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二次函数与一元二次方程应用题综合专题及典例剖析



个性化辅导教案
教学内容

本次课教学安排:
1、掌握一元二次方程应用题的步骤与方法 2、掌握二次函数应用题的步骤与方法

内容详解:

二次函数与一元二次方程的应用题专练

一、一元二次方程的应用题 1. (2010 年长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售

,由于国务院有关房地产的新政策出台后, 购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米 4050 元的均价开盘 销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择: ①打 9.8 折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月 1.5 元.请问哪种方案更优惠?

2. (2010 年成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居 民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007 年底全市汽车拥有量为 180 万辆,而截止到 2009 年底,全市的汽车 拥有量已达 216 万辆. (1)求 2007 年底至 2009 年底该市汽车拥有量的年平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到 2011 年底全市汽车拥有量不 超过 231.96 万辆;另据估计,从 2010 年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%.假定每 年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.

3.如图所示,某幼儿园有一道长为 16 米的墙,计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个矩形草坪 (1)围城面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长. (2)设草坪 BC 边长为 X 与矩形 ABCD 面积为 S 存在的函数关系式(并写出自变 量 X 的取值范围) A (3)当矩形 BC 为多少米时 矩形的面积有最大值,最大值是多少

16 米 D

草坪
B
第 21 题图

C

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4.(2010 山东烟台)去冬今春,我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾,解放军某部接到了限期打 30 口水井大的作业 任务,部队官兵到达灾区后,目睹灾情心急如焚,他们增派机械车辆,争分夺秒,每天比原计划多打 3 口井,结果提 前 5 天完成任务,求原计划每天打多少口井?

5.(2010·浙江温州)23.(本题 l2 分)在日常生活中,我们经常有目的地收集数据,分析数据,作出预测. (1)下图是小芳家 2009 年全年月用电量的条形统计图。

根据图中提供的信息,回答下列问题: ①2009 年小芳家月用电量最小的是 月,四个季度中用电量最大的是第 季度; ②求 2009 年 5 月至 6 月用电量的月增长率; (2)今年小芳家添置了新电器.已知今年 5 月份的用电量是 120 千瓦时,根据 2009 年 5 月至 7 月用电量的增长趋势, 预计今年 7 月份的用电量将达到 240 千瓦时.假设今年 5 月至 6 月用电量月增长率是 6 月至 7 月用电量月增长率的 1.5 倍,预计小芳家今年 6 月份的用电量是多少千瓦时?

6.. (2011 山东日照,20,8 分) 为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度. 2011 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米,预计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租 房,若在这两年内每年投资的增长率相同. (1)求每年市政府投资的增长率; (2)若这两年内的建设成本不变,求到 2012 年底共建设了多少万平方米廉租房.

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7. 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价 a 元, 则可卖出 (350-10a) 件,但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%,商店计划要盈利 400 元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?

8. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图 1 对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水 湾风景区旅游? 如果人数超过 25 人, 每增加 1 人, 人均旅游费用降低 20 元, 但人均 旅游费用不得低于 700 元.

如果人数不超过 25 人,人 均旅游费用为 1000 元.

图1

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二、二次函数的应用题 1.(03 吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m 时,水面 CD 的宽 是 10m. (1)求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 280km(桥长忽略不计). 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地,当行驶 1 小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位 以每小时 0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆 通行). 试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安 全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

2. (03 辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次 函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系). (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元? .

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一元二次方程的应用
(一)传播问题(比赛问题)
1.有一人患了流感,经过两轮传 共有 121 人患了流感,每轮传染中平 个人传染了几个人? 染 后 均 一

2.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡 72 张,这个小组共有多少人?

(二)平均增长(下降)率问题

变化前数量× (1 ? x) =变化后数量

n

1.青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 公斤,2003 年平均每公顷产 8450 公斤,求水稻每公顷产量的年平 均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的 90 元降到了 40 元,求平均每次降价率是多少?

3.某种商品,原价 50 元,受金融危机影响,1 月份降价 10%,从 2 月份开始涨价,3 月份的售价为 64.8 元,求 2、 3 月份价格的平均增长率。

(三)商品销售问题
售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额 1.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发现,在进货价不 变的情况下,若每千克涨价 3 元,日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到 实惠,那么每千克应涨价多少元?

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2.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了迎接“六一”儿童节,商场决 定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均 每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元?

3.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克。为了 促销,该经营户决定降价销售。经调查发现,这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克,每天可多售出 40 千克。另外,每天 的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利 200 元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

4.某商店购进一种商品,进价 30 元.试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 X(元)满足关系: P=100-2X 销售量 P,若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售 出这种商品多少件?

(四)面积问题

判断清楚要设什么是关键 1、 一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是 24cm2,求两条直角边的长。

2.一个直角三角形的两条直角边相差 5 ㎝,面积是 7 ㎝ ,求斜边的长。

2

3..如图,在长为 10cm,宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的正方形,使 形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%,求所截去的小正方形的边长。

得留下的图

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行程问题:1、A、B 两地相距 82km,甲骑车由 A 向 B 驶去,9 分钟后,乙骑自行车由 B 出发以每小时比甲快 2km 的速度向 A 驶去,两人在相距 B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

2、甲、乙二人分别从相距 20 千米的 A、B 两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变, 甲每小时比原来多走 1 千米,结果甲到达 B 地后乙还需 30 分钟才能到达 A 地,求乙每小时走多少千米.

工程问题:1、某公司需在一个月(31 天)内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做,12 天可完 成;如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用 10 天完成. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数. ( 2) 如果请甲工程队施工, 公司每日需付费用 2000 元; 如果请乙队施工, 公司每日需付费用 1400 元. 在规定时间内: A. 请 甲队单独完成此项工程出.B 请乙队单独完成此项工程;C.请甲、乙两队合作完成此项工程.以上三种方案哪一种 花钱最少?

二次函数应用题
1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根 据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?

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2、某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出,平均每天能售出 8 台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施, 商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台. (1)假设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请写出 y 与 x 之间的函数表达式; (不要求 写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

4.体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线 y ? ? 系式回答: ⑴ 该同学的出手最大高度是多少? ⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少? ⑶ 该同学的成绩是多少?

1 2 2 5 x ? x ? 的一部分,根据关 12 3 3

3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如 图所示的矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米.矩形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) . (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.

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5、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销 发现,销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y ? kx ? b ,且 x ? 65 时, y ? 55 ; x ? 75 时, y ? 45 . (1)求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最 大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.

8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查 发现这种水产品的每千克售价 y1 (元)与销售月份 x (月)满足关系式 y ? ?

3 x ? 36 ,而其每千克成本 y2 (元)与 8

销售月份 x (月)满足的函数关系如图所示. (1)试确定 b、c 的值; (2)求出这种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份 x (月)之间的函数关系式; (3) “五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? y2(元)
y2 ? 1 2 x ? bx ? c 8

25 24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x(月) 第 8 题图

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二次函数应用题答案
1、解:(1) (130-100)×80=2400(元) (2)设应将售价定为 x 元,则销售利润 y ? ( x ? 100)(80 ?

130 ? x ? 20) 5

? ?4 x2 ? 1000 x ? 60000 ? ?4( x ?125)2 ? 2500 .
当 x ? 125 时, y 有最大值 2500. ∴应将售价定为 125 元,最大销售利润是 2500 元. 2、解: (1) y ? (2400 ? 2000 ? x) ? 8 ? 4 ? (2)由题意,得 ?

? ?

2 2 x ? ? ,即 y ? ? 25 x ? 24 x ? 3200 . 50 ?

2 2 x ? 24 x ? 3200 ? 4800 .整理,得 x2 ? 300 x ? 20000 ? 0 . 25

得 x1 ? 100,x2 ? 200 .要使百姓得到实惠,取 x ? 200 .所以,每台冰箱应降价 200 元. (3)对于 y ? ?

2 2 x ? 24 x ? 3200 ,当 x ? ? 25

24 ? 150 时, ? 2 ? 2?? ? ? ? 25 ?

150 ? ? y最大值 ? (2400 ? 2000 ? 150) ? 8 ? 4 ? ? ? 250 ? 20 ? 5000 . 50 ? ?
所以,每台冰箱的售价降价 150 元时,商场的利润最大,最大利润是 5000 元. 3、

4、解: (1)设 p 与 x 的函数关系为 p ? kx ? b(k ? 0) ,根据题意,得

?k ? b ? 3.9, ?k ? 0.1, 解得 ? 所以, p ? 0.1x ? 3.8 . ? ?5k ? b ? 4.3. ?b ? 3.8.
设月销售金额为 w 万元,则 w ? py ? (0.1x ? 3.8)(?50 x ? 2600) .
2 化简,得 w ? ?5x ? 70 x ? 9800 ,所以, w ? ?5( x ? 7) ? 10125 .
2

当 x ? 7 时, w 取得最大值,最大值为 10125.

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答:该品牌电视机在去年 7 月份销往农村的销售金额最大,最大是 10125 万元. (2)去年 12 月份每台的售价为 ?50 ?12 ? 2600 ? 2000 (元) , 去年 12 月份的销售量为 0.1?12 ? 3.8 ? 5 (万台) , 根据题意,得 2000(1 ? m%) ? [5(1 ? 1.5m%) ? 1.5] ?13% ? 3 ? 936 . 令 m% ? t ,原方程可化为 7.5t ? 14t ? 5.3 ? 0 .
2

14 ? (?14)2 ? 4 ? 7.5 ? 5.3 14 ? 37 .?t1 ≈ 0.528 , t2 ≈1.339 (舍去) ?t ? ? 2 ? 7.5 15
答: m 的值约为 52.8. 5、解: (1)根据题意得 ?

?65k ? b ? 55, 解得 k ? ?1,b ? 120 . ?75k ? b ? 45.

所求一次函数的表达式为 y ? ? x ? 120 .

(? x ? 120) ? ? x ? 180 x ? 7200 ? ?( x ? 90)2 ? 900 , (2) W ? ( x ? 60)?
2

? 抛物线的开口向下,? 当 x ? 90 时, W 随 x 的增大而增大,而 60 ≤ x ≤ 87 , ? 当 x ? 87 时, W ? ?(87 ? 90)2 ? 900 ? 891.

? 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元.
2 (3)由 W ? 500 ,得 500 ? ? x ? 180 x ? 7200 ,

整理得, x ? 180 x ? 7700 ? 0 ,解得, x1 ? 70,x2 ? 110 .
2

由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而 60 ≤ x ≤ 87 ,所以,销售 单价 x 的范围是 70 ≤ x ≤ 87 .

1 7 ? ? 25 ? ? 32 ? 3b ? c b ? ?1 ? ? ? ? 8 8 8、解: (1)由题意: ? 解得 ? ?24 ? 1 ? 42 ? 4b ? c ?c ? 29 1 ? ? 8 ? 2 ?
(2) y ? y1 ? y2 ? ? (3) y ? ? ∵a ? ?

1 3 1 3 15 1? ?1 x ? 36 ? ? x 2 ? x ? 29 ? ? ? x 2 ? x ? 6 ; 8 2 2 8 8 2? ?8

1 2 3 1 1 1 1 1 x ? x ? 6 ? ? ( x 2 ? 12 x ? 36) ? 4 ? 6 ? ? ( x ? 6) 2 ? 11 8 2 2 8 8 2 2

1 ? 0 ,∴抛物线开口向下.在对称轴 x ? 6 左侧 y 随 x 的增大而增大. 8 由题意 x ? 5 ,所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大. 1 1 2 最大利润 ? ? (4 ? 6) ? 11 ? 10 (元) . 8 2

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