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创新设计2012高考数学二轮专题复习课件:1-1-2(新课标版理科)



第2讲 函数、基本初等函数的图象和性质

◆利用函数的性质求函数定义域、值域与最值,尤其是考查对数函数的定 义域、值域与最值问题. ◆考查函数的单调性与单调区间,以及复合函数的单调性. ◆考查函数奇偶性的判断,常与单调性、周期性综合考查. ◆求二次函数的解析式、值域与最值,考查二次函数的最值、一元二次方 程及不等式的综合应用. ◆考查指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,考查指数函数、对数 函数的求值,以及考查指数函数、对数函数、幂 函数的综合问题.

◆在函数与导数的解答题中,考查指数函数、对数函数的求导、函数单调 性的讨论、函数极值或最值的求解.

1.(2010·广东)函数 f(x)=lg(x-1)的定义域是( A.(2,+∞) B.(1,+∞)

).

C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析 答案 x-1>0,得 x>1,选 B. B

2.(2011·上海)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减 的函数为( 1 A.y=ln |x| C.y=2|x| ). B.y=x3 D.y=cos x

1 解析 f(x)=ln 满足 f(-x)=f(x),且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-ln x,显然 |x| f(x)在(0,+∞)上是减函数. 答案 A

3.(2010·天津)下列命题中,真命题是(

).

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析 当 m=0 时,函数 f(x)=x2 是偶函数,所以选 A. 答案 A

?3?2 ?2?3 ?2?2 4. (2010·安徽)设 a=? ? , ? ? , ? ? , a, c 的大小关系是( b= c= 则 b, ?5?5 ?5?5 ?5?5

).

A.a>c>b B.a>b>c

C.c>a>b

D.b>c>a

2 ?2?x 解析 y=x 在 x>0 时是增函数,所以 a>c,y=? ? 在 x>0 时是减函数,所 5 ?5? 以 c>b. 答案 A
?21-x,x≤1, 5.(2011·辽宁)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范 1-log2x,x>1, ?

围是(

).

A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 解析
?x≤1, ?x>1 f(x)≤2?? 1- x ?0≤x≤1 或 x>1. 或? 2 ≤2 ?1-log2x≤2 ?

答案 D

?2x+a,x<1, 若 f(1-a)=f(1 6.(2011·江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1.

+a),则 a 的值为________. 解析 分类讨论: (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a,解得 a=- , 2 不符合题意,舍去.

(2)当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 3 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综合(1),(2)知 a 的值为- . 4 3 答案 - 4

函数的概念与表示 (1)函数是两个数集之间的对应,需关注定义中的任意性、存在性和唯一性. (2)在函数的三要素中,决定函数的是对应关系及定义域,只要对应关系和 定义域确定了,值域也就确定了,但对应关系和值域确定了,定义域是不 确定的,如函数 y=x2 的值域为[0,1],定义域可能为[-1,1],也可能为[0,1] 等.

函数的定义域是函数的生命线,任何时候都要优先考虑.

函数的性质 (1)单调性是函数在其定义域上的局部性质,也是最重要的性质,要特别注 意定义中的符号语言:定义在 I 上的函数 f(x),且 D?I,对任意 x1,x2∈D, 且 x1<x2 时,都有 f(x1)<(或>)f(x2),则称 f(x)在区间 D 上为增(或减)函数.其 f(x1)-f(x2) 等价说法有:对任意 x1,x2∈D,且 x1<x2 时,都有 >0(或<0),则 x1-x2 称 f(x)在区间 D 上为增函数(或减函数). (2)奇偶性是函数的整体性质,判断奇偶性务必先判断定义域是否关于原点 对称,若奇函数的定义域中有 0,则必有 f(0)=0,而此时 f(0)=0 是 f(x)为 奇函数的必要非充分条件. (3)一般地, 对于函数 f(x), 如果对于定义域内的任一个 x 的值有 f(x+a)=f(b a+b -x)成立,那么函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2

(4)周期性是函数的整体性质,一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域中的 任意一个 x 的值: 若 f(x+T)=f(x)(T≠0),则 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期; 若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则 f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期; 1 若 f(x+a)= (a≠0,且 f(x)≠0),则 f(x)是周期函数,2a 是它的一个周期; f(x) 1+f(x) 若 f(x+a)= (a≠0,且 f(x)≠1),则 f(x)是周期函数,4a 是它的一个周 1-f(x) ( ) 期.

(1)求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”. (2)判断函数奇偶性时,你注意到函数的定义域关于原点对称这个必要不充 分条件了吗?

指数、对数的运算性质 a ·a =a
n m n m+n

M ;(a ) =a ;loga(MN)=logaM+logaN;loga =logaM-logaN; N
m n mn

logbN logaM =nlogaM;alogaN=N;logaN= (a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1, logba M>0,N>0).

函数的性质及应用

函数的单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容,也是函数 的核心所在, 高考试题主要考查这三类性质的判定及其应用. 其中分段函数 与这三类性质的综合性考查是近几年新课标高考的命题热点.

-2x+b 【例题 1】?(2011·佛山模拟)定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立, k 的取值范围. 求 解 -1+b (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1.从而有 2+a

-2x+1 f(x)= x+1 . 2 +a 1 - +1 -2+1 2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a 所以 a=2,b=1.

(2)法一

-2x+1 1 1 由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2

由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2 -k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 1 从而判别式 ?=4+12k<0,解得 k<- . 3

-2x+1 法二 由(1)知 f(x)= x+1 . 2 +2 又由题设条件得 -2t2-2t+1 -22t2-k+1 + 2 <0,即(22t2-k+1+2)·(-2t2-2t+1)+(2t2- 2 2t -2t+1+2 22t -k+1+2 2t+1+2)·(-22t2-k+1)<0, 整理得 23t2-2t-k>1. 因底数 2>1, 3t2-2t-k>0 对一切 t∈R 均成立, 故 从而判别式 ?=4+12k<0, 1 解得 k<- . 3
? 1? 故 k 的取值范围是?-∞,- ? 3? ?

(1)判断函数的单调性的一般规律:对于选择题、填空题若能 画出图象一般用数形结合法;而对于由基本初等函数通过加、减运算或复 合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题;对于解析式为分 式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法;对于抽 象函数一般用定义法. (2)求函数最值(值域)常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数 法和换元法.

【变式 1】?设函数 f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a 为实数). (1)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a>2,求函数 f(x)的最小值. 解 (1)∵f(x)为偶函数,

∴f(-x)=x2+|2x+a|=f(x)=x2+|2x-a|. ∴a=0. a 0. a (2)①当 2x-a≥0,即 x≥ 时 f(x)=x2+2x-a, 2 a ∵a>2,∴ >1. 2

?a ? ∴f(x)=x2+2x-a 在? ,+∞?上为增函数, ?2 ? ?a? a2 a2 ∴f(x)min=f? ? = +a-a= . 4 ? 2? 4

a ②当 2x-a<0 即 x< 时,f(x)=x2-2x+a, 2 a a? ? ∵a>2,∴ >1,∴f(x)=x2-2x+a 在?-∞, ?上先减后增. 2 2? ? f(x)min=f(1)=1-2+a=a-1.

?a ,x≥a, ?4 2 综上 f(x)min=? a ?a-1,x<2. ?

2

函数的图象及其应用

函数的图象主要包括图象的识别、 应用和变换, 函数的图象在研 究函数性质中有着举足轻重的作用.该部分内容均以选择题的形式出现.

?|lg x|,0<x≤10, ? 【例题 2】 ?已知函数 f(x)=? 1 若 a, c 互不相等, f(a) b, 且 - x+6,x>10. ? 2 ?
=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( A.(1,10) C.(10,12) B.(5,6) D.(20,24) ).

解析 作出 f(x)的大致图象,如图所示. 由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c), 1 不妨设 a<b<c,则-lg a=lg b=- c+6. 2 ∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c. 由图知 10<c<12,∴abc∈(10,12). 答案 C

(1)作图:应注意在定义域内依据函数的性质,选取关键的一 部分点连结而成. (2)识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势,具有的 性质,找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与 图象的关系,结合图象研究. (4)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、三角函数),它们是图象变换的基础.

【变式 2】?函数 y=2x-x2 的图象大致是(

).

解析 由于 2x-x2=0,在 x<0 时有一解;在 x>0 时有两解,分别为 x=2 和 x=4.因此函数 y=2x-x2 有三个零点. 故应排除 B、 C.又当 x→-∞时, x→0, 2 而 x2→+∞,故 y=2x-x2→-∞,因此排除 D.故选 A. 答案 A

基本初等函数的应用

高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题, 涉及集合 的基本运算、比较函数值的大小、函数值的求解、函数图象的识别、函数零 对数运算与指数运算 点等问题, 其中对数函数的定义域与集合运算相结合、 相结合求解分段函数的函数值或解不等式、 对数函数与二次函数等其他函数 相结合的复合函数图象的识别等问题是高考命题的热点, 试题难度不大, 均 属中低档题目.

【例题 3】?(2011·长沙模拟)已知 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)在其定义域内的单调性; (3)若 f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小.



?a? (1)由 ax-bx>0,∴? ?x>1. ?b?

a ∵ >1,∴x>0, b ∴f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 x2>x1>0,∵a>1>b>0, ∴ax2>ax1,bx1>bx2,-bx2>-bx1, ∴ax2-bx2>ax1-bx1>0, ∴ ax2-bx2 >1, ax1-bx1

∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),要使 f(x)>0,需 f(1)≥0,∴a-b≥1.

(1)熟练运用一元一次、 二次函数及指数、 对数函数和幂函数的 解析式、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键. (2)解决这类问题时,要灵活运用数形相结合思想、化归与分类讨论思想. (3)熟记指数和对数的运算性质并能灵活进行正、逆应用.

【变式 3】?对于在区间[m,n]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对任意 的 x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,那么称 f(x)与 g(x)在[m,n]上是接近的, 否则称 f(x)与 g(x)在[m,n]上是非接近的,现有两个函数 f1(x)=loga(x-3a) 1 与 f2(x)=loga (a>0,a≠1),给定区间[a+2,a+3]. x-a (1)若 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否是接近的. 解 1 (1)两个函数 f1(x)=loga(x-3a)与 f2(x)=loga (a>0,a≠1)在给定区间 x-a

[a+2,a+3]上有意义,因为函数 y=x-3a 给定区间[a+2,a+3]上单调递 1 增,函数在 y= 给定区间[a+2,a+3]上恒为正数,故有意义当且仅当 x-a

?a>0, ? ?0<a<1. ?a≠1, ?(a+2)-3a>0 ?

(2)构造函数 F(x)=f1(x)-f2(x)=loga[(x-a)(x-3a)]. 对于函数 t=(x-a)(x-3a)来讲. 显然其在(-∞,2a]上单调递减,在[2a,+∞)上单调递增. 由 0<a<1,得 0<2a<2<a+2,且 y=logat 在其定义域内是减函数. 所以原函数在区间[a+2,a+3]内单调递减,所以只需保证

?a≤4(1-a)≤1, ? ?|F(a+2)|=|loga[4(1-a)]|≤1 a ? ?? 1 |F(a+3)|=|loga[3(3-2a)]|≤1 ? ?a≤3(3-2a)≤ . a ?
9- 57 当 0<a≤ 时,f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上是接近的; 12 9- 57 时,f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上是非接近的. 当 a> 12

函数中的数形结合思想 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上 互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化,而数形结合 法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可 以先根据题意,做出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,并 综合图象的特征得出结论.

【 例 1 】 ? (2010· 天 津 ) 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) , f(x) =
?g(x)+x+4,x<g(x), ? 则 f(x)的值域是( ?g(x)-x,x≥g(x), ? 9 ? A.?- ,0?∪(1,+∞) ? 4 ? ? 9 ? C.?- ,+∞? ? 4 ?

).

B.[0,+∞)
? 9 ? D.?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ?

解析 由题意 f(x)=
?x2+x+2,x<g(x), ? 2 ?x -x-2,x≥g(x), ?x2+x+2,x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), =? 2 ?x -x-2,x∈[-1,2],

??x+1?2+7,x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), ?? 2? 4 ? ? =? ? 1?2 9 ??x-2? -4,x∈[-1,2]. ?? ?
所以结合图形,可得当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+
? 9 ? ∞);当 x∈[-1,2]时,f(x)的值域为?- ,0?.故选 D. ? 4 ?

答案 D 题后反思:分段函数的值域常用图象法求解,对于求值域的题目不妨用数 形结合法试一试,往往会有意想不到的效果.

【例 2】?已知函数 f(x)满足下面关系: ①f(x+1)=f(x-1); ②当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2. 则方程 f(x)=lg x 解的个数是________. 解析 由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0,1]的函数.又 f(x)=lg x, 则 x∈(0,10],画出两函数图象,交点个数即为解的个数.由图象可知共 9 个交点.

答案 9

题后反思:利用数形结合法解决方程根的问题时,所涉及的函数图象应是 我们熟知的或容易画出的,如果一开始给出的方程中涉及的函数图象不容 易画出,可以先对方程进行适当的变形,使等号两边的函数图象容易画出, 再进行求解.

1 【试一试】?(2011·课标全国)函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx(- 1-x 2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A.2 B.4 C.6 D.8 ).

解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又 y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt.

1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin πt 的图象. t

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点 对称. 因此这 8 个交点的横坐标之和为 0,即 t1+t2+…+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+…+1-x8=0, 因此 x1+x2+…+x8=8. 答案 D

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