 , SA ? 平面 ABC ,点 A 在 SB 和 SC 上的射影分
?

别为 M、N ,求证: MN ? SC .

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例 5 如图, AB 为平面 ? 的斜线, B 为斜足, AH 垂直平面 ? 于 H 点, BC 为平面 ? 内 的直线, ?ABH ? ? , ?HBC ? ? , ?ABC ? ? ,求证: cos ? ? cos? ? cos? .

例 6 如图,已知正方形 ABCD 边长为 4, CG ? 平面 ABCD , CG ? 2 , E、F 分别是 AB、AD 中点,求点 B 到平面 GEF 的距离.

例 7 如图所示,直角 ?ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC . (1)求证:点 S 与斜边 AC 中点 D 的连线 SD ? 面 ABC ; (2)若直角边 BA ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

例 9

如图所示,已知平面 ? ? 平面 ? = EF , A 为 ? 、 ? 外一点, AB ? ? 于 B ,

AC ? ? 于 C , CD ? ? 于 D .证明: BD ? EF .

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例 10 平面 ? 内有一半圆,直径 AB ,过 A 作 SA ? 平面 ? ,在半圆上任取一点 M ,连 SM 、 SB ,且 N 、 H 分别是 A 在 SM 、 SB 上的射影. (1)求证: NH ? SB ; (2)这个图形中有多少个线面垂直关系? (3)这个图形中有多少个直角三角形? (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?

如 图 所 示 , ?BAC ? 90? . 在 平 面 ?PAB ? ?PAC ? 60? .求 PA 与平面 ? 所成的角. 例 11

? 内 , PA 是 ? 的 斜 线 ,

SB ? BC , 例 12 如图所示, 在平面 ? 内有 ?ABC , 在平面 ? 外有点 S , 斜线 SA ? AC ,
且斜线 SA 、 SB 分别与平面 ? 所成的角相等,设点 S 与平面 ? 的距离为 4cm , AC ? BC , 且 AB ? 6cm .求点 S 与直线 AB 的距离.

ABCD 是正方形, SA 垂直于平面 ABCD , 例 13 如图, 过 A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、 SC 、 SD 分别于点 E 、 F 、 G ,求证: AE ? SB , AG ? SD .

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例 14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平 面内的射影在这个角的平分线上. 已知: ?BAC 在平面 ? 内,点 P ? ? , PE ? AB , PF ? AC , PO ? ? ,垂足分别是 E 、 F 、 O , PE ? PF .求证: ?BAO ? ?CAO .

例 15 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号. (1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行. ( ) (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直. ( ) (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. ( ) (4)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 ? 的平面内. ( ) (5) 如果 三条 共点 直线 两两 垂直 ,那 么其 中一 条直 线垂 直于 另两 条直 线确 定的平 面. ( ) 例 16 如图,已知空间四边形 ABCD 的边 BC ? AC , AD ? BD ,引 BE ? CD , E 为 垂足,作 AH ? BE 于 H ,求证: AH ? 平面BCD .

例 17 如果平面 ? 与 ? 外一条直线 a 都垂直 b ,那么 a // ? . 已知:直线 a ? ? , a ? 直线b , b ? ? .求证: a // ? .

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例 18

如 图 , 已 知 在 ?ABC 中 , ?BAC ? 60? , 线 段 AD ? 平面ABC ,

AH ? 平面DBC , H 为垂足.
求证: H 不可能是 ?DBC 的垂心.

例 19 在空间,下列哪些命题是正确的( ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A.仅②不正确 B.仅①、④正确 C.仅①正确 D.四个命题都正确

) .

例 22 如图, 已知 P 为 ?ABC 外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,PA ? PB ? PC ? a , 求 P 点到平面 ABC 的距离.

例 23 如图,已知在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,棱 AA 1 ? 5 , AB ? 12 ,求直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离.

例 24 AD 、 BC 分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为 30 ? , AD ? 8cm , AB ? BC , DC ? BC .求线段 BC 的长.

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