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值域的求法



函数值域求法
在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函 数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值 域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的 知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运 算

过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例 1 求函数 y =

的值域

解: x

≠0



≠0 )∪(0 的值域。 3≤3 ,+≦)。

显然函数的值域是:( -≦,0 例2 解: 求函数 y ≥0 = 3 ≤0

故函数的值域是:[ -≦,3 ] 2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3 、求函数 y= -2x+5,x [-1,2]的值域。 x [-1,2], 由二次函数的性质可知:

解:将函数配方得:y=(x-1) +4, 当x 当x = 1 时,y = 1,时 4 = 4 = 8 ,8 ]

故函数的值域是:[ 3 、判别式法

例4

求函数 y =

的值域。

解:原函数化为关 x 的一元二次方程(y-1 (1)当 y≠1 时,

)

+(y -

1

)x= 0

x R ,△= (-1) -4(y-1)(y-1) ≥0

解得:

≤y≤

(2)当 y=1,时,x

= 0,而 1 [

,

]

故函数的值域为[



]

4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 5 求函数 y=

值域。

解:由原函数式可得:x

=

则其反函数为:y

=

其定义域为:x



故所求函数的值域为:(5 、函数有界性法

≦,



直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例 6 求函数 y =

的值域。

解:由原函数式可得:

=

>0,

>0

解得:- 1<y<1。 故所求函数的值域为( -

1

,

1

) .

例 7 求函数 y =

的值域。

解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为: sinx(x+β)=3y

即 sinx(x+β)=

≧x∈R,?sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤

≤1

解得:6

≤y≤

故函数的值域为[-



]。

、函数单调性法 求函数 y = , = (2≤x≤10)的值域 ,则 y , 在[ 2, 10 ] 上都是增函

例8

解:令 y = 数。 所以 y= y +

在[

2

,10

]上是增函数。

当x 当x

= 2 = 10

时,y 时,

= = +

+

= =33。



故所求函数的值域为:[ 例 9 求函数 y= -

,33]。 的值域。

解:原函数可化为: y=

令 y = y= y +



=

,显然 y ,

在[1,+≦)上为无上界的增函数,所以

在[1,+≦)上也为无上界的增函数。

所以当 x

= 1 时,y=y +

有最小值 ,

,原函数有最大值 ]。

=



显然 y>0,故原函数的值域为( 0

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函 数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 10 求函数 y = x + +1 的值域。

解:令 x-1=t,(t≥0)则 x=

≧y=

+t+1=

+ = 1, 1

,又 t≥0,由二次函数的性质可知 当 t →0 时,y →+≦。

当 t=0 时,y

故函数的值域为[

,+≦)。 的值域 ≤1 ,? ] 。 sin(β+ ? / 4 )+1

例 11 求函数 y =x+2+ 解:因 1≥0 ,即

故可令 x+1=cosβ,β∈[ 0 ?y=cosβ+1+ ≧0≤β≤ ? ,0

=sinβ+cosβ+1= ≤β+ ? /4≤5 ? /4

??0 ≤

≤sin(β+ ? /4)≤1 sin(β+ ? /4)+1≤1+ 。

故所求函数的值域为[0,1+

]。

例 12 求函数 y=(sinx+1)(cosx+1),x∈[- ? /12, ? /2]的值域。 解:y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1

令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx=



-1)

y =



-1)+t+1= sin(x+ ? /4)且 x∈[- ? /12, ? /2]

由 t=sinx+cosx=

可得:

≤t≤

?当 t=

时,

=

+

,当 t=

时,y=

+

故所求函数的值域为[ 例 13 求函数 y=x+4+

+



+ 的值域

] 。

解:由 5-x≥0 故可令 x y= ≧0 =

,可得∣x∣≤ cosβ,β∈[0, ? ] sinβ= sin(β+ ? /4)+ 4

cosβ+4+

≤β≤ ? , ? ? /4≤β+ ? /4≤5 ? /4 =4+ ,当β= ? 时,y ,4+ ]。 =4。

当β= ? /4 时,

故所求函数的值域为:[4-

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类 题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

例 14

求函数 y=

+

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点 P(x )到定点 A(2 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+≦) 例 15 求函数 y= +

),B(-

8

)间的距离之和。

的值域 +

解:原函数可变形为:y=

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2),B(-2 ,-1 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 y 故所求函数的值域为[ 9 、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ,a+b+c≥3 (a,b,c∈ ,+≦)。 =∣AB∣=

)的距离之和, = ,

),求函数的最值,其

题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆 项、添项和两边平方等技巧。 10、多种方法综合运用

例 16 求函数 y=

的值域

解:令 t=

(t≥0),则 x+3=

+1

(1) 当 t>0 时,y=

=



, 当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号

所以 0<y≤



(2) 当 t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0, 注:先换元,后用不等式法。 例 17 (用导数求函数的极值及最值)、 求函数 解:先求导数,得 令 导数 =0 即 的正负以及 解得 , 如下表 在区间

]。

上的最大值与最小值。

X y/ y

-2

(- 2 ,- 1 )

-1 0 4

(- 1 , 0 )

0 0 5

(0,1)

1 0 4

(1,2)

2

- 13 减

+ 增

- 减

+ 增 13

从上表知,当

时,函数有最大值 13 ,当

时,函数有最小值 4

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选 择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其 他各种特殊方法。



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