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4.三角恒等变换



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学生姓名 授课教师 教学课题 教学目标 教学重点 教学难点 三角恒等变换

性别 上课时间 2014 年

年级 月 日

学科 第( )次课 课时:2 课时

和差角公式与倍角北角

>
三角恒等变换(一)
一、知识要点: 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(??+??)=sin??cos??+cos??sin??;sin(??-??)=sin??cos??-cos??sin??; cos(??+??)=cos??cos??-sin??sin??;cos(??-??)=cos??cos??+sin??sin??;

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan? tan? ? tan? ; tan( ? ? ?) ? ? 1 ? tan? tan? 1 ? tan? tan?

2.正弦、余弦、正切的二倍角公式 sin2??=2sin??cos??: cos2??=cos2??-sin2??=1-2sin2??=2cos2??-1;

2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ;sin 2 ? ? 3.降幂公式: cos ? ? 2 2 tan 2? ?
教学过程

二.基础题型
例 1 (1)设 ? ? ( , π), sin ? ?

π 4 π ,则 cos( ? ? ) ? ______; 2 5 4 ? 1 ? tan 15 ? ______. (2)求值 1? tan 15 ?

【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握,灵活运用,这是处理三角问题尤 其是三角变换的基础和核心.注意 tan(? ?

π 1 ? tan ? π 1 ? tan ? )? 和 tan( ? ? ) ? 运用. 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

例 2 求值: (1) 3 cos

π π ? sin ? 12 12



【评析】辅助角公式

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a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ), cos? ?
(2)cos43°cos77°+sin43°cos167°=______;

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ? b2
2

? 应熟练掌握

(3) tan23? ? tan37o ? 3 tan23? tan37? ? ______. .

? ? ?) ? 【评析】公式 tan(

tan? ? tan? 的变形 1 ? tan? tan?

tan??+tan??=tan(??+??)(1-tan??tan??)应予以灵活运用. 例 3 (1) tan( ? ? ? ) ?

2 1 , tan( ? ? ? ) ? ,则 tan2??=______; 5 4

(2)已知 ? , ? ? (

π 3π 3 π 12 , π), sin(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 4 4 5 4 13

例 4 化简

(1)

2 sin 2

?
2

cos2? ? 2 sin

?
2

cos

?
2



(2) 2 cos( x ?

?1

π π ) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x. 4 4

【评析】在进行三角变换时,应从三个角度:角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面 入手,注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用,此类变换是处理三角问题的基础.

π sin(? ? ) 15 4 例 5 (1)已知??为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 sin 2? ? cos2? ? 1

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【评析】此类题目为给值求值问题,从分析已知和所求的三角式关系入手,如角的关系,另一 个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简,可降低运算量. (2)已知 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3 ? 2 3 ,求 sin2x 的值.

【评析】在进行三角变换时,应从三个角度:角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面 入手,注意二倍角的变式(降幂升角) cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 和辅助角公式的应用, 2 2

此类变换是处理三角问题的基础,因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换. 基础练习 1.已知 ? ? ( , π), sin ? ? A.

π 2

3 π ,则 tan( ? ? ) 等于( 5 4
B.7 ) C. C. ?

)

1 7 3 2
)

1 7

D.-7

2.cos24°cos54°-sin24°cos144°=( A. ? B.

1 2

3 2

D. ?

1 2

3. 1 ? sin 30o ? (

A.sin15°-cos15°B.sin15°+cos15° 4.若

C.-sin15°-cos15° )

D.cos15°-sin15°

cos 2? 2 ?? ,则 cos??+sin??的值为( 2 π sin(? ? ) 4
7 2
B. ?

A. ? 5.若 sin(

1 2

C.

1 2

D.

7 2

π 3 ? ? ) ? ,则 cos2??=______. 2 5

6.

1 3 ? ? ______. ? sin 10 cos10?
1 3 , cos( ? ? ? ) ? ,则 tan??tan??=______. 5 5

7.若 cos( ? ? ? ) ? 8.已知 tan ? ? ?

1 sin 2? ? cos2 ? ? ______. ,则 3 1 ? cos2?

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π 1 ? 2 sin( 2 ? ? ) 4 4 9.已知??为第四象限角,且 sin ? ? ? ,求 的值. 5 cos? 3 10.已知??为第三象限角,且 sin ? ? cos ? ? . 3
(1)求 sin??+cos??的值;

5 sin 2
(2)求

?
2

? 8 sin

?

2 2 cos?

cos

?

? 11cos2

?
2

?8
的值.

三、拓展模块
【例 1】要得到函数 y ? ( A、向左平移 单位 【例 2】已知: f ( x) ? 2 sin 2 x ? 3 sin 2x ? a ? 1.(a ? R, a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在[ ? )

1 1 1 3 cos 2 x 的图象,只需把函数 y ? sin x cos x ? cos 2 x ? 的图象 2 2 4 2

? 个单位 6

B、向右平移

? 个单位 6

C、向左平移

? 个单位 12

D、向右平移

? 个 12

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 5,求 a 的值; 3 6

(3)在(2)条件下 f ( x) 先按 m 平移后再经过伸缩变换后得到 y ? sin x. 求 m .

【例 3】考察向量的基本知识与三角函数的运算

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已知向量 m=(sin B,1-cos B),且与向量 n=(1,0)的夹角为 内角,求 sin A ? sin C 的取值范围.

?
3

,其中 A、B、C 是 ? ABC 的

拓展练习 1.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于

? ,则 f ( x) 的单调递增区间是
A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z
12 12

B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6
2 2.函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

3.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ?

?
2

? 的偶函数 2

,则 f ( x) 的最大值为 D. 3 ? 2

A.1

B. 2

C. 3 ? 1

4.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

3? 2

C. ?

D.

5.已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

? 2

2

2 ,则 f (0) = 3

A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

6.将函数 y= sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 4
2

1 2

D.

1 2

1 个单位,所得图像的函数解析式是 A.y= cos 2 x C.y=1+ sin ? 2 x ? B.y= 2cos x

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?

? 4?

D.y= 2sin x

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三角函数与三角恒等变换(A) 一、 填空题 1. 半径是 r,圆心角是α (弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 sin(? ? 3? ) ? lg
3

1 ,则 tan(π +α )=________. 10

3. 若α 是第四象限的角,则π -α 是第________象限的角. 4. 适合 sin x ?

5m ? 2 的实数 m 的取值范围是_________. 2 ? 3m

5. 若 tanα =3,则 cos2α +3sin2α =__________. 6. 函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 4? 4? 3 ? 所得的图象对应的函数为偶函数, 则? 的 ? ? 1 的图象向左平移 ? 个单位, ?

7. 把函数 y ? cos ? x ?

? ?

最小正值为___________. 8. 若方程 sin2x+cosx+k=0 有解,则常数 k 的取值范围是__________. 9. 1-sin10°?sin 30°?sin 50°?sin 70°=__________. 10. 角α 的终边过点(4,3),角β 的终边过点(-7,1),则 sin(α +β )=__________.

课后作业

2 ? ? cos ? x ? ? ? ? 1 5 ? ? 11. 函数 y ? 的递减区间是___________. 2 ? ? sin ? x ? ? ? 5 ? ?
12. 已知函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数,且 f(-1)=1,那么 sin ?? f (5) ?

? ?

??
2? ?

? __________.

13. 若函数 y=sin(x+ ? )+cos(x+ ? )是偶函数,则满足条件的 ? 为_______. 14. tan3、tan4、tan5 的大小顺序是________. 二、 解答题 15.已知 tan ? ? ?

3 2 ,求 2 ? sin ? cos? ? cos ? 的值. 4

16. 已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1) 求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2) 在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间 ? ? 上的图象.

? ? ?? , ? 2 2? ?

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17.求函数 y=4sin2x+6cosx-6( ?

?
3

?x?

2? )的值域. 3

18. 已知函数 y ? f ( x) ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式; (2) 求该函数的单调递增区间.

19. 设函数 f ( x) ? 4sin x sin ?
2

?? x ? ? ? ? cos 2 x (x∈R). ? 4 2?

(1) 求函数 f(x)的值域; (2) 若对任意 x∈ ?

? ? 2? ? ,都有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. , ?6 3 ? ?

20. 已知奇函数 f(x)的定义域为实数集,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数.当 0 ? ? ? 样的实数 m,使 f (4m ? 2m cos? ) ? f (2sin
2

?
2

时,是否存在这

? ?? ? ? 2) ? f (0) 对所有的 ? ? ?0, ? 均成立?若存在,求 ? 2?

出所有适合条件的实数 m;若不存在,请说明理由.

(B) 一、 填空题 二、 1. cos 225?+tan240?+sin(-300?)= ______. 2. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40? ? _______. 3. 已知 tan x ? ?2 ,则

sin 2 x ? 3cos 2 x 的值为_________. 3sin 2 x ? cos 2 x

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4. 已知 ? ? ? ?

3? ,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) ? ________. 4

5. 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 ________.

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4

6. 已知函数 y ? (2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? ? __________. 7. 函数 y ? log 1 sin ? 2 x ?
2

? ?

??

? 的单调递减区间为________. 4?
?? ? , ? ,则函数的值域是_________. ?6 ? ?

8. 已知函数 y ? sin x ? 3cos x ,且 x ? ?
2 9. 若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 cos ? ?

1 sin 2? 的值是___________. 2 5 4 ,cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin ? 的值是_________. 10. 已知 ? , ? 都是锐角,且 sin ? ? 13 5
11. 给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是_______. ① 若 cos ? ? cos ? ,则 ? ? ? ? 2k? ,k∈Z; ② 函数 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图象关于 x ? 12 对称; 3?

③ 函数 y ? cos(sin x) (x∈R)为偶函数; ④ 函数 y=sin|x|是周期函数,且周期为 2π . 12. 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所示, f ?

2 ?? ? ? ? ? ,则 f(0)=_________. 3 ?2?

13. 若 ? ? ? 0,

1 1 ? ?? ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan(? ? ? ) ? 2 , tan ? ? ? 7 ,则 2? ? ? ? ______. ? 4?

14. 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

??

? (x ∈ R , ω > 0) 的最小正周期为 π . 将 y = f(x) 的图象向左平移 4?

? (? ? 0) 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小值是______.
二、 解答题 15 如图是表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I ? A sin(?t ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 在一个周期内的图象. (1) 写出 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;
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(2) 指出它的图象是由 I=sint 的图象经过怎样的变换而得到的.

16. 化简 sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? .

17.已知函数 y=sinx?cosx+sinx+cosx,求 y 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时 x 的值.

18. 设 0 ? ? ?

?
2

,曲线 x2 sin ? ? y2 sin ? ? 1和 x2 cos? ? y 2 sin ? ? 1 有 4 个不同的交点.

(1) 求 ? 的取值范围; (2) 证明这 4 个交点共圆,并求圆的半径的取值范围.

19. 函数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值为 g(a),a∈R. (1) 求 g(a)的表达式; (2) 若 g(a)=

1 ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2

20.已知定义在区间 ? ? sinx. (1) 求 f ? ?

? ? ? ? ? , ? ? 上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x ? 对称,当 x≥ 时,函数 f(x)= 4 4 ? 2 ?

? ?? ? ?? ? , f ? ? ? 的值; ? 2? ? 4?

(2) 求 y=f(x)的函数表达式; (3) 如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解, 那么在 a 取某一确定值时, 将方程所求得的所有解的和记为 Ma, 求 Ma 的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围.

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答案(A) 1. ? r

1 2

2

2. ±

2 4

3. 三 4. ?0, ? 2

? 1? ? ?

5.

19 10

6. x=

? ? ? k? ? ? (k∈Z). 【解析】对称轴方程满足 2x+ =kπ + ,所以 x= 8 4 2 2 8
8. ? ? ,1? ? 4 ?

7.

2? 3

? 5 ?

15 sin 20? sin 30? sin 50? cos 20? 【解析】∵ sin10°?sin30°?sin50°?sin70°= 16 2 cos10? sin 40? sin 30? cos 40? sin 80? sin 30? 1 ? ? , = 4 cos10? 8cos10? 16 1 15 ? . ∴ 原式=1- 16 16
9. 10. -

17 2 50

11. ? 2k? ?

? ?

7 3 ? ? , 2k? ? ? ? , k ? Z 5 5 ?
? ?? ? =-1. ? 2?

12. -1 【解析】f(5)=-f(-5)=-f(-1)=-1,∴ 原式=sin ? ? 13. ? =kπ +

? (k∈Z) 14. tan5<tan3<tan4 4

3 ? ?1 2 sin ? cos ? ? cos ? tan ? ? 1 22 ? 2? ? . 15. 2+sinθ cosθ -cos2θ =2+ =2? 4 2 2 2 9 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? 1 25 16 ? ? 16. (1) f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+ 2 (sin2xcos -cos2xsin ) 4 4 ? =1+ 2 sin(2x- ). 4
所以函数 f(x)的最小正周期为π ,最大值为 1+ 2 . (2) 列表.
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x

?

2x ?
y

?
4

3? 8

? ?

? ?
8 2

? 8
0 1

3? 8

??
1

? 2

5? 8

?
1

1? 2
? ? ?? 上的图象是 , ? 2 2? ?

1? 2

故函数 y=f(x)在区间 ? ?

17. y=4sin2x+6cosx-6 =4(1-cos2x)+6cosx-6 =-4cos2x+6cosx-2

? 2? 1 3? 1 ? =-4 ? cos x ? ? ? . ∵ - ≤x≤ ,∴ - ≤cosx≤1, 3 2 3 4? 4 ?
∴ y∈ ? ?6, ? . 4

2

? ?

1? ?

18. (1) 由图象可知:T=2 ? A=

2? ?3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? =π ? ω = =2. T ? 8 ?? ?8

2 ? ( ?2) =2,∴ y=2sin(2x+ ? ). 2

又∵ ? ?

? 3? ? ?? ? ? ? . , 2 ? 为“五点画法”中的第二点,∴ 2? ? ? ? + ? = ? ? = 4 2 ? 8? ? 8 ?
? ? 3? 4 ? ?. ?

∴ 所求函数的解析式为 y=2sin ? 2 x ?

(2) ∵ 当 2x+

3? ? ? ? ? ∈ ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k∈Z)时,f(x)单调递增, 4 2 ? 2 ?

∴ 2x∈ ? ?

? ? ? 5? ? ? 5? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ? x∈ ? ? ? k? , ? ? k? ? (k∈Z). 4 8 ? 4 ? ? 8 ?

?? ? 1 ? cos ? ? x ? ?2 ? +cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1. 19. (1) f(x)=4sinx? 2
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∵ x∈R,∴ sinx∈[-1,1] ,故 f(x)的值域是[-1,3]. (2) 当 x∈ ?

? ? 2? ? ?1 ? , ? 时,sinx∈ ? ,1? ,∴ f(x)∈[2,3]. ?2 ? ?6 3 ?

由|f(x)-m|<2 ? -2<f(x)-m<2,∴ f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴ m<[f(x)+2]min=4,且 m>[f(x)-2]max=1. 故 m 的取值范围是(1,4). 20. 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x) (x∈R) ,所以 f(0)=0.所以 f(4m-2mcosθ ) 2 2 -f(2sin θ +2)>0,所以 f(4m-2mcosθ )>f(2sin θ +2). 又因为 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(x)是奇函数, 所以 f(x)是 R 上的增函数,所以 4m-2mcosθ >2sin2θ +2. 所以 cos2θ -mcosθ +2m-2>0. 因为θ ∈ ? 0, ? ,所以 cosθ ∈[0,1]. ? 2? 令 l=cosθ (l∈[0,1]). 满足条件的 m 应使不等式 l2-ml+2m-2>0 对任意 l∈[0,1]均成立.

? ??

m2 ? m? 设 g(l)=l -ml+2m-2= ? l ? ? - +2m-2. 4 2? ?
2

2

m ? 0 ? ? 1, ?m ?m ? 2 ? ? 0, ? ? ? 1, 由条件得 ? 2 或? 或? 2 ?m? ? ? ? g (0) ? 0, ? g ? ? ? 0, ? ? g (1) ? 0. ? ?2?
解得,m>4-2 2 .

(B) 1.

3 3? 2 2

2.

2

3.

7 tan 2 x ? 3 (?2)2 ? 3 7 【解析】原式= ? ? . 11 3tan 2 x ? 1 3(?2)2 ? 1 11
5. y=2cos2x 6.

4. 2

? 2

7. ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

??

?? ? ? (k∈Z) 【解析】∵ sin ? 2 x ? ? >0,且 y= log 1 t 是减函数, 8? 4? ? 2

∴ 2kπ <2x+

? ? ? ?? ? ≤ +2kπ , (k∈Z) ,∴ x∈ ? k? ? , k? ? ? (k∈Z). 4 2 8 8? ?
? ?

8. ? ? 3, 2 ? 【解析】y=sinx+ 3 cosx=2sin ? x ?

?

?

??

? ? 4? ? ,又 2 ≤x+ 3 ≤ 3 , 3?

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∴ sin ? x ?

? ?

??
3?

? ∈ ??
?

?

3 ? ,1? ,∴ y∈[- 3 ,2]. 2 ?

9.

6 1 1 cos 2 ? ? sin ? cos ? 1 ? tan ? 6 ? ? . 【解析】tanθ = ,∴ cos2θ + sin2θ = 5 3 2 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5

56 12 3 【解析】由题意得 cosα = ,sin(α +β )= .∴ sinβ =sin[ (α +β )-α ]=sin 5 65 13 56 (α +β ) ?cosα -cos(α +β ) ?sinα = . 65 2 11. ①②④ 12. 3 1 1 ? 3? 2 7 ? 1 ,∴ tan(2α -β )=tan[ ? 13. 【解析】tanα =tan(α -β +β )= (α -β ) 1 1 3 4 1? ? 2 7 1 1 ? 1 ? 3? ? +α ]= 2 3 ? 1 .∵ β ∈(0,π ),且 tanβ =- ∈(-1,0) ,∴ β ∈ ? , ? ? ,∴ 2α 1 1 7 4 ? ? 1? ? 2 3
10. -β ∈ ? ?? , ? 14.

? ?

??

3? ? , ∴ 2α -β =- 4 . 4?

? 2? 【解析】由已知,周期为π = ,∴ ω =2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函 ? 8
? ?

数,sin ? 2 ? x ? ? ? ?

??

=±cos2x,故 ? 4? ?

min=

? . 8

15. (1) I=300sin ?100? t ?

? ?

??

?. 3?

(2) I=sint ???? ? I=sin ? t ? ?
向左平移 3 个单位

? ?

??

?? ? 纵坐标不变 ? I=sin ?100? t ? ? 1 ? ???????? 横坐标变为原来的 倍 3? 3? ? 100?

?? ? 横坐标不变 ??????? ? I=300sin ?100? t ? ? . 纵坐标变为原来的300倍 3? ?
16. 原式=sin6°?cos48°?cos24°?cos12° =

cos 6? sin 6? cos12? cos 24? cos 48? cos 6?



1 sin12? cos12? cos 24? cos 48? 2 cos 6?

1 sin 96? 1 16 =?= ? . cos 6? 16

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17. 令 sinx+cosx=t.由 sinx+cosx= 2 sin ? x ?

? ?

??
4?

, ∴ sinx? cosx= ? ,知 t∈[- 2 , 2 ]

t2 ?1 , 2

1 t2 ?1 ?? ? 2 t∈ [- 2 , 2 ] .所以 y= +t= (t+1) -1, t∈ [- 2 , 2 ] .当 t=-1, 即 2sin ? x ? ? 2 2 4? ?
=-1,x=2kπ +π 或 x=2kπ +

3 ?? ? π (k∈Z)时,ymin=-1;当 t= 2 ,即 2 sin ? x ? ? = 2 , 2 4? ?

x=2kπ +

? 1 (k∈Z)时,ymax= ? 2 . 2 4

2 2 2 ? ? x sin ? ? y cos ? ? 1, ? ? x ? sin ? ? cos ? , 得? 2 18. (1) 解方程组 ? 2 故两条已知曲线有四个不同的 2 ? ? x sin ? ? y cos ? ? 1, ? ? y ? cos ? ? sin ? .

交点的充要条件为 ?

?sin ? ? cos ? ? 0, ? ? ∵ 0<θ < ,∴ 0<θ < . 2 4 ?cos ? ? sin ? ? 0.

(2) 设四个交点的坐标为(xi,yi) (i=1,2,3,4) ,则 xi2 + yi2 =2cosθ ∈( 2 ,2) (i=1,2, 3,4).故此四个交点共圆,并且这个圆的半径 r= 2cos? ? ( 4 2, 2) . 19. f ( x )= 1 - 2a - 2acosx - 2sin2x = 1 - 2a - 2acosx - 2 ( 1 - cos2x )= 2cos2x - 2acosx - 1 - 2a =

a2 a? ? 2 ? cos x ? ? -1-2a- (a∈R). 2 2? ?
(1) 函数 f(x)的最小值为 g(a).

2

a a2 a? ? ① 当 <-1,即 a<-2 时,由 cosx=-1,得 g(a)=2 ? ?1 ? ? -1-2a- =1; 2 2 2? ?
② 当-1≤

2

a a a2 ≤1,即-2≤a≤2 时,由 cosx= ,得 g(a)=-1-2a- ; 2 2 2
2

a a2 ? a? ③ 当 >1,即 a>2 时,由 cosx=1,得 g(a)=2 ?1 ? ? -1-2a- =1-4a. 2 2 ? 2?

?1(a ? ?2), ? a2 ? (?2 ? a ? 2), 综上所述, g ( a ) ? ? ?1 ? 2a ? 2 ? ? ?1 ? 4a ( a ? 2).
(2) ∵ g(a)=

1 a2 1 ,∴ -2≤a≤2,∴ -1-2a- = ,得 a2+4a+3=0, 2 2 2
2

a2 a? ? ∴ a=-1 或 a=-3(舍).将 a=-1 代入 f(x)=2 ? cos x ? ? -1-2a- , 2 2? ?
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1 1? ? 得 f(x)=2 ? cos x ? ? + .∴ 当 cosx=1,即 x=2kπ (k∈Z)时,f(x)max=5. 2 2? ?
20. (1) f ? ?

2

? ?? ? ? ? ? 3? ? =f(π )=sinπ =0,f ? ? ? =f ? ? 2? ? 4? ? 4

3? 2 ? . ? =sin 4 = 2 ?

(2) 当-

? ? ?? ? ?? ? ≤x< 时,f(x)=f ? ? x ? =sin ? ? x ? =cosx. 2 4 ?2 ? ?2 ?

? ?? ? ?sin x, x ? ? 4 , ? ? , ? ? ? ∴ f(x)= ? ?cos x, x ? ? ? ? , ? ? . ? ? ? ? 2 4? ?
(3) 作函数 f(x)的图象(如图) ,显然,若 f(x)=a 有解,则 a∈[0,1].

① 当 0≤a<

x ? x2 ? ? ? 2 ? ,∴ x1+x2= ,∴ Ma= ; 时,f(x)=a 有两解,且 1 2 4 2 2 2

② 当 a=

? ? 3? 3? 2 时,f(x)=a 有三解,且 x1+x2+x3= + = ,∴ Ma= ; 4 4 2 4 2

③ 当

? ? 2 <a<1 时,f(x)=a 有四解,且 x1+x2+x3+x4=x1+x4+x2+x3= + =π , 2 2 2
? ? ? ,∴ x1+x2= ,∴ Ma= . 2 2 2

∴ Ma=π ; ④ 当 a=1 时,f(x)=a 有两解,且 x1=0,x2=

?? ? 2? ? , a ? ?0, ? ? {1}, 2 ?2 ? ? ? ? 2? ? ? 3? ? 综上所述,Ma= ? , a ? ? ?, ? ? 2 ? ? ?4 ? 2 ? ?? , a ? ? ? ? 2 ,1? ?. ? ? ? ?

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