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3.2.1直线的点斜式方程



3.2.1直线的点斜 式方程

复习引入:

1. 直线的斜率及斜率公式.
( x1 ? x2 ) P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

2. 若两直线 l1、l2的斜率分

别为k1、k2,

则l1∥l2或l1⊥l2与k1、k2之间有怎样
的关系?

讲授新课: 建构数学:

探究1:如图,直线l经过P0(x0, y0), 且斜率 为k, 若点P (x, y)是直线l上不同于点P0的任意 一点, 试问x与y之间应满足怎样的方程?

y

l

P(x, y) P0(x0, y0)
O x

建构数学:

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程为:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定,所以我们把它 叫做直线的点斜式方程. (1)过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上的每一点的坐 标都满足方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(2)坐标满足方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 的每一点都在过点P0 (x0,y0),斜率为k的直线l上

点斜式方程
y

l与x轴平行或重合
P0(x0,y0)

倾斜角为0°

y0

l x

斜率k=0

O
直线上任意点 纵坐标都等于y0

y ? y0 ? 0 ? ( x ? x0 ) y ? y0 ? 0
y ? y0

点斜式方程
y l

l与x轴垂直 倾斜角为90°

P0(x0,y0)
x

斜率不存在
O
x0

不能用点斜式求方程

x ? x0
直线上任意点 横坐标都等于x0

x ? x0 ? 0

点斜式方程
y
l

①倾斜角α°≠90
x

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
②倾斜角α=0°

y y0 y l x l x0

y ? y0 ? 0或y ? y0
③倾斜角α=90°

O

x

x ? x0 ? 0或x ? x0

数学运用:

例1.直线l经过点P0(-2, 3),且倾斜角?=45? ,
求直线l的点斜式方程,并画出直线l.

数学运用: 练习1、已知直线经过点 P??1,3? , 求 0? (1)倾斜角为y ? 3 时的直线方程; (2)斜率为2 y ? 3时的直线方程; ? 2( x ? 1) (3)倾斜角为 x ? ?1 时的直线方程.
.

90 ?

数学运用:

2.①已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么直线的斜率是_____,倾斜角是_____, 此直线必过定点______;

②已知直线的点斜式方程是y+2= 3 (x+1),
那么此直线经过定点_______,直线的斜率 是______,倾斜角是_______.

数学运用: 3:求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。

4:已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),求直 线l的方程

2.直线的斜截式方程
y
l

已知直线l经过点P0( 0 , b) ,其斜率为k,求直线l的方 程。

P0(0,b)

y ? b ? k ( x ? 0)
x

y ? kx ? b
斜率 截距

当已知斜率和截距时用斜截式

方程y=kx+b 叫做斜率为k,在y轴上的截距 为b的直线的斜截式方程. 注意:
(1)截距是一个坐标,不是距离。截距可正,可负,可 为零,可以不存在。 (2)倾斜角为900时,斜率不存在,不能用斜截式方程, 此时直线方程为 x=0 (y轴) (3)k≠0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式 (4)斜截式方程是点斜式方程的特例。 (5)常用斜截式方程研究直线的位置。

思考1:直线:y=-2x+1,y=x-4,y=3x,y=-3,在y轴 上的截距分别是什么? 思考2:若直线l的斜率为k,在x轴上的截距为a,则 直线l的方程是什么? y=k(x-a)

思考3:如何求直线y-y0=k(x-x0)在x轴、y轴上的截 距?

思考:已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,分别 在什么条件下l1与 l2平行?垂直?

l1 / /l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2
l1
y b1 b2

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1
l1 y

l2 l1

l2

x

x

课堂小结:

直线过点 P0 ?x0 , y0 ?

(1)斜率为K,
点斜式方程:y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
P0取?0, b?

斜截式方程:y ? kx ? b 函数)

(对 比:一次

(2)斜率不存在时,即直线与x轴垂直,

x ? x0

则直线方程为:

数学运用:

练习5.直线l不过第三象限, l的斜率为k,l 在y轴上的截距为b(b≠0),则有( )

A. kb<0
C. kb>0

B. kb≤0
D. kb≥0

数学运用: 6.写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为 3 ,在y轴上的截距是-2; (2)斜率为-2,与y轴的交点坐标为(0, 4).

2

数学运用: 7、 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线y=3x+1垂直(平 行); (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

当堂反馈:

P95 1、2、3、4
2

写出下列直线的点斜式方程 (1)经过点A(3,-1),斜率是
y ? 1 ? 2 ( x ? 3)

(2)经过点B (? 2,2) ,倾斜角是30°
y?2? 3 (x ? 3 2)

(3)经过点C(0,3),倾斜角是0°
y?3

(4)经过点D(4,-2),倾斜角是120°

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

数学运用:

8、已知三角形的顶点

A(2,4), B(1,?2), C (?2,3)

求BC边上的高AD所在直线的方程。

数学运用: 9、 已知直线l的斜率为 ,且与两坐标轴围成 的三角形的面积为4,求直线l的方程.
1 2

拓展: ①当a为何值时, 直线l1: y=-x+2a与直线

l2:y=(a2-2)x+2平行?
②当a为何值时, 直线l1: y=(2a-1)x+3与 直线l2:y=4x-3垂直?

数学之美: k为常数时,下列方程所表示的直线过定点吗 ? ?1?y ? kx ? 2 ? ?0,2?
?2?y ? kx ? 3k ? 2
y
? y ? 2 ? k ?x ? 3? ? ?? 3,2?

y ? x?2

y?2

直线 y ? kx ? 2 点

是过定

o
y ? 3x ? 2

x

(0,2)的直线束;

y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2

数学之美:
y

1 直线 y ? ? x ? b 2





1 表示斜 ? 2

的一系列垂直直线.
y ? x?2
y ? 2x ? 4

y y ? 2x
y ? 2x ? 4

y?2

o
y ? 3x ? 2

x y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2
y ? 2x ?1

o

x

y ? 2x ?1

直线 y ? kx ? 2

是过定点 直线 y ? 2 x ? b 表示斜率 为2的一系列平行直线. (0,2)的直线束;

思考题
A??1,3? 一直线过点
3 x 直线 y ? 3

,其倾斜角等于 的方程.

的倾斜角的2倍,求直线 l

分析:只要利用已知直线,求出所求直线的斜率 即可.
3 ? ? ? 30? 则: tan? ? 3 ?k ? tan2? ? tan60? ? 3

3 解: 设所求直线的斜率为k,直线 y ? x 倾斜角为 3

?

由直线的点斜式方程,得: y ? 3 ? 3[ x ? (?1)]



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