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(新课标)高考数学考点专练(30)几何证明选讲(含答案)


几何证明选讲
1.如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,

BD ? 则 DA

.

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法,属送分题. 【 思 路 点 拨 】 条 件

?

Rt ?ADC ? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ?


AD AC ? ? AD ? BD AC AB

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ?

AD AC ? ? AD ? BD AC AB ?结论
0

【规范解答】∵以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,∴ ?ADC ? 90 , ?ADC为Rt ?ADC , ,

AD AC 9 AD AC AC AC22 9 9 9 16 16 ? ? ? ,,AD ? ?Rt Rt? ?ADC ADC ? ? Rt Rt? ?ACB ACB,, ? ? AD ? ? ? ,,BD BD ? ? AB AB? ? AD AD ? ?5 5? ? ? ? AC AB 5 AC AB AB AB 5 5 5 5 5 , ∽
? BD 16 ? DA 9 .

16 【答案】 9
2.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD= cm. 【命题立意】本题考查几何证明选做题的 解法,属送分题. 【 思 路 点 拨 】 条 件

?

R?t

A ?D

C?


R ?t

A D A ? D A C

A C ? A

C R ? t B

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ?

AD AC ? ? AD ? BD AC AB
0

【规范解答】∵以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,∴ ?ADC ? 90 , ?ADC为Rt ?ADC , ,

?Rt Rt? ?ADC ADC ? ? Rt Rt? ?ACB ACB,,? ? ?


AD AC AC AC22 9 9 AD AC 9 16 ? AD ? ? ? ,, BD BD ? ? AB AB ? ? AD ? 5 ? ? ? ,, AD ? AC AB 5 5 . AC AB AB AB 5 5

16 【答案】 5
3.如图, ? O 的弦 ED,CB 的延长线 交于点 A.若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3, 则 DE= ;CE= .

【命题立意】本题考查几何证明的知识, 运用割线定理是解决本题的突破口. 【思路点拨】本题可由割线定理求出 DE,再利用三个直角三角形 Rt ?ABD, Rt ?BDE , Rt ?BCE 求 CE. 【规范解答】由割线定理得, AB ? AC ? AD ? AE ,即 4 ? 6 ? 3? AE ,得 AE ? 8 . DE ? 8 ? 3 ? 5 . 连接
0 BE,因为 BD ? AE ,所以 BE 为直径,所以 ?BCE ? 90 .在 Rt ?ABD 中, BD ? 4 ? 3 ? 7 .

2

2

CE ? 32 32? ?4 7 ?2 7. BE5? ? ( 52 7) ? 7 ? 4 2 .在 Rt ?BCE 中, 在 Rt ?BDE 中 BE= CE=
2 2

E

D

3

A 4 B
2
C

【答案】5 2 7 4.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若

BC PB=1,PD=3,则 AD 的值为

.

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用. 【思路点拨】利用相似三角形的性质转化. 【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP 相似,

BP PD 1 3 BC 1 ? ? ? ? ? BC AD AD 3 . 所以 BC AD
1 【答案】 3
5.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,

PB 1 PC 1 BC = , = 若 PA 2 PD 3 ,则 AD 的值为

.

【命题立意 】考查三角形的相似性质的应用. 【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化. 【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP 相似,

PC PB BC PC PB PB 1 PC 1 ? ? ? = , = 所以 AD AP PD ,由 AP PD 及已知条件 PA 2 PD 3

BC PC PC2 2 PC 6 BC 6 ? = ? = ? ? 2 3 ? PB 3 ,又 AD PA , AD 6 . 3 可得 PB

6 【答案】 6
a 6.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= 2 ,点 E,
F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= . 【命题立意】本题主要考查平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质. 【思路点拨】利用直角梯形的性质,求出 DB ,再利用三角形中位线的性质,求出 EF . 【规范解答】连接 DE ,DB,则四边形 EBCD 为矩形,所以 DE ? AB 且

EB ? DC ?

a a AE ? EB ? 2 , ? AB ? a , ? 2 , 所 以 ?ABD 是 以 AB 为 底 的 等 腰 三 角 形 , 即 : EF ? 1 a DB ? . 2 2

D A ? D B= a , 又点 E, F 分别为线段 AB, AD 的中点, 所以 EF 为 ?ABD 的中位线, 所以
a 【答案】 2

2a 7. 如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD= 3 ,∠OAP=30°,则 CP
=______ .

【命题立意】本题考查垂径定理及相交弦定理. 【思路点拨】由垂径定理得 OP ? AB ,算出 AP ,再由相交弦定理求出 CP.

t O P中 A, 【 规 范 解 答 】 因 为 P 为 AB 的 中 点 , 由 垂 径 定 理 得 OP ? AB , 在 R ?

B P?

3 2 3 ( a)2 ? CP ? a AP ? c?ao s ?3 0 ? a 3 , 2 ,由相交弦定理得: BP ? AP ? CP ? DP ,即 2

9 CP ? a. 8 解得

9a . 【答案】 8
8. 如图所示, 过 外一点 P 作一条直线与 交于 A,B 两点.已知 PA=2, 点P到 的切线上 PT=4,

则弦 AB 的长为 . 【命题立意】以直线和圆立意,考查处理平面问题的一种方法:平面几何法. 【思路点拨】割切→切割线定理 【规范解答】∵PT=4,PA=2,PT2=PA·PB,∴PB=8,∴AB=PB-PA=6,∴弦长 AB=6. 【答案】6 【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心,切→连接切点和圆心,联想弦切角等于同弧所对的圆周角,割→切 割线定理. 9.AB 是圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点, 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C, 若 DA=DC, 求证: AB=2BC. 【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力. 【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明即可. 【规范解答】 方法一:连结 OD,则 OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB =BC=OD=OA,所以 AB=2BC. 方法二:连结 OD,BD. 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB. 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900. 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO. 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC. 故 AB=2BC.

10.如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E (1)证明: ?ABE

?ADC

(2)若 ?ABC 的面积

S?

1 AD ? AE 2 ,求 ?BAC 的大小.

【命题立意】本题考查了几何证明、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三 角形的面积公式等. 【思路点拨】 (1)先求出 相等的两角,再证相似. (2)先由三角形相似,得到 AB·AC=AD·AE,再比较三角形的面积公式,得到 sin∠BAC, 进而求出∠BAC. 【规范解答】 (1)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD

(I)由已知条件,可得?BAE=?CAD

因为?AEB与?ACB是同弧上的圆周角, 所以?AEB=?ACD
所以△ABE∽△ADC

(2)因为△ABE∽△ADC

AB AD = ,即AB ? AC=AD ? AE, AE AC 1 1 又S= AB ? ACsin ?BAC , 且S= AD ? AE, 2 2 所以AB ? ACsin ?BAC=AD ? AE, 所以 所以 sin ?BAC ? 1, 又?BAC为三角形的内角, 所以?BAC=90o。
11.如图,已知圆上的弧 AC ? BD , 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (1) ?ACE = ?BCD . (2) BC =BE ? CD. 【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识. 【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等,判断出三角形相似,然后证明问题. 【规范解答】 (1)因为 AC ? BD ,所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC 所以 ?ACE ? ?BCD . (2)因为 ?ECB ? ?CDB , ?EBC ? ?BCD ,
2

?

?

?

?

BC CD ? 所以 ? BDC ?? ECB ,故 BE BC .
即 BC =BE ? CD.
2


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