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高一数学期末压轴题 2



高一数学期末压轴题 4(包含全国各重点中学模拟题和全国各地期末试卷) 1.已知集合 A ? { y | y ? log3 x, x ? 1} , B ? { y | y ? 3 x , x ? 0} ,则 A ? B ? 【 A {y | 0 ? y ? } 】

1 3

B { y | y ? 0}

C {y |<

br />
1 ? y ? 1} 3

D { y | y ? 1}

16. 函数 y= log 1 (5 x ? 3) 的定义域是 ______
2

.

21.(本题满分 12 分)已知 f ( x) ? ln(e x ? a) 为奇函数, g ( x) ? ?f ( x) (1) 求实数 a 的值。 (2) 若 g ( x) ? x log2 x 在 x ? [2,3] 上恒成立,求 ? 的取值范围。(提示:即求 x log2 x 的最值)

21.答案:(1)a=0; (2) g ( x) ? ?f ( x) ? ?x ? x log2 x 在[2,3]上恒成立即 ? ? log2 x 在[2,3]上恒成 立,而 ? ? log2 x 在[2,3]上的最小值为 1,故 ? ? 1 .

16、下列几个命题 ①方程 x2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 。 ②函数 y ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数。 ③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] 。 ④ 设函数 y ? f ( x) 定义域为 R, 则函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 y 轴 对称。 ⑤一条曲线 y ?| 3 ? x 2 | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m , m 的值不可能 则 是 1。 其中正确的有_____1\5______________。 20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c . (1) 若 f (?1) ? 0, f (0) ? 0 ,求出函数 f (x) 的零点;

(2) 若 f ( x) 同时满足以下条件: ①当 x ? ?1 时, 函数 f ( x) 有最小值 0; f (1) ? 1 , ② 求 f (x) 的解析式;
1 (3) 若对 f (1) ? f (3) ,证明方程 f ( x) ? [ f (1) ? f (3)] 必有一个实数根属于区间 2

(1,3) .

20.解: (1) 【法一】? f (?1) ? 0, f (0) ? 0
? a ? b ………………………………… 1 分

? f ( x) ? ax( x ? 1) ………………………………… 2 分

所以:函数 f (x) 的零点是 0 和-1. ………………………………… 3 分 【法二】因为 f (x) 是二次函数,所以 f (x) 最多有两个零点,┄┄┄┄┄ ┄1 分 又? f (?1) ? 0, f (0) ? 0 分 所以:函数 f (x) 的零点是 0 和 ? 1 . (2)由条件①得: ? 5分 ┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ┄┄┄┄┄┄┄2

b 4ac ? b 2 ? ?1, ? 0 , a ? 0 ………………………………… 2a 4a

? b ? 2a, b2 ? 4ac ? 4a2 ? 4ac ? a ? c ………………………………… 6 分
由条件②知: a ? b ? c ? 1 ……………… 7 分

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得 a ? c ? ,b ? ………………………………… 9 分 4 2 ?a ? c ?

1 2 1 1 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 …………………………………10 分 4 2 4 4 1 (3)令 g ( x) ? f ( x) ? [ f (1) ? f (3)] ,则 2 1 1 g (1) ? f (1) ? [ f (1) ? f (3)] ? [ f (1) ? f (3)] 2 2 1 1 g (3) ? f (3) ? [ f (1) ? f (3)] ? [ f (3) ? f (1)] , ………………………………… 2 2

所以: f ( x) ?

11 分
1 ? g (1) ? g (3) ? ? [ f (1) ? f (3)] 2 ? 0 ………………………………… 13 分 4

? g ? x ? ? 0 在(1,3)内必有一个实根
即 方 程
1 f ( x) ? [ f (1) ? f (3)] 2



















(1,3) …………………………………14 分 ⒛(本小题满分 10 分) 对于函数 f ?x? ? ax2 ? ?b ? 1?x ? b ? 2, ?a ? 0? ,若存在实数 x0 ,使 f ?x0 ? = x0 成立,则 称 x0 为 f ?x ? 的不动点. ⑴当 a ? 2, b ? ?2 时,求 f ?x ? 的不动点; ⑵若对于任意实数 b ,函数 f ?x ? 恒有两个不相同的不动点,求 a 的取值范围.

⒛解:⑴由题义 2 x 2 ? ?? 2 ? 1?x ? ?? 2? ? 2 ? x

…………………………2 分 …………4 分 ………5 分

整理得 2 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ,解方程得 x1 ? ?1, x2 ? 2 即 f ?x ? 的不动点为-1和 2.

⑵由 f ?x ? = x 得 ax2 ? bx ? b ? 2 ? 0

…………6 分

如此方程有两解,则有△= b 2 ? 4a?b ? 2? ? b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 把 b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 看作是关于 b 的二次函数,则有

…7 分

?4a?2 ? 4?8a? ? 16a 2 ? 32a ? 16a?a ? 2? ? 0
解得 0 ? a ? 2 即为所求. 3 8.已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) . 2 (1)当 a ∥ b 时,求 cos 2 x ? sin 2 x 的值; (2)设 x1 , x2 为函数 f ( x) ? ?

……………9 分 ………10 分

2 ? (a ? b) ? b 的两个零点,求 x1 ? x2 的最小值. 4

8. (本小题满分 10 分) 3 解: (1)由 a ∥ b 得: cos x ? sin x ? 0 , 2 若 cos x ? 0 ,则 sin x ? ?1 ,不合题意. 3 则 tan x ? ? . 2 因此 cos 2 x ? sin 2 x ?
cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 16 ? ? . sin 2 x ? cos 2 x tan 2 x ? 1 13

……………1 分

…………2 分 …………4 分

(2) f ( x) ? ?

2 1 2 ? (a ? b) ? b ? (sin x ? cos x, ) ? (cos x, ?1) ? 4 2 4

1 2 1 1 2 ? (sin x ? cos x) cos x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 4 2 2 4

?

2 ? 2 sin(2 x ? ) ? . 2 4 4
? 1 依题得 sin(2 x ? ) ? , 4 2 ? 7? 解得 x ? k1? ? 或 x ? k 2 ? ? , k1 , k2 ?Z . 24 24

…………………6 分

……………8 分

又 x1 ? x2 = k2 ?+

7? ? ? ? k1? ? ? , 24 24 3
? . 3

所以 x1 ? x2 的最小值为

………10 分

5 3 9. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos x ? a ? , a ? R . 8 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值;
? ?? (2)如果对于区间 ?0, ? 上的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 1 成立,求 a 的取值范围. ? 2?

9. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? cos x ?
7 1 1 3 ? ? cos 2 x ? cos x ? ? ?(cos x ? ) 2 ? . ………2 分 8 8 2 8 1 3 则当 cos x ? 时,函数 f ( x) 的最大值是 . ………4 分 2 8
2

1 ? a2 5 1 ? (2) f ( x) ? ? ? cos x ? a ? ? ? a ? . 2 ? 4 8 2 ?
当0 ? x ?
? 时, 0 ? cos x ? 1 ,令 t ? cos x ,则 0 ? t ? 1 . 2
2

……………5 分 ………6 分

a2 5 1 ? 1 ? y ? ?? t ? a ? ? ? a ? , 0 ? t ? 1. 4 8 2 ? 2 ?
当0 ?
a a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,则当 t ? ,即 cos x ? 时, 2 2 2
3 3 a2 5 1 ? a ? ? 1 ,解得 ?4 ? a ? ,则 0 ? a ? ; 2 2 4 8 2

f ( x)max ?

……………8 分



a ? 0 ,即 a ? 0 时,则当 t ? 0 即 cos x ? 0 时, 2 5 1 12 f ( x) max ? a ? ? 1 ,解得 a ? ,则 a ? 0 . 5 8 2

……………10 分



5 3 a ? 1 ,即 a ? 2 时,则当 t ? 1 即 cos x ? 1 时, f ( x) max ? a ? a ? ? 1 , 8 2 2 20 解得 a ? ,无解. 13 3 综上可知, a 的取值范围 (??, ] . ………12 分 2

22. (本题满分 14 分)如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空 地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种 花.若 BC=a,∠ABC= ? ,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2. (1)用 a, ? 表示 S1 和 S2; (2)当 a 为定值,? 变化时,求

S1 取最小值时的 ? . S2

22. (本题满分 14 分)解: (1)∵AC= a sin ? , AB ? a cos? , ∴ S1 ?
1 2 1 a sin ? cos ? ? a 2 sin 2? ………………3 分 2 4

设正方形边长为 x, 则BQ ? x cot? , RC ? x tan? , ∴ x cot ? ? x tan ? a a a sin ? cos ? a sin 2? x? ? ? , cot ? ? tan ? ? 1 1 ? sin ? ? cos ? 2 ? sin 2? ∴ S2 ? (
2 sin 2? 2 a 2 sin 2 2? ) ? . ………………6 分 2 ? sin 2? 4 ? sin 2 2? ? 4 sin 2?

1 (1 ? sin 2? ) 2 S sin 2? 2 (2)当 a 固定, ? 变化时, 2 ? ? 1 2 1 S1 a sin 2? (1 ? sin 2? ) 2 4 2 4 sin 2? ? .令 sin 2? ? t , sin 2 2? ? 4 sin 2? ? 4



S2 4t ? 2 ? S1 t ?4t ? 4

4 (t ? 0) ………………9 分 4 t? ?4 t

∵0 ?? ?

?
2

,

4 ∴ 0 ? t ? 1, 令f (t ) ? t ? , 任取 t1 , t 2 ? (0,1], 且t1 ? t 2 , t

f (t1 ) ? f (t1 ) ? t1 ? t 2 ?

t t ?4 4 4 ? ? ?t1 ? t 2 ? 1 2 t1 t 2 t1t1

∴ t1 ? t 2 ? 0, t1t 2 ? 1, t1t 2 ? 4 ? 0. ∴ f (t1 ) ? f (t 2 ) ? 0
4 ∴ f (t ) ? t ? 在(0,1] 上是减函数……………………12 分 t

∴t=1 时, f (t ) 有最小值 5,∴ (北京海淀) (17)(本小题共 12 分)

S2 4 ? 有最大值为 , 此时? ? . …………14 分 S1 9 4

某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图 1)中按照图 2 的方式裁剪一块矩形钢板 ABCD ,其中顶点 B 、 C 在半径 ON 上,顶点 A 在半 ? ? 径 OM 上,顶点 D 在 NM 上, ?MON ? , ON ? OM ? 1 .设 ?DON ? ? ,矩形 6 ABCD 的面积为 S .
M

M A θ B
图2

D

O
图1

N

O

C N

(Ⅰ)用含 ? 的式子表示 DC 、 OB 的长; (Ⅱ)试将 S 表示为 ? 的函数; (Ⅲ)求 S 的最大值.

?(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 OD = 1 ,四边形 ABCD 是矩形, 所以在 Rt?DOC 中, DC ? OD ? sin ? ? sin ? . …………………1 分 所以 AB ? DC ? sin ? . AB 在 Rt?AOB 中, OB ? ……………………3 分 ? 3 sin ? . ? tan 6 (Ⅱ)在 Rt?DOC 中, OC ? OD ? cos ? ? cos ? . 所以 BC ? OC ? OB ? cos? ? 3 sin ? . 所以 S ? DC ? BC ………………………5 分

? sin ? (cos? ? 3sin ? )
? sin ? cos? ? 3sin 2 ?
(0 ?? ?

?
6

).

…………………………………7 分

1 1 ? cos 2? (Ⅲ)因为 S ? sin ? cos? ? 3 sin 2 ? ? sin 2? ? 3 ? …………9 分 2 2

1 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 2 2

? ? 3 ? sin(2? ? ) ? (0 ?? ? ) , 6 3 2
所以,当 2? ?

…………………10 分

?
3

?

?
2

,即 ? ?

? 3 ? (0, ) 时, S 取得最大值 1 ? . 12 6 2
……………………12 分

?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? x ?
t 有如下性质:如果常数 t ? 0 ,那么该函数在 (0, x

t ] 上是

减函数,在 [ t , ??) 上是增函数. (Ⅰ)已知 f ( x) ? 区间和值域; (Ⅱ)当 a ? 1 时,对于(Ⅰ)中的函数 f (x) 和函数 g ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a ,若对 任意 x1 ? [0,1] , 总存在 x2 ? [0,1] , 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? [0,1] ,利用上述性质,求函数 f (x) 的单调 2x ? 1

? 9.D 10.C 14. a ? 0 20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) y ? f ( x) ?
4 4 x 2 ? 12x ? 3 ? 2x ? 1 ? ?8 , 2x ? 1 2x ? 1
4 ? 8 , u ? [1,3] u

设 u ? 2 x ? 1 , 1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? 由已知性质得, 当 u ?[1, 2] , x ? [0, 即

1 1 ] 时, f (x) 单调递减; 所以 f (x) 的单调递减区间为 [0, ] 2 2

1 当 u ?[2, 3] ,即 x ? [ , 1] 时, f (x) 单调递增;所以 f (x) 的单调递增区间 2 1 为 [ , 1] 2 1 11 由 f (0) ? ?3 , f ( ) ? ?4 , f (1) ? ? ,得 f (x) 的值域为 ?? 4,?3? . 2 3

(Ⅱ)设 x1 , x2 ?[0, 1] ,且 x1 ? x 2 ,则
3 3 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 3a 2 ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 )(x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3a 2 ) (*)

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 ;
2 又? 0 ? x1 ? x2 ? 1 , a ? 1 ,? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3 , 3a 2 ? 3 , 2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3a 2 ? 0

所以(*)式 ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 g (x) 在区间 [0, 1] 上单调递减, 对于 x ?[0, 1] , g (1) ? g ( x) ? g (0) ,所以 g ( x) ?[1 ? 3a2 ? 2a, ?2a] 由题意,即要 f (x) 的值域是 g (x) 的值域的子集,

?1 ? 3a 2 ? 2a ? ?4 所以只需: ? ??3 ? ?2a
所以实数 a 的取值范围是 [1,
3 ] 2

解得 1 ? a ?

3 . 2

0? x?c ?cx ? 1, 9 19、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ? 4c 满足 f (c 2 ) ? ; 2c 8 ?3x ? x , c ? x ? 1
(1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ? 2 .

19、解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c 2 ? c ; 由 f (c 2 ) ?

9 9 1 ,即 c3 ? 1 ? , c ? 2 8 8

?1 1? ? ? ? 2 x ? 1,? ? x ? 2 ? ? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ? ?3x 2 ? x,? ≤ x ? 1? ? ? ? ?? ? ? 1 1 由 f ( x) ? 2 得,当 0 ? x ? 时,解得 0 ? x ? , 2 2 1 1 2 当 ≤ x ? 1 时 , 3x 2 ? x ? 2 ? 0 解 得 ≤ x ? , 所 以 f ( x) ? 2 的 解 集 为 2 2 3 ? 2? ?x 0 ? x ? ? . 3? ?
4.(本题满分 8 分)已知向量 OA ? (cos 2? ,1 ? sin 2? ) , OB ? (1,2) , OC ? (2,0) .

? 10 (1)若 ? ? (0, ) ,且 sin ? ? ,求证: O, A, B 三点共线; 2 10
(2)若

?
4

?? ?

?
2

,求向量 OA 与 OC 的夹角 ? 范围.

24. 解: (1)? sin ? ?
sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 3 5

? 10 3 10 , ? ? (0, ) ,? cos? ? 2 10 10

4 .………………………………… 3 分 5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

4 8 4 ? OA ? ( , ) ? OB ,? OA // OB . 5 5 5

? O, A, B 三点共线,……………………………………………………… 4 分

(2)? cos? ?

(cos2? ,1 ? sin 2? ) ? (2,0) 2 cos2 2? ? (1 ? sin 2? ) 2

?

cos2? 2 ? 2 sin 2?

?

cos2? 2 sin ? ? cos?

?

cos 2 ? ? sin 2 ? 2 (sin ? ? cos ? )

?

2 ? (cos ? ? sin ? ) ? cos( ? ? ) ……………………… 6 分 2 4

?

?
4

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
?
4
4

?

3? , 4

而 ? ? [0, ? ] ,? ? ? ? ?

? 3? ? ? 的范围为 [ , ] .…………………………………… 8 分 2 4
25 . ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,
f (?2) ? f (0) ? 0 ,
f ( x) 的最小值为 ?1 .

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? f (? x) ? ?f ( x) ? 1,若 g (x) 在 [?1,1] 上是减函数,求实数 ? 的取值 范围; (3)设函数 h( x) ? log2 [ p ? f ( x)] ,若此函数在定义域范围内不存在零点,求实 数 p 的取值范围.

25.解: (1)设 f ( x) ? ax( x ? 2) ,又 a ? 0 , f (?1) ? ?1 , ? a ? 1 ,

? f ( x) ? x 2 ? 2x .……………………………………… 4 分
(2) g ( x) ? (1 ? ? ) x2 ? 2(1 ? ? ) x ? 1 , ① 当 ? ? 1 时, g ( x) ? ?4 x ? 1在[?1,1]上是减函数,∴ ? ? 1 . ② 当 ? ? 1 时,对称轴方程为: x ?
1? ? . 1? ? 1? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ,得 0 ? ? ? 1 ; ⅰ)当 ? ? 1 时, 1 ? ? ? 0 ,所以 1? ?

1? ? 1? ? ? ?1 ,所以 ? ?1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ,得 ? ? 1 . 1? ? 1? ? 综上, ? ? 0 .…………………………………………………………… 7 分

ⅱ)当 ? ? 1 时,1 ? ? ? 0

(3) 函数 h( x) ? log2 [ p ? f ( x)] 在定义域内不存在零点,必须且只须有
p ? f ( x) ? 0 有解,且 p ? f ( x) ? 1 无解.

即 [ p ? f ( x)]max ? 0 ,且 1 不在 [ p ? f ( x)] 的值域内.
f (x) 的最小值为 ? 1 ,? 函数 y ? p ? f (x) 的值域为 (??, p ? 1] .

?p ?1 ? 0 ,解得 ? 1 ? p ? 0 . ?? ?1 ? p ? 1
? p 的取值范围为 (?1,0) .………………………………… 10 分

20.20、已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

(3)设 h( x) ? log9 a ? 3x ? 4 a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点, 3 求实数 a 的取值范围.

?

?

1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; 2

20. (1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,

所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9x ? 1) ? ? x 恒成立, 9x

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 . 2

-----------------------4 分

(2)由题意知方程 log9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1 ? ? ? 9x ? 9x ?

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x1 ? 9 x2 ,从而 11 ? 12 . 9x 9x 于是 log9 ?1 ? 1 ? ? 9x1

? ? log ?1 ? 1 ? 9? ? ? 9x2

? ,即 g ( x ) ? g ( x ) , ? 1 2 ?

所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1x ? ? 0 . ? ? 9 ? 9 ? 所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. (3)由题意知方程 3x ? 1 ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3x 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去; 4 若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1 , ? ?) . ----------------------- 6 分 ----------------------- 6 分



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