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1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)



1997 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题共 65 分)

一.选择题:本大题共 15 小题;第(1)—(10)题每小题 4 分,第(11)—(15)题每小题 5 分,共 65 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

1.设集合 M={x│0≤x<2},集合 N={x│x2-2x-3<0},集合 M∩N= (A) (C)

(

)

?x 0 ? x ? 1? ?x 0 ? x ? 1?
(B) -6

(B) (D)

?x 0 ? x ? 2? ?x 0 ? x ? 2?
( (D) )

2.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a= (A) -3 3.函数 y=tg( (C) ?

3 2

2 3
( )

1 1 x ? ? )在一个周期内的图像是 2 3

4.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC 为棱,以 面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小是 (A) arccos ( (C) )

3 3

(B) arccos

1 3

? 2

(D)

2? 3
( )

5.函数 y=sin(

? ? 2 x )+cos2 x 的最小正周期是 3

(A)

? 2
1 ] 2

(B)

?

(C) 2?

(D) 4? ( )

6.满足 arccos(1-x) ? arccosx 的 x 的取值范围是 (A) [-1,- (B) [-

1 ,0] 2

(C) [0,

1 ] 2

(D) [

1 ,1] 2
( )

7.将 y=2x 的图像 (A) 先向左平行移动 1 个单位 (C) 先向上平行移动 1 个单位 (B) 先向右平行移动 1 个单位 (D) 先向下平行移动 1 个单位

再作关于直线 y=x 对称的图像,可得到函数 y=log2(x+1)的图像. 8.长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这 个球的表面积是 (A) 20 2? (B) 25 2? (C) 50 ? (D) 200 ? ( )

1 ? ?x ? 1 ? 9.曲线的参数方程是 ? t (t 是参数,t ? 0),它的普通方程是 ?y ? 1? t2 ?
(A) (x-1)2(y-1)=1 (B) y=

(

)

x? x ? 2 ? ?1 ? x ?2
x ?1 1 ? x2
( )

(C) y ?

1 ?1 ?1 ? x ?2

(D) y ?

10.函数 y=cos2x-3cosx+2 的最小值为 (A) 2 (B) 0
2 2 ? x ? 3? ? y ? 2? ? 与椭圆

(C) ?

1 4

(D) 6

11 .椭圆 C

9

4

? 1 关于直线 x+y=0 对称 , 椭圆 C 的方程是
( )

(A)

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2
4 9

?1

(B)

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2
9 4

?1

(C)

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2
9 4

?1

(D)

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2
4 9

?1
( )

12.圆台上、下底面积分别为 ? 、 4? ,侧面积为 6? ,这个圆台的体积是

(A)

2 3? 3

(B) 2 3?

(C)

7 3? 6

(D)

7 3? 3

13.定义在区间 ?? ?,??? 的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x)在区间[ 0,?? )的图像 与 f(x)的图像重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是 (A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④ ( )

?x ? 0 ? 14.不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是 ?3 ? x ? 2 ? x ?
(A)

(

)

?x 0 ? x ? 2?

(B)

?x 0 ? x ? 2.5? ?x 0 ? x ? 3?
( )

(C) x 0 ? x ?

?

6

?

(D)

15.四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有

(A) 150 种

(B) 147 种

(C) 144 种

(D) 141 种

第Ⅱ卷

(非选择题共 85 分)

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 16.已知 (

9 a x 9 ? ) 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为________ 4 x 2

王新敞
奎屯

新疆

17.已知直线的极坐标方程为 ? sin( ? ? 18.

?
4
王新敞
奎屯 新疆

)=

2 ,则极点到该直线的距离是_____ 2

王新敞
奎屯

新疆

sin 7? ? cos 15? sin 8? 的值为_______ cos 7? ? sin 15? sin 8?

19.已知 m,l 是直线, ? 、 ? 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ?

?;

②若 l 平行于 ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? ,且 l ? m ,则 ? ? ? ; ④若 l ? ? ,且 l ? ? ,则 ? ? ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? ,且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l .
王新敞
奎屯 新疆

其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都 填上) .

三.解答题:本大题共 6 小题;共 69 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.(本小题满分 10 分) 已知复数 z ?

3 1 2 2 2 3 复数 z? , z ? 在复数平面上所对应的点分别 ? i ,? ? ? i. 2 2 2 2

为 P,Q.证明 ?OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点) . 21.(本小题满分 11 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q,其中 p> q,且 p ? 1 ,

q ? 1 .设 cn ? an ? bn ,Sn 为数列 ?cn ?的前 n 项和.求 lim
22. (本小题满分 12 分)

Sn . n ?? S n ?1

甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时.已 知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v ........ (千米/时)的平方成正比、比例系数为 b;固定部分为 a 元. I.把全程运输成本 ......y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定 义域; II.为了使全程运输成本 最小,汽车应以多大速度行驶? ...... 23. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点.

I.证明 AD ? D1F; II.求 AE 与 D1F 所成的角; III.证明面 AED ? 面 A1FD1; IV.设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的体积 VF ? A1ED1 24.(本小题满分 12 分) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2< I.当 x ? (0, x1)时,证明 x<f (x)<x1; II.设函数 f(x)的图像关于直线 x=x0 对称,证明 x0< (25)(本小题满分 12 分) 设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满 足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.

1 . a

x1 25. 2

1997 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1.B 11.A 2.B 12.D 3.A 13.C 4.C 14.C 5.B 15.D 6.D 7.D 8.C 9 . B 10 . B

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16.4 17.

2 2

18. 2 ? 3

19.①,④

注:第(19)题多填、漏填和错填均给 0 分.

三.解答题 20.本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考 查运算能力和逻辑推理能力. 解法一:

z?

3 1 ? ? ? i ? cos(? ) ? i sin(? ), 2 2 6 6

??
于是

2 2 ? ? ? i ? cos ? i sin 2 2 4 4

z? ? cos ? i sin , 12 12

?

?

z? ? cos( ?

?
12

) ? i sin( ?

?
12

),

? ? 3? 3? z 2? 3 ? [cos(? ) ? i sin(? )] ? (cos ? i sin ) 3 3 4 4
5? 5? ? i sin 12 12

? cos

因为 OP 与 OQ 的夹角为

5? ? ? ? (? ) ? ,所以 OP⊥OQ. 12 12 2
2 3

因为 OP ? z? ? 1. OQ ? z ?

? 1 ,所以 OP ? OQ

由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ 为等腰直角三角形. 解法二: 因为 z ?

3 1 ? ? ? i ? cos(? ) ? i sin(? ) ,所以 z 3 ? ?i . 2 2 6 6 2 2 ? ? ? i ? cos ? i sin ,所以 ? 4 ? ?1 2 2 4 4

因为 ? ?

于是

z 2? 3 z 2? 3 z? z 3? 4 ? ? ? 2 2 ?i z? z? z? z ?

由此得 OP⊥OQ,│OP│=│OQ│. 由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ 为等腰直角三角形. (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能 力和运算能力.满分 11 分. 解:

Sn ?

a1 ( p n ? 1) b1 (q n ? 1) ? , p ?1 q ?1

Sn a (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) . ? 1 S n?1 a1 (q ? 1)( p n?1 ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n?1 ? 1)
分两种情况讨论. (Ⅰ)p>1. ∵ p ? q ? 0,0 ?

q ? 1, p

Sn n ?? S n ?1 lim
1 qn 1 ) ? b ( p ? 1 )( ? n )] 1 n n p p p ? lim n ?1 n ?? 1 q 1 p n ?1[a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b1 ( p ? 1)( n ?1 ? n ?1 )] p p p p n [a1 (q ? 1)(1 ?
1 q 1 ) ? b1 ( p ? 1)[( ) n ? n ] n p p p = p ? lim n ?? 1 q 1 a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b1 ( p ? 1)[( ) n ?1 ? n ?1 ] p p p a1 (q ? 1)(1 ?

? p?
=p.

a1 (q ? 1) a1 (q ? 1)

(Ⅱ)p<1. ∵ 0<q<p<1,

n ??

lim

Sn S n ?1

a1 (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ? lim n ?? a (q ? 1)( p n ?1 ? 1) ? b ( p ? 1)(q n ?1 ? 1) 1 1
? ? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1) ?1 ? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1)

(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查 综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分 12 分.

解: (Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s ,全程运输成本为 v

y ? a?

S S a ? bv 2 ? ? S ( ? bv ) v v v

故所求函数及其定义域为

a y ? S ( ? bv ), v ? (0, c] v
(Ⅱ)依题意知 S,a,b,v 都为正数,故有

a S ( ? bv ) ? 2S ab v
当且仅当

a a ? bv, .即 v ? 时上式中等号成立 v b



a a 时,全程运输成本 y 最小, ? c ,则当 v ? b b a ? c ,则当 v ? (0, c] 时,有 b



a a S ( ? bv ) ? S ( ? bc ) v c a a ? S[( ? ) ? (bv ? bc )] v c S = (c ? v)( a ? bcv ) vc
因为 c-v≥0,且 a>bc2,故有 a-bcv≥a-bc2>0, 所以 S (

a a ? bv ) ? S ( ? bc ) ,且仅当 v=c 时等号成立, v c

也即当 v=c 时,全程运输成本 y 最小. 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当

ab ab ;当 ? c 时行驶速度应为 v ? b b

ab ? c 时行驶速度应为 v=c. b
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推 理能力和空间想象能力,满分 12 分. 解:(Ⅰ)∵AC1 是正方体, ∴AD⊥面 DC1. 又 D1F ? 面 DC1,

∴AD⊥D1F. (Ⅱ)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG.因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等, 又 A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等,故 GFD1A1 是平行四边形,A1G ∥D1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H,则∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角,因为 E 是 BB1 的中点, 所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线 AE 与 D1F 所成 角为直角. (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F,由(Ⅱ)知 AE⊥D1F,又 AD∩AE=A,所以 D1F⊥面 AED.又 因为 D1F ? 面 A1FD1,所以面 AED⊥面 A1FD1. (Ⅳ)连结 GE,GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面 A1ED1, ∴ VF ? A1ED1 ? VG? A1ED1 ? VD1 ? A1GE ∵AA1=2, ∴ S ?A1GE ? S 正方形 ABB A ? 2 S ?A AG ? S ?GBE ? 1
1 1

1 VF ? A1ED1 ? VD1 ? A1GE ? ? A1 D1 ? S ?A1GE 3

3 2 1 3 ? ? 2? ? 1 3 2

(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数 学知识分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. 证明:(Ⅰ)令 F(x)=f(x)-x.因为 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,所以 F(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0, 即 x<f(x).

x1 ? f ( x) ? x1 ? [ x ? F ( x)] ? x1 ? x ? a( x1 ? x)(x ? x 2 ) ? ( x1 ? x)[1 ? a( x ? x 2 )]
因为 0 ? x ? x1 ? x 2 ?

1 a

所以 x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0. 得 x1-f(x)>0.

由此得 f(x)<x1. (Ⅱ)依题意知

x0 ? ?

b 2a b ?1 , a

因为 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,即 x1,x2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的根. ∴ x1 ? x 2 ? ?

x0 ? ?

a( x1 ? x2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 b ? ? 2a 2a 2a ax1 x1 ? . 2a 2

因为 ax2<1,所以 x 0 ?

(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程 的能力.满分 12 分. 解法一:设圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为│b│, │a│. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°, 知圆 P 截 X 轴所得的弦长为 2r , 故 r2=2b2, 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1. 从而得 2b2-a2=1. 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为

d?

a ? 2b 5



所以 5d2=│a-2b│2 =a2+4b2-4ab ≥a2+4b2-2(a2+b2) =2b2-a2=1, 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值. 由此有

? a ? b, ? 2 2 ?2b ? a ? 1

解此方程组得

?a ? 1, ?a ? ?1, 或? ? ?b ? 1; ?b ? ?1.
由于 r2=2b2 知 r ?

2.

于是,所求圆的方程是 (x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2. 解法二:同解法一,得 d ? ∴ a ? 2b ? ? 5d 得 a ? 4b ? 4 5bd ? 5d
2 2 2

a ? 2b 5



将 a2=2b2-1 代入①式,整理得

2b 2 ? 4 5db ? 5d 2 ? 1 ? 0



把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

△=8(5d2-1)≥0,
得 5d2≥1. ∴5d2 有最小值 1,从而 d 有最小值

5 . 5

将其代入②式得 2b2±4b+2=0.解得 b=±1. 将 b=±1 代入 r2=2b2,得 r2=2.由 r2=a2+1 得 a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r2=2. 由 a ? 2b =1 知 a,b 同号. 于是,所求圆的方程是 (x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2.



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