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§2.6.1数列的求和(一)



§2.6.1数列的求和(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.6.1数列的求和(一)

教学目标:
1.掌握杂数列的求和思路与方法. 2.会用等差数列与等比数列的前n项和公式解决 有关数列求和的一些简单问题

教学重、难点:
灵活应用与数列有

关的公式解决有关问题

2013-1-20

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

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§2.6.1数列的求和(一)

一、复习提问:
1.等差数列的前n项和公式:
n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2
n(n ? 1) n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d ? nan ? d 2 2 d 2 d 公式3 Sn ? n ? (a1 ? )n ? an 2 ? bn 2 2

2013-1-20

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§2.6.1数列的求和(一)

2.等比数列的前n项和公式:
? na1 ? (1) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? ?na1 ? (2) Sn ? ? a1 ? an q ? 1? q ?

( q ? 1) ( q ? 1)

(q ? 1) (q ? 1)

(3)对含字母的题目一般要分别考虑q=1和 q≠1两种情况。

2013-1-20

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§2.6.1数列的求和(一)

3.特殊数列求和--常用数列的前n项和:

n(n ? 1) (1)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 2

(2)1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ?1) ? n
2 2 2 2

2

n(n ? 1)(2n ? 1) (3)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 6 n(n ? 1) 2 3 3 3 3 (4)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? [ ] 2
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§2.6.1数列的求和(一)

求和:12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 解:(k ? 1)3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ?1
令 k ? 1, 2,3,?, n

23 ?13 ? 3?12 ? 3?1 ? 1,
33 ? 23 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1,

43 ? 33 ? 3? 32 ? 3? 3 ? 1,

(n ? 1)3 ? n3 ? 3? n2 ? 3? n ? 1, 把以上式子得两边分别相加,得
(n ? 1)3 ? 13 ? 3(12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ) ?3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n ?1 所以 12 ? 22 ? 32 ? ? n 2 ? 1 n( n ? 1)(2n ? 1) 6 2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

? ?

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1.公式法:
即直接用有求和公式,求列的前n和Sn
Sn ①等差数列的前n项和公式: ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

②等比数列的前n项和公式 ③
1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2
2 2 2 2

1 ④ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6



? n(n ? 1) ? 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? 2 ? ?

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§2.6.1数列的求和(一)

例1:若实数a,b满足: a 2 ? 9b2 ? 4a ? 6b ? 2 ? 0 4 求: ? a 2b ? a3b2 ? ? ? a100b99 a 分析:通过观察,看出所求得数列实际上就是 等比数列其首项为a,公比为ab,因此由题设 求出a,b,再用等比数列前n项和公式求和.

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§2.6.1数列的求和(一)

例1:若实数a,b满足: a ? 9b ? 4a ? 6b ? 2 ? 0 4 2 3 2 100 99 求: ? a b ? a b ? ? ? a b a (4a2 ? 4a ?1) ? (9a2 ? 6b ?1) ? 0 解:由已知可得: 2 2 即:(2a-1)? (3b ?1) ? 0 1 ?
2 2

?2a ? 1 ? 0 ?? ?3b ? 1 ? 0
3 2

?a ? a b ? a b ??? a b
2

?a ? 2 ? 解得: ? ?b ? 1 ? 3 ?
100 99

?

a ?1 ? (ab) ? 1 ? ab

100

1? 1 100 ? ? ?1 ? ( 6 ) ? 3 ? 2? ? ? [1 ? ( 1 )100 ] ? 1 5 6 1? 6
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§2.6.1数列的求和(一)

例2.Sn=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2). 解: 因为n(n+1)(n+2)=n3+3n2+2n,则 Sn=13+3×12+2×1+23+3×22+2×2+…n3+3n2+2n =(13+23…+n3)+3(12+22+…+n2)+2(1+2+…+n)
? n(n ? 1) ? ?3 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ?2 ? 1 n( n ? 1) ?? 2 6 2 ? ? ?
2

n(n ? 1) ? ? n(n ? 1) ? 2(2n ? 1) ? 4? 4 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 4
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§2.6.1数列的求和(一)

2.分组求和法:
若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn 的形式, 且数列{bn}、{cn}可求出前n项和Sb、Sc 则:

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§2.6.1数列的求和(一)

例3.求下列数列的前n项和

1 1 1 1 (1) 2 , 4 , 6 ,? , 2n ? n ?1 4 8 16 2

1 2 2 1 2 1 2 n (2) ( x ? ) , ( x ? 2 ) ,? , ( x ? n ) x x x

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1 解(1):该数列的通项公式为 an ? 2n ? n ?1 2
1 1 1 1 ? Sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? (2n ? n?1 ) 4 8 16 2
1? 1? 1? 2 ? n(2 ? 2n) 4 ? 2 ? ? ? ? 1 2 1? 2
1 1 1 ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? ( ? ? ? ? n ?1 ) 4 8 2

1 1 ? n(n ? 1) ? ? n ?1 2 2

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解(2):该数列的通项公式为

1 2 2n 1 an ? ( x ? n ) ? x ? 2 n ? 2 x x
n

1 1 1 4 2n ? Sn ? ( x ? 2 ? 2) ? ( x ? 4 ? 2) ? ? ? ( x ? 2 n ? 2) x x x 1 1 1 2 4 2n ? ( x ? x ? ? ? x ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x
2

?x ? ?1: Sn ? n ? n ? 2n ? 4n
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§2.6.1数列的求和(一)

1 1 (1 ? 2n ) 2 2n 2 x (1 ? x ) x x ?x ? ?1: Sn ? ? 2 1 1? x 1? 2 x
2n 2n? 2

( x ? 1)( x ? 1) ? ? 2n 2n 2 x ( x ? 1) ( x ? ?1) ? 4n ? 2n ? S n ? ? ( x ? 1)( x 2 n ? 2 ? 1) ? 2n( x ? ?1) 2n 2 ? x ( x ? 1) ?
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2013-1-20

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规律概括:如果一个数列的通项可分成两项之 和(或三项之和)则可用分组求和法.在本章 我们主要遇到如下两种形式的数列:

a 其一:通项公式为: n ? An ? Bq ? C
n

其二:通项公式为: an ? Ap ? Bq ? C
n n

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§2.6.1数列的求和(一)

1 1 1 1 例4.求数列 1 ? 1 , a ? 4 , a 2 ? 7 , a 3 ? 10 , ??, a n?1 ? (3n ? 2) ,??

1 解:设数列的通项公式为 an ? n ?1 ? (3n ? 2) a

的前n项和.

(1 ? 3n ? 2)n a n ? 1 (3n ? 1)n ?当a ? 1时,Sn ? a ? ? n n?1 ? 1 2 a ?a 2 1? a 2013-1-20 17 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com
n

1 1 1 ? Sn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 2)] a a a 2 (1 ? 3n ? 2)n 3n ? n ?当a ? 1时,Sn ? n ? ? 2 2 1
1?

§2.6.1数列的求和(一)

小结:
即直接用有求和公式,求列的前n和S 1.公式法:
S ①等差数列的前n项和公式: n ?
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
n

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

②等比数列的前n项和公式 ③ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)
2
2 2 2 2

1 ④ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6
? n(n ? 1) ? 3 3 3 3 ⑤ 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? 2 ? ?
2013-1-20

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§2.6.1数列的求和(一)

2.分组求和法:
若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn 的形式, 且数列{bn}、{cn}可求出前n项和Sb、Sc 则:

a 其一:通项公式为: n ? An ? Bq ? C
n

其二:通项公式为: an ? Ap ? Bq ? C
n n
2013-1-20 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 19

§2.6.1数列的求和(一)

书面作业
求下列数列的前n项和

(1)Sn ? 1 ? (1? 2) ? (1? 2 ? 3) ? ? ? (1? 2 ? 3 ? ? ? n ) (2)Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) 1 1 1 1 (3).S n ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? [(3n ? 2) ? n ] 2 4 8 2

(4)Sn ? 1? (1? a) ? (1? a ? a ) ??? (1? a ? a ??? a )
2 2

n?1

2013-1-20

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