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河南省实验中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷



河南省实验中学 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=() A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} 2. (5 分)已知 f(x﹣1)=x +4x﹣5,则 f(x+1)=() 2 2 2 A.x +6x B.x +8x+7 C.x +2x﹣3 3. (5 分)已知 P={a,b},M={t|t?P},则 P 与 M 关系为() A.P?M B.P?M C.M?P 4. (5 分)函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是() A. B. C.
2 2

D.{x|x>1}

D.x +6x﹣10

2

D.P∈M

D.

5. (5 分)设集合{A=x|1<x<2},{B=x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是() A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 6. (5 分)集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x=k+ ,k∈Z},则() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=?

7. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]单调减小,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是() A.( , ) B.
2 2

B.

C. D .

11. (5 分)若函数 f(x)=(a ﹣2a﹣3)x +(a﹣3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的 取值范围是() A.a=﹣1 或 3 B.a=﹣1 C.a>3 或 a<﹣1 D.﹣1<a<3 12. (5 分)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数 y=x +bx+c 的 图象经过(1,0) ,…,求证:这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称.根据已知信息,题 中二次函数图象不具有的性质是() A.过点(3,0) B. 顶点(2,﹣2) C. 在 x 轴上截线段长是 2 D.与 y 轴交点是(0,3)
2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)集合 A={x|ax﹣1=0},B={x|x ﹣3x+2=0},且 A∪B=B,则 a 的值是.

14. (5 分)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(1﹣x) ,则当 x≥0 时, 函数 f(x)的解析式为.

15. (5 分)若函数 f(x)=

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是.

16. (5 分)当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是.

2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)用函数单调性定义证明 f(x)=x+ 在 x∈(0,
2 2

)上是减函数.

18. (12 分)已知全集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|x +x﹣12≤0},C={x|x ﹣4ax+3a <0}, 若 A∩(CRB)?C,试确定实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知二次函数 f(x)=2kx ﹣2x﹣3k﹣2,x∈. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 k 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数. 20. (12 分)如果函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) (1)求 f(1)的值. (2)已知 f(3)=1 且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. (3)证明:f( )=f(x)﹣f(y) .
2

2

2

21. (12 分)已知函数 f(x)=x + ,常数 a∈R. (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈,都有 f(x)﹣2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围.

2

河南省实验中学 2014-2015 学年高一上学期第一次月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=()

A.{x|0≤x<1}

B.{x|0<x≤1}

C.{x|x<0}

D.{x|x>1}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 欲求两个集合的交集,先得求集合 CUB,再求它与 A 的交集即可. 解答: 解:对于 CUB={x|x≤1}, 因此 A∩CUB={x|0<x≤1}, 故选 B. 点评: 这是一个集合的常见题,属于基础题之列. 2. (5 分)已知 f(x﹣1)=x +4x﹣5,则 f(x+1)=() 2 2 2 A.x +6x B.x +8x+7 C.x +2x﹣3
2

D.x +6x﹣10

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过已知的 f(x﹣1)解析式求出 f(x)的解析式,根据 f(x)的解析式即可求得 f(x+1)的解析式. 解答: 解:f(x﹣1)=(x﹣1) +6(x﹣1) ,∴f(x)=x +6x; 2 2 ∴f(x+1)=(x+1) +6(x+1)=x +8x+7. 点评: 考查函数的解析式,以及通过 f(x﹣1)解析式先求出 f(x)解析式,再求 f(x+1) 解析式的方法. 3. (5 分)已知 P={a,b},M={t|t?P},则 P 与 M 关系为() A.P?M B.P?M C.M?P
2 2

D.P∈M

考点: 集合的包含关系判断及应用;元素与集合关系的判断. 专题: 常规题型. 分析: 判断集合 P 与集合 M 的关系,首先弄清集合 M 的元素,集合 P 的子集充当了集合 M 的元素,即集合 M 是一个集合集. 解答: 解:因为集合 P 的子集有?,{a},{b},{a,b}, 所以集合 M={?,{a},{b},{a,b}},所以 P∈M. 故答案为:D. 点评: 本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系,解答本题的关键是找出集合 M 的元素,明确 p 在集合 M 中,属易错题. 4. (5 分)函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是() A. B. C.
2

D.

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 先将二次函数配方,确定函数在指定区间上的单调性,从而可求函数的值域. 解答: 解:由 y=x +x 得
2



∴函数的对称轴为直线 ∵﹣1≤x≤3, ∴函数在 ∴x= 上为减函数,在 时,函数的最小值为 上为增函数

x=3 时,函数的最大值为 12 ∴ ≤y≤12.

故值域是 故选 B. 点评: 本题重点考查二次函数在指定区间上的值域, 解题的关键是配方, 确定函数的单调 性,属于基础题. 5. (5 分)设集合{A=x|1<x<2},{B=x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是() A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 计算题. 在数轴上画出图形,结合图形易得 a≥2. 解:在数轴上画出图形易得 a≥2.

故选 A. 点评: 本题考查集合的包含关系,解题时要作出图形,结合数轴进行求解. 6. (5 分)集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x=k+ ,k∈Z},则() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=?

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 通过化简集合中元素的一般形式,比较分析来判断集合关系.

解答: 解:∵M 中:x= + =



N 中:x=k+ =n+ ,k=n∈Z, ∴N?M. 故选:C.

点评: 本题考查集合关系. 可通过化简集合中元素的一般形式来判断, 这是此类题的常见 解法. 7. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]单调减小,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是() A. ( , ) B. 单调减小,在 <x< ,

且 f(﹣ )=f( ) ,故由 f(2x﹣1)<f( )可得﹣ <2x﹣1< ,解得 故选 A.

点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用, 求得﹣ <2x﹣1< , 是解题的关键, 属于中档题.

8. (5 分)已知 A.6 考点: 函数的值. 专题: 计算题. B. 5

,则 f(2)+f(﹣2)的值为() C. 4 D.2

分析: 根据 2>0,直接求出 f(2)=2 =4,由于﹣2<0,将 f(﹣2)逐 步转化,转化到 自变量的值大于 0,求出函数值.再相加. 解答: 解:∵2>0,∴f(2)=2 =4, ∵﹣2<0,∴f(﹣2)=f(﹣2+1)=f(﹣1) 又﹣1<0,∴f(﹣1)=f(﹣1+1)=f(0)=f(0+1)=1,即 f(﹣2)=1. ∴f(2)+f(﹣2)=4+1=5 故选 B. 点评: 本题考查分段函数求函数值, 要确定好自变量的取值或范围, 再代入相应的解析式 求得对应的函数值.分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念. 9. (5 分)已知函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,则函数 f(2x+1)的定义域为() A.(﹣ ,﹣1) B.(﹣1,﹣ ) C.(﹣5,﹣3) D.(﹣2,﹣ )
2

2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,即 x∈(﹣2,﹣1)求出 x+1 的范围, 得到函数 ( f x) 的定义域, 再由 2x+1 在 ( f x) 的定义域内求解 x 的取值集合求得函数 ( f 2x+1) 的定义域. 解答: 解:∵函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) , 由﹣2<x<﹣1,得﹣1<x+1<0. ∴函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) .

再由﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x< ∴函数 f(2x+1)的定义域为

. .

故选 B. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法, 考查了抽象函数的定义域, 解答的关键是熟记 并理解方法,是中档题. 10. (5 分)函数 y=2﹣ A. B. 的值域是() C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 2 分析: 欲求原函数的值域,转化为求二次函数﹣x +4x 的值域问题的求解,基本方法是配 2 2 方法,显然﹣x +4x=﹣(x﹣2) +4≤4,因此能很容易地解得函数的值域. 解答: 解:对被开方式进行配方得到: ﹣x +4x=﹣(x﹣2) +4≤4, 于是可得函数的最大值为 4, 又 从而函数的值域为: . 故选 C. 点评: 本题考查二次函数的值域的求法,较为基本,方法是配方法,配方法是 2015 届高 考考查的重点方法,学生应该能做到很熟练的对二次式进行配方. 11. (5 分)若函数 f(x)=(a ﹣2a﹣3)x +(a﹣3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的 取值范围是() A.a=﹣1 或 3 B.a=﹣1 C.a>3 或 a<﹣1 D.﹣1<a<3 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 分类讨论,二次项系数等于 0 时,二次项系数不等于 0 时,两种情况进行分析. 2 解答: 解:若 a ﹣2a﹣3≠0,则 f(x)为二次函数,定义域和值域都为 R 是不可能的. 2 若 a ﹣2a﹣3=0,即 a=﹣1 或 3; 当 a=3 时,f(x)=1 不合题意; 当 a=﹣1 时,f(x)=﹣4x+1 符合题意. 故答案 B 点评: 本题考查函数的值域和定义域,体现分类讨论的数学思想方法. 12. (5 分)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数 y=x +bx+c 的 图象经过(1,0) ,…,求证:这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称.根据已知信息,题 中二次函数图象不具有的性质是() A.过点(3,0) B. 顶点(2,﹣2)
2 2 2 2 2

C. 在 x 轴上截线段长是 2

D.与 y 轴交点是(0,3)

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 采用代入法进行验证最后确定答案 2 解答: 证明:已知二次函数 y=x +bx+c 的图象经过(1,0) ,…, 这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称 则:函数图象过(3,0)或 在 x 轴上截线段长为 2 与 y 轴交点可能是(0,3) 定点的纵标不确定 故选:B 点评: 本题考查的知识点:二次函数的对称轴,在 x 轴上截得的线段长,顶点坐标. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)集合 A={x|ax﹣1=0},B={x|x ﹣3x+2=0},且 A∪B=B,则 a 的值是 0 或 1 或 .
2

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 解一元二次方程,可得集合 B={x|x=1 或 x=2},再由且 A∪B=B 得到集合 A 是集 合 B 的子集,最后分析集合 A 的元素,可得 a 的值是 0 或 1 或 . 解答: 解:对于 B,解方程可得 B={x|x=1 或 x=2} ∵A={x|ax﹣1=0},且 A∪B=B, ∴集合 A 是集合 B 的子集 ①a=0 时,集合 A 为空集,满足题意; ②a≠0 时,集合 A 化简为 A={x|x= },所以 =1 或 =2, 解之得:a=1 或 a= 综上所述,可得 a 的值是 0 或 1 或 故答案为:0 或 1 或 点评: 本题以方程的解集为例,考查了集合包含关系的判断及应用,属于基础题.在解决 一个集合是另一个集合子集的问题时,应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错. 14. (5 分)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(1﹣x) ,则当 x≥0 时, 函数 f(x)的解析式为 f(x)=x(1+x) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)是定义在 R 上的奇函数,得定义 f(﹣x)=﹣f(x) ,设 x>0 时,则﹣x<0, 转化为 x<0 时,f(x)=x(1﹣x)求解,注意别忘了 x=0, 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,

x=0 时 f(0)=, 0 当 x<0 时,f(x)=x(1﹣x) , 设 x>0 时,则﹣x<0, f(x)=﹣f(﹣x)=﹣=x(1+x) , 综上当 x≥0 时,函数 f(x)=x(1+x) , 故答案为:f(x)=x(1+x) , 点评: 本题考查了奇函数的定义,性质,运用求解析式.

15. (5 分)若函数 f(x)=

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是



考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 分类讨论. 2 分析: 从函数解析式的结构来看,要使其有意义需满足 mx +4mx+3≠0,所以由题意将所 2 给条件转化为 mx +4mx+3≠0 对任意 x∈R 恒成立,再进行分类讨论求解. 2 解答: 解:由题意知 mx +4mx+3≠0 对任意 x∈R 恒成立, 2 (1)若 m=0,则 mx +4mx+3=3≠0,符合题意. (2)若 m≠0,则 mx +4mx+3≠0 对任意 x∈R 恒成立,等价于
2



解得:

, .

综上所述,实数 m 的取值范围是 故答案为 .

点评: 此题表面看是研究函数的定义域, 实则是一个恒成立问题, 转化题意后因为最早次 幂位置有参数,所以要进行分类讨论,此处为易错点. 16. (5 分)当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 m≤﹣5. 考点: 一元二次不等式的应用;函数恒成立问题. 专题: 不等式. 分析: ①构造函数:f(x)=x +mx+4,x∈.②讨论 对称轴 x=﹣ > 或
2 2

< 时 f(x)

的单调性,得 f(1) ,f(2)为两部分的最大值若满足 f(1) ,f(2)都小于等于 0 即能满足 x∈(1,2)时 f(x)<0,由此则可求出 m 的取值范围 2 解答: 解:法一:根据题意,构造函数:f(x)=x +mx+4,x∈.由于当 x∈(1,2)时, 2 不等式 x +mx+4<0 恒成立. 则由开口向上的一元二次函数 f(x)图象可知 f(x)=0 必有△ >0, ①当图象对称轴 x=﹣ ≤ 时,f(2)为函数最大值当 f(2)≤0,得 m 解集为空集.

②同理当﹣ > 时,f(1)为函数最大值,当 f(1)≤0 可使 x∈(1,2)时 f(x)<0. 由 f(1)≤0 解得 m≤﹣5.综合①②得 m 范围 m≤﹣5 2 2 法二:根据题意,构造函数:f(x)=x +mx+4,x∈.由于当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4 <0 恒成立 即 解得 即 m≤﹣5

故答案为 m≤﹣5 点评: 本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)用函数单调性定义证明 f(x)=x+ 在 x∈(0, )上是减函数.

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 0<x1<x2< ,证出 f(x1)>f(x2) ,从而解决问题. 解答: 证明:设 0<x1<x2< , 则 f(x1)﹣f(x2) =x1+ ﹣(x2+ )

=(x1﹣x2)﹣

=(x1﹣x2) (1﹣ 由 0<x1<x2, 可得(x1﹣x2)<0, (1﹣

) .

)<0,

∴(x1﹣x2) (1﹣

)>0,

f(x1)>f(x2) , 故函数在(0, )上单调递减. 点评: 本题考查了函数的单调性的证明问题,定义法是常用方法之一,本题属于基础题. 18. (12 分)已知全集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|x +x﹣12≤0},C={x|x ﹣4ax+3a <0}, 若 A∩(CRB)?C,试确定实数 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题.
2 2 2 2

分析: 先通过解一元二次不等式化简集合 A 和 B,再求集合 B 的补集,最后求出 A∩ (CRB) , 由于 A∩(CRB)?C,则 a>0,且 ,解出 a,即可求得 a 的取值范围.

解答: 解:依题意得:A={x|﹣2≤x≤5},B={x|﹣4≤x≤3},则 CRB={x|x<﹣4 或 x>3}, ∴A∩(CRB)=(3,5], 由于 A∩(CRB)?C,故 a>0, ∴C={x|a<x<3a},且 解得 <a≤3; 故实数 a 的取值范围为 <a≤3. 点评: 本小题主要考查一元二次不等式的解法、 集合的包含关系判断及应用、 交集及其运 算、补集及其运算不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想.属于 基础题. 19. (12 分)已知二次函数 f(x)=2kx ﹣2x﹣3k﹣2,x∈. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 k 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 k=1 时,f(x)=2x ﹣2x﹣5,可得区间(﹣5, )上函数为减函数,在 区间( ,5)上函数为增函数.由此可得 max=55,min=﹣ ; ,
2 2



(2)由题意,得函数 y=f(x)的单调减区间是?min=f( )=﹣

函数的最大值为 f(5)和 f(﹣5)中较大的值,比较得 max=f(﹣5)=55. 综上所述,得 max=55,min=﹣ . 对称,

(2)∵二次函数 f(x)图象关于直线 x= ∴要使 y=f(x)在区间上是单调函数, 则必有 解得 ≤﹣5 或 ≥5 , .

≤k<0 或 0<k≤

即实数 k 的取值范围为. 点评: 本题给出含有参数的二次函数, 讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值, 着 重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识. 20. (12 分)如果函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y)

(1)求 f(1)的值. (2)已知 f(3)=1 且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. (3)证明:f( )=f(x)﹣f(y) .

考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)对题中的等式取 x=y=1,化简即可得到 f(1)=0; (2)算出 2=1+1=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9) ,从而将原不等式化简为 f(a)>f,再利 用函数的单调性与定义域,建立关于 a 的不等式组,解之即可得到实数 a 的取值范围 ; (3)配方:x= ?y,利用题中的等式化简整理,即可得到 f( )=f(x)﹣f(y)成立. 解答: 解: (1)∵f(xy)=f(x)+f(y) ∴令 x=y=1,得 f(1×1)=f(1)+f(1) ,可得 f(1)=0; (2)∵f(3)=1, ∴2=1+1=f(3)+f(3)=f(3×3) =f(9) , 不等式 f(a)>f(a﹣1)+2,可化为 f(a)>f(a﹣1)+f(9)=f ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,



,解之得 1<a< ;

(3)∵x= ?y,∴f(x)=f( ?y)=f( )+f(y) , 由此可得 f( )=f(x)﹣f(y) . 点评: 本题给出抽象函数满足的条件,求特殊的函数值并解关于 a 的不等式, 着重考查了 函数的单调性、抽象函数的理解和不等式的解法等知识,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x + , 常数 a∈R. (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈. 3 点评: 考查奇偶函数的定义,函 数单调性和函数导数符号的关系,2x 的单调性并根据单 调性求最值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2x+c(a、c∈N )满足:①f(1)=5; ②6<f(2)<11. (1)求 a、c 的值; (2)若对任意的实数 x∈,都有 f(x)﹣2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)把条件①f(1)=5;②6<f(2)<11 代入到 f(x)中求出 a 和 c 即可;
2 * 2

(2)不等式 f(x)﹣2mx≤1 恒成立?2(1﹣m)≤﹣(x+ )在上恒成立,只需要求出 min= ﹣ ,然后 2(1﹣m)≤﹣ 求出 m 的范围即可. 解答: 解: (1)∵f(1)=a+2+c=5, ∴c=3﹣a.① 又∵6<f(2)<11,即 6<4a+c+4<11,② 将①式代入②式,得﹣ <a< ,又∵a、c∈N ,∴a=1,c=2. (2)由(1)知 f(x)=x +2x+2. 证明:∵x∈,∴不等式 f(x)﹣2mx≤1 恒成立?2(1 ﹣m)≤﹣(x+ )在上恒成立. 易知 min=﹣ , 故只需 2(1﹣m)≤﹣ 即可. 解得 m≥ . 点评: 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,理解函数最值及几何意义的能力, 理解不等式恒成立的能力.
2 *



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