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三角函数、平面向量综合题九类型


三角函数与平面向量综合题的九种类型
题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ q =(sinA

-cosA,1+sinA)是共线向量. C-3B (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2

题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 3? 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( ,2π),且→ a ⊥→ b. 2

α ? (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3

题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例 3】 2 ? 已知向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ),|→ a -→ b |= 5.(Ⅰ)求 cos(α-β)的值;(Ⅱ)若- <β<0 5 2

5 ? <α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 13

题型四:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例 4】(2010 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) a ? (tan(? ? ), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求 的值. 4 cos ? ? sin ?

?

? → 练习:设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2.(Ⅰ)求实数 m 的值; 2 (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值.

1

题型五:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例 5】 (浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? (Ⅰ)求 ? 的值;

?
2

)的图像与 y 轴交于点(0,1) 。

(Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角。

题型六:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 6】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

题型七:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 7】 (陕西卷) f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) ,b ? (1 ? sin 2x,1) , x ? R ,且函数 y ? f ( x) 的 图象经过点 (

?
4

, 2) .
(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

(Ⅰ)求实数 m 的值;

题型八:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 ?x π? ? ? ? 【例 8】 (湖北卷)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 3 6 4 ? ? ? ? ?x ?? ? x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ? 3 12 ?



题型九:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例 9】 (湖北卷)设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ?

3 成立的 x 的取值集. 2

2

【专题训练】 一、选择题 → 1.已知→ a =(cos40?,sin40?),→ b =(cos20?,sin20?),则→ a· b= A.1 B. 3 2 1 C. 2 D. 2 2





π π π 2.将函数 y=2sin2x- 的图象按向量( , )平移后得到图象对应的解析式是 2 2 2 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x → → → → →→ 3.已知△ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a · b <0,则△ABC 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 3 1 4.设→ a =( ,sin?),→ b =(cos?, ),且→ a ∥→ b ,则锐角?为 2 3 A.30? B.45? C.60? D.75?













3? 5.已知→ a =(sinθ, 1+cosθ),→ b =(1, 1-cosθ),其中 θ∈(π, ),则一定有 ( 2 → → → → → → A. a ∥ b B. a ⊥ b C. a 与 b 夹角为 45° D.|→ a |=|→ b|



π 6.已知向量→ a =(6,-4),→ b =(0,2),→ c =→ a +?→ b ,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上,实数?= 12 5 A. 2 3 B. 2 5 C.- 2 3 D.- 2

→ → → 7.设 0≤θ≤2π 时,已知两个向量OP1=(cosθ,sinθ),OP2=(2+sinθ,2-cosθ),则向量P1P2长度的最大值是 ( ) D.2 3 ( ) A. 2 B. 3 C .3 2 → → 8.若向量 a =(cos?,sin?), b =(cos?,sin?),则→ a 与→ b 一定满足 A.→ a 与→ b 的夹角等于?-? → → C. a ∥ b

B.→ a ⊥→ b → D.( a +→ b )⊥(→ a -→ b)

9.已知向量→ a =(cos25?,sin25?),→ b =(sin20?,cos20?),若 t 是实数,且→ u =→ a +t→ b ,则|→ u |的最小值为 ( A. 2 B.1 C. 2 2 ) 1 D. 2

→ =OA → +?(AB → +AC) → ,?∈ 10.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP (0,+∞),则直线 AP 一定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 二、填空题 ( ) D.垂心

1 11.已知向量→ m =(sin?,2cos?),→ n =( 3,- ).若→ m ∥→ n ,则 sin2?的值为____________. 2

→ =(2cos?,2sin?),OB → =(5cos?,5sin?),若OA· → OB → =-5,则 S△ 的值 12.已知在△OAB(O 为原点)中,OA AOB
为_____________. 3π → → → →→ → 13.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m · n =-1.则向量 n =__________. 4
3

三、解答题 → 14.已知向量→ m =(sinA,cosA),→ n =( 3,-1),→ m· n =1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.

15.在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→ m =(1,2sinA),→ n =(sinA,1+cosA),满 ? 足→ m ∥→ n ,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+ )的值. 6

16.△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,→ m =(2b-c,a),→ n =(cosA,-cosC),且→ m ⊥→ n. (Ⅰ)求角 A 的大小; ? (Ⅱ)当 y=2sin2B+sin(2B+ )取最大值时,求角 B 的大小. 6

17.已知→ a =(cosx+sinx,sinx),→ b =(cosx-sinx,2cosx), (Ⅰ)求证:向量→ a 与向量→ b 不可能平行; ?? → (Ⅱ)若 f(x)=→ a· b ,且 x∈[- , ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. 44

18.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

c ? (? cos x,sin x), x ? R .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小 的d .

19.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.

?
2

?? ?

?
2



4

【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型 【例 1】 【解】 (Ⅰ)∵→ p 、→ q 共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA), 3 3 ? 则 sin2A= ,又 A 为锐角,所以 sinA= ,则 A= . 4 2 3 ? (π- -B)-3B 3 C - 3B 1 3 ? (Ⅱ) y=2sin2B+cos =2sin2B+cos =2sin2B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 2 2 3 2 2 3 1 ? ? ? ? 5? ? ? ? sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1.∵B∈(0, ),∴2B- ∈(- , ),∴2B- = ,解得 B= , 2 2 6 2 6 6 6 6 2 3 ymax=2. → 2、 【解】 (Ⅰ)∵→ a ⊥→ b ,∴→ a· b =0.而→ a =(3sinα,cosα) ,→ b =(2sinα, 5sinα-4cosα), = 4 → 故→ a· b =6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0. 由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得 tanα=- ,或 tanα 3 1 3? 1 4 = .∵α∈( ,2π) ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2 2 2 3 3? α 3? 4 α 1 α α 5 α (Ⅱ)∵α∈( ,2π) ,∴ ∈( ,π) .由 tanα=- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去) .∴sin = ,cos 2 2 4 3 2 2 2 2 5 2 2 5+ 15 2 5 α ? α ? α ? 2 5 1 5 3 =- ,∴cos( + )=cos cos -sin sin =- × - × =- 5 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 10 2 4 → 3、 【解】 (Ⅰ)∵|→ a -→ b |= 5,∴→ a 2-2→ a· b +→ b 2= ,将向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ)代入上式得 5 5 4 3 12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12= ,∴cos(α-β)= . 5 5 3 4 5 12 ? ? (Ⅱ)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π,由 cos(α-β)=- ,得 sin(α-β)= ,又 sinβ=- ,∴cosβ= , 2 2 5 5 13 13 33 ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ= . 65 4、【解答】因为 ? 为 f ( x) ? cos(2 x ? 又 a ? b ? cos ? ? tan(? ? 由于 0 ? ? ?

?
8

) 的最小正周期,故 ? ? ? .因为 a ? b ? m ,

?
4

) ? 2 ,故 cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

?
4

,所以

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

?

1 ? tan ? 2 cos 2 ? ? sin 2? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 2 cos ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ? ? sin ?

? cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

? ? ? → 练习解: (Ⅰ)f(x)=→ a· b =m(1+sinx)+cosx,由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m=1. 2 2 2 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1,当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2. 4 4 5、 【解答】 (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ?

1 . 2

5

因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

1 1 5 ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , ?2), N ( , 0), 6 6 3 6 1 1 所以 PM ? (? , 2), PN ? ( , ?2), 从而 2 2
(II)由函数 y ? 2sin(? x ?

?

cos ? PM , PN ??
6、【解答】(1)

15 15 PM ? PN ? ,故 ? PM , PN ?? arccos . 17 | PM | ? | PN | 17

sin C 1 ? 3 7 ,又 sin 2 C ? cos2 C ? 1 ,解得: cos C ? ? , cos C 8 1 tan C ? 0 ,? C 是锐角,? cos C ? . 8 5 5 ? a 2 ? b2 ? 41, (2) CB ? CA ? , ? ab cos C ? ,? ab ? 20 ,又 a ? b ? 9 ,? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 , 2 2

tan C ? 3 7 ,?

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .
7、【解答】(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x 由已知 f ( ) ? m(1 ? sin (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴当 sin(2 x ? 由 sin(2 x ?

?

?
2

?
4

4

) ? cos

?
2

? 2 ,得 m ? 1 .

)

?
4

) ? ?1 时, y ? f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,

?

3? ? ? ) ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x | x ? k? ? ,k ?Z?. 4 8 ? ?

? ? ? ?x π ? ? ?x ?? 8、【解答】∵ a ? ? ? , ?2 ? ,∴平移后的解析式为 y ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? 2 cos ? ? ? ? 2 ,选 A . ? 4 ? ? 3 6 12 ? ?3 4?

9、 【解答】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? a ? (a ? b ) ? a ? a ? a ? b ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x
2 2 2

1 1 3 2 ? ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 2? 3 2 ?? ∴ f ( x) 的最大值为 ? ,最小正周期是 2 2 2 3 3 2 ? 3 (Ⅱ)要使 f ( x ) ? 成立,当且仅当 ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2 ? ? 3? ? ,k ?Z , 即 sin(2 x ? ) ? 0 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 4 8 8 3 ? 3? ? ? 即 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合是 ? x | k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z ?. 2 8 8 ? ?

6

【专题训练】参考答案 一、选择题 3 → 1.B 解析:由数量积的坐标表示知→ a· b =cos40?sin20?+sin40?cos20?=sin60?= . 2 π π π ? 2.D 【解析】y=2sin2x- →y=2sin2(x+ )- + ,即 y=-2sin2x. 2 2 2 2 → → →→ AB· AC a· b 3.A 【解析】因为 cos∠BAC= = → → <0,∴∠BAC 为钝角. → → |b| |AB|· |AC| | a |· 3 1 4.B 【解析】由平行的充要条件得 × -sin?cos?=0,sin2?=1,2?=90?,?=45?. 2 3 3? → → 5.B 【解析】→ a· b =sinθ+|sinθ|,∵θ∈(π, ),∴|sinθ|=-sinθ,∴→ a· b =0,∴→ a ⊥→ b. 2 π 5 ? 6.A → c =→ a +?→ b =(6,-4+2?),代入 y=sin x 得,-4+2?=sin =1,解得?= . 12 2 2 7.C 【解析】|P1P2|= (2+sinθ-cosθ)2+(2-cosθ-sinθ)2= 10-8cosθ≤3 2. 8.D 【解析】→ a +→ b =(cos?+cos?,sin?+sin?),→ a -→ b =(cos?+cos?,sin?-sin?),∴(→ a +→ b )· (→ a -→ b )= cos2?-cos2?+sin2?-sin2?=0,∴(→ a +→ b )⊥(→ a -→ b ). 2 1 → 9. C 【解析】 |→ u |2=|→ a |2+t2|→ b |2+2t→ a· b =1+t2+2t(sin20?cos25?+cos20?sin25?)=t2+ 2t+1=(t+ )2+ , 2 2 1 2 → |→ u |2 min=2,∴| u |min= 2 . → +AC → =2AD → ,又由OP → =OA → +?(AB → +AC) → ,AP → =2?AD → ,所以AP →与 10.C 【解析】设 BC 的中点为 D,则AB → 共线,即有直线 AP 与直线 AD 重合,即直线 AP 一定通过△ABC 的重心. AD 二、填空题 8 3 1 2sin?cos? 2tan? 8 3 11. - 【解析】 由→ m ∥→ n, 得- sin?=2 3cos?,∴tan?=-4 3, ∴sin2?= 2 = =- . 49 2 49 sin ?+cos2? tan2?+1 5 3 → OB → =-5?10cos?co?s+10sin?sin?=-5?10cos(?-?)=-5?cos(?-?)=-1,∴sin 12. 【解析】OA· 2 2 3 → =2,|OB| → =5,∴S△ =1×2×5× 3=5 3. ,又|OA| AOB 2 2 2 2 → →→ 13. (-1, 0)或(0, -1) 【解析】 设 n =(x, y), 由m· n =-1, 有 x+y=-1 ∠AOB= 3π → → → =| m |· | n |cos ,∴| n |=1,则 x2+y2=1 4 (0,-1) . 三、解答题



3π → → →→ ①, 由 m 与 n 夹角为 , 有m · n 4 ? x=﹣1 ? x=0 → → ②,由①②解得? 或? ∴即 n =(-1,0)或 n = ? y=0 ? y=-1

? ? 1 → 14. 【解】(Ⅰ)由题意得→ m· n = 3sinA-cosA=1,2sin(A- )=1,sin(A- )= , 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A- = ,A= . 6 6 3 1 1 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cosA= ,所以 f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx- )2+ , 2 2 2 1 3 因为 x∈R,所以 sinx∈[-1,1],因此,当 sinx= 时,f(x)有最大值 . 2 2
7

3 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是[-3, ]. 2 1 15. 【解】(Ⅰ)由→ m ∥→ n ,得 2sin2A-1-cosA=0,即 2cos2A+cosA-1=0,∴cosA= 或 cosA=-1. 2 ? ∵A 是△ABC 内角,cosA=-1 舍去,∴A= . 3 3 (Ⅱ)∵b+c= 3a,由正弦定理,sinB+sinC= 3sinA= , 2 2? 2? 3 ∵B+C= ,sinB+sin( -B)= , 3 3 2 3 3 3 3 ? ∴ cosB+ sinB= ,即 sin(B+ )= . 2 2 2 6 2 → 16. 【解】(Ⅰ)由→ m ⊥→ n ,得→ m· n =0,从而(2b-c)cosA-acosC=0, 由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0 ∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0, 1 ? ∵A、B∈(0,π),∴sinB≠0,cosA= ,故 A= . 2 3 ? ? ? (Ⅱ)y=2sin2B+2sin(2B+ )=(1-cos2B)+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 3 1 ? =1+ sin2B- cos2B=1+sin(2B- ). 2 2 6 2? ? ? 7? 由(Ⅰ)得,0<B< ,- <2B- < , 3 6 6 6 ? ? ? ∴当 2B- = ,即 B= 时,y 取最大值 2. 6 2 3 17. 【解】 (Ⅰ)假设→ a ∥→ b ,则 2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0, 1+cos2x 1 1-cos2x ∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,2· + sin2x+ =0, 2 2 2 即 sin2x+cos2x=-3, ? ? ∴ 2(sin2x+ )=-3,与| 2(sin2x+ )|≤ 2矛盾, 4 4 故向量→ a 与向量→ b 不可能平行. → (Ⅱ)∵f(x)=→ a· b =(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x = 2( 2 2 ? cos2x+ sin2x)= 2(sin2x+ ), 2 2 4

? ? ? ? 3? ? ? ? ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2; 4 4 4 4 4 4 2 8 ? ? ? 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)有最小值-1. 4 4 4 18.解:(Ⅰ)由题意得, f ( x) ? a ? (b ? c ) ? (sin x, ? cos x) ? (sin x ? cos x,sin x ? 3cos x)

? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ?
最大值为 2 ?

2 ,最小正周期是

2? ?? . 2
8

3? ), 4

所以, f ( x) 的

(Ⅱ)由 sin(2 x ?

3? 3? k? 3? ) ? 0 得 2x ? ? k? ,即 x ? ? ,k ?Z , 4 4 2 8

于是 d ? (

k? 3? k? 3? 2 ? , ?2) , d ? ( ? ) ? 4, k ? Z . 2 8 2 8

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k ? 1 ,此时 d ? ( ?

?
8

, ?2) 即为所求.

19.解:(Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 ,由此得: tan ? ? ?1, ( ? 所以, ? ? ?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4



(Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos? ), 得:

a ? b ? (sin ? ? 1)2 ? (1 ? cos ? )2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? )

? 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
当 sin(? ?

?

?
4

) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ?

?
4

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 .

9


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