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2012年新高一数学竞赛06



2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 06

─── 线段与角的和差倍分问题
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立

完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

例 1.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,∠A= 1 0 0 ? ,∠1=∠2;求证:AD+BD=BC.
(提示:延长 B D 到 E ,使 D E
? AD

,连结 C E )
A

D

2 1 B C

例 2.已知:如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠D= 9 0 ? ,∠ACB= 3 6 ? ,∠ACD= 1 8 ? ; 求证:BC=
1 2
D

AC+AD. (提示:取 A C 的中点 E ,连结 B D、 B E ,设对角线交于 F , B E 交 C D 于 M )

A

B

C

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 3.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,∠ABD= 6 0 ? ,∠ADB= 9 0 ? 求证:AB=BD+DC. (延长线段 B D 到 E ,使 D E
? DC

1 2

∠BDC;

,连结 A E )
A

D

B

C

例 4.已知:如图,△ABC 中,∠1=∠2,∠3=∠4,P 是 DE 中点,PM⊥BC,PR⊥AB,PQ⊥AC; 求证:PM=PR+PQ. (作 E E 1
? BC

, EE2

? AC

, D D1

? BC

, DD2

? AB


A

R E P

Q D

4 3 B M 1

2

C

2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 5.已知:如图,△ABC 中,∠1=∠2,M 是 BC 中点,ME⊥AD 交 AC 于 E,若 CE= 求证:∠ACB=2∠B. (延长 C E 到 F ,使 E F
? CE

1 2

CD;

,连结 D F 、 B F , B F 交 A D 于 N )
A

1

2

C D M E B

例 6.已知:如图,△ABC 中,∠C= 9 0 ? ,E 是 BC 上一点,ED⊥BC 交 BA 于 D,若 BE=AC,BD= DE+BC=1;求证:BE=
1 2
C

1 2



AB. (延长 B C 到 F ,使 C F

? DE

,连结 A F )

E

B

A D

3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

巩固练习 06

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.△ABC 中,AD⊥BC 于 D,BE 是∠B 的平分线,若 AB+BD=DC;求证:BE=EC.
A

E

B

D

C

2.正方形 ABCD 中,E 是 DC 中点,K 是 EC 上一点,若∠BAK=2∠DAE, 求证:AK=BC+KC.
A D

E

K

B

C

4



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