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空间向量及运算



第6讲

空间向量及运算

泰安二中数学2013年12月16日星期一

课前自主导学
1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b

的充要条件是存在实数λ,使________.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p

与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使________.

(3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面, 那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 ________.其中,{a,b,c}叫做空间的一个________. 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一 点 P, 都存在唯一的三个有序实数 x、 z, → =________. y、 使OP

判断下列命题是否正确 → → → ①已知 A、B、C、D 是空间任意四点,则AB+BC+CD → +DA=0;( ) )

②若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行;(

③若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一 定不共面;( )

④若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;

( )
⑤已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向 量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.( )

如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E → → → 为 AD 的中点,若EF=λ(AB+DC),则 λ=________.

2. 数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ; ②a⊥b?________(a,b 为非零向量); ③|a|2=________,|a|= x2+y2+z2. (2)空间向量的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).则
2 ①|a|= a1+a2+a2. 2 3

②a+b=____________. ③a-b=____________. ④λa=__________. ⑤a· b=____________. ⑥设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 → → → AB=OB-OA=____________. ⑦cos〈a,b〉=____________.

1 (1)已知向量 a=(8,2x,x),b=(x,1,2),其中 x>0.若 a ∥b,则 x 的值为________. (2)已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a- b 互相垂直,则 k 值是________. (3)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的锐角二面角为________.

1.a=λb → → yOB+zOC

p=xa+yb

p=xa+yb+zc

基底

→ xOA +

判一判:①√

②×

③×

④×

⑤×

提示:由向量的加法知①正确;a 与 b 共线,a,b 所在 直线也可能重合,故②不正确;据空间向量的意义知,a,b 所在直线异面,则 a,b 必共面,故③错误;三个向量 a,b, c 中任两个一定共面,但它们却不一定共面,故④不正确; 只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p

1 填一填:2 EG、GF.

提示:如图所示,取 AC 的中点 G,连接

→ =EG+GF=1(DC+AB) 则EF → → 2 → → 1 → → 1 =2(AB+DC),∴λ=2.

2. a· b=0 a2 b2,a3-b3) -y1,z2-z1)

(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2- a1b1+a2b2+a3b3 (x2-x1,y2

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 a2+a2+a3· b1+b2+b2 1 2 2 3

填一填:(1)4

1 x 8 2 x 提示:∵x = 1 =2,∴x=4.

(2)提示:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a -b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 7 ∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0,∴k=5. m· n 1 2 (3)45° 提示:∵cosθ=|m||n|= = 2 ,∴θ=45° . 2

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1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意

义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直.

第七章 第6讲

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1个必记技巧 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似,只是多 出一个坐标,与平面向量的坐标运算作一些对比,可以比较容 易地掌握空间向量的坐标运算问题. 1种必会方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是:①适当的选 取基底{a,b,c};②用a,b,c表示相关向量;③通过运算完

成证明或计算问题.
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2 个必会问题 1. 点共线问题: 证明点共线问题可转化为证明向量共线问题, 如证明 A、 B、 → → C 三个点共线,即证明AB与AC共线. 2. 点共面问题: 点共面问题,可转化为向量共面问题,要证明 P、A、B、C → → → 四点共面,只要能证明PA=xPB+yPC,或对空间任一点 O, → → → → → → → → 有OA=OP+xPB+yPC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1) 即可.
第七章 第6讲

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2项必须防范

1. 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底
的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如果此 向量与一个易求的向量共线,可用数乘. 2. 进行向量的加法运算时,若用三角形法则,必须使两向 量首尾相接;若用平行四边形法则,必须使两向量共起点.进

行向量减法时,必须使两向量共起点.

第七章 第6讲

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核心要点研究
长春月考?如图所示,在平行六面体 ABCD 例 1 ?2013· → → → -A1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别 是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:

→ → (1)AP; (2)A1N; → → (3)MP+NC1.

[审题视点]

结合图形,运用三角形法则或平行四边形法

则及向量的数乘等求解.
[解] (1)∵P 是 C1D1 的中点, → → → ∴AP=AA1+A→ 1+D1P D 1 → +1D C =a+AD 2 → 1 1 1→ =a+c+2AB 1 =a+c+2b.

(2)∵N 是 BC 的中点, → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN 1→ =-a+b+2BC 1→ 1 =-a+b+2AD=-a+b+2c. (3)∵M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → ∴MP=MA+AP=2A1A+AP 1 1 =-2a+(a+c+2b)

1 1 =2a+2b+c, → → → 又NC1=NC+CC1 1→ → =2BC+AA1 1→ → 1 =2AD+AA1=2c+a, → +NC =(1a+1b+c)+(a+1c) ∴MP →1 2 2 2 3 1 3 =2a+2b+2c.

→ 1→ → → 奇思妙想:在例题的条件下,若AE=2EC,A1F=2FD, → 试用 a,b,c 表示EF.
解:如图:连接 AF, → → → 则EF=EA+AF. 由已知四边形 ABCD 是平行四边形, → → → 故AC=AB+AD=b+c. → → → A1D=A1A+AD=-a+c.

→ =-1AC=-1(b+c), → 又EA 3 3 → → 由已知:A1F=2FD, → → → → → ∴AF=AD+DF=AD-FD → -1A D=c-1(c-a)=1(a+2c), =AD 3 → 1 3 3 → =EA+AF=-1(b+c)+1(a+2c) ∴EF → → 3 3 1 1 1 1 =3(a-b+c)=3a-3b+3c.

用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指 导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的 几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始

点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量
加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则, 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.

[变式探究]

在四面体 O-ABC 中,→ =a,→ =b,→ OA OB OC

→ =c, 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, D E 则OE=________.(用 a,b,c 表示)

1 1 1 答案:2a+4b+4c
→ =1OA+1OD=1OA+1OB+1OC=1a+1b+1c. 解析:OE 2 → 2 → 2 → 4 → 4 → 2 4 4

例2 中点.

[2013·抚州月考]如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

底面ABCD是平行四边形,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的

→ → → → (1)试用向量AB,AD,AA1表示AG; (2)用向量方法证明平面 EFG∥平面 AB1C.

[审题视点]

(1)结合四棱柱的特征及向量的线性运算用

→ → → → AB,AD,AA1表示AG. (2)利用向量共线可得线线平行,继而可证面面平行.

→ → → [解] 设AB=a,AD=b,AA1=c, → → → → (1)由题干图得AG=AA1+A1D1+D1G 1→ 1 =c+b+2DC=2a+b+c.

→ → → (2)由题干图得:AC=AB+BC=a+b, 1 1→ → → → 1 EG=ED1+D1G=2b+2a=2AC, → → ∵EG与AC无公共点.∴EG∥AC,∴EG∥平面 AB1C. → → → 又∵AB1=AB+BB1=a+c, 1→ → → → 1 1 FG=FD1+D1G=2c+2a=2AB1, → → ∵FG与AB1无公共点,∴FG∥AB1,∴FG∥平面 AB1C, 又∵FG∩EG=G,∴平面 EFG∥平面 AB1C.

要证明面面平行,可在一个平面内找两条相交直线的方向向 量和另一个平面的两个向量共线,从而证得线面平行,得到 面面平行.

[变式探究]

如图所示,已知?ABCD,从平面 AC 外一

→ → → → → → → → 点 O 引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD, 求证:四点 E,F,G,H 共面.

证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, → → → 所以AC=AB+AD. → → → → → → EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC → → =k(AB+AD) → → → → =k(OB-OA+OD-OA) → → → → =OF-OE+OH-OE → → =EF+EH.所以 E、F、G、H 四点共面.

例3

[2013· 中山模拟]已知空间中三点 A(-2,0,2), B(-

→ → 1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC, → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c; (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. [审题视点] 解本题的任务是正确表示出各个向量的坐

标,然后利用数量积公式进行计算.

[解] (1)c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2). ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1. 又|a|= 12+12+02= 2, |b|= ?-1?2+02+22= 5 a· b 10 ∴cos〈a· b〉=|a||b|=- 10 .

(3)由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, ∴(ka+b)· (ka-2b) =k2a2-ka· b-2b2 5 =2k +k-10=0.∴k=2 或-2.
2

奇思妙想:本例已知不变,若λ(a+b)+μ(a-b)与z轴垂 直,求λ,μ应满足的关系. 解:∵a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),

∴λ(a+b)+μ(a-b)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ).
∵λ(a+b)+μ(a-b)与z轴垂直, ∴(2μ,λ+μ,2λ-2μ)·(0,0,1)=2λ-2μ=0, 即当λ,μ满足关系λ-μ=0时,可使λ(a+b)+μ(a-b)与z轴 垂直.

1.应用数量积解决问题时一般有两种方法:一是取相互之间 夹角已知,模已知的基向量为基底表示题中的向量再计算,

二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决,后者更为简
捷. 2.在求立体几何中线段的长度时,转化为求a·a=|a|2,或利 用空间两点间的距离公式.

[变式探究] -1,5).

已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,

→ → (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; → → (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂直,求向量 a 的坐 标.

解析:(1)由题意可得: → → AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), → AC -2+3+6 7 1 → AB· → → ∴cos〈AB,AC〉= = =14=2, → → 14× 14 |AB||AC| 3 → → ∴sin〈AB,AC〉= 2 , → → ∴以AB,AC为边的平行四边形的面积 1→ → 3 → → S=2×2|AB|· |· |AC sin〈AB,AC〉=14× 2 =7 3.

(2)设 a=(x,y,z), ?x2+y2+z2=3, ? 由题意得?-2x-y+3z=0, ?x-3y+2z=0. ? ?x=1, ? 解得?y=1, ?z=1, ? ?x=-1, ? 或?y=-1, ?z=-1. ?

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).

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【选题·热考秀】[2013·长沙模拟]直三棱柱ABC-A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中 点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′

所成角的余弦值.

[规范解答]

→ → → (1)证明:设CA=a,CB=b,CC′=c,

根据题意,|a|=|b|=|c|且 a· b=b· c=c· a=0, → =b+1c,A′D=-c+1b-1a. → ∴CE 2 2 2 → · → =-1c2+1b2=0, ∴CE A′D 2 2 → → ∴CE⊥A′D,即 CE⊥A′D.

5 → → → (2)AC′=-a+c,∴|AC′|= 2|a|,|CE|= 2 |a|. → · =(-a+c)· 1c)=1c2=1|a|2, → AC′ CE (b+2 2 2 1 2 2|a| 10 → ,CE〉= → ∴cos〈AC′ = 10 . 5 2 2·2 |a| 10 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 .

【备考· 角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 (1)证明两条直线垂直, 一般是用两向量的数量积为 0 来 a· b 证明.(2)用 cos〈a,b〉=|a||b|来确定两个向量的夹角.

No.2

角度关键词:模板构建

利用空间向量解决立体几何方法的一般步骤是: ①适当地选取基底{a,b,c},一般情况下要知道a,b,c

的长度和两线的夹角.
②用a,b,c表示已知条件和明确需要解决的问题,将立体 几何问题转化为空间向量问题. ③根据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证 明.

经典演练提能
1. 若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( A. x=1,y=1 1 3 C. x=6,y=-2 1 1 B. x=2,y=-2 1 3 D. x=-6,y=2 )

答案:C
2x 1 3 1 3 解析:由 1 = = ,得 x=6,y=-2. -2y 9

2. [2013· 宁化模拟]若平面 α,β 的法向量分别为 a=(- 1,2,4),b=(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值为( A. 10 1 C. 2 B. -10 1 D. -2 )

答案:B 解析:由(-1)·x+2·(-1)+4·(-2)=0,得x=-10,选B

项.

3. 已知空间四边形 ABCD 中,M、G 分别为 BC、CD 的 → 1 → → 中点,则AB+2(BD+BC)等于( → A. AG → C. BC → B. CG 1→ D. 2BC )

答案:A

1 → → → → → → 解析:如图所示:2(BD+BC)=BG,AB+BG=AG.

4. [2013· 莆田模拟]已知 a=(2, -1,3), b=(-1,4, -2), c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 60 C. 7 63 B. 7 65 D. 7 )

答案:D
解析:由题意得 c=ma+nb =(2m-n,-m+4n,3m-2n), ? ?m=33, 7 ? ? 17 ?n= , ∴ 7 ? ? 65 ?λ= 7 , ?

?7=2m-n ? ∴?5=-m+4n ?λ=3m-2n ?



选 D 项.

5. [2013·江苏模拟]已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平 面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点C到平面 GEF的距离为________.

6 11 答案: 11

解析:建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,则CG= (0,0,2),由题意易得平面 GEF 的一个法向量 n=(1,1,3),所以 |n· | 6 11 CG 点 C 到平面 GEF 的距离为 d= |n| = 11 .







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