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【新课标通用】2014届高考文数二轮复习方案专题课件第3讲 不等式与线性规划


核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第3讲 不等式与线性规划

第3讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
1. [2013· 江西卷改编] 使不等 1 2① 式 x< x<x 成立的 x 的取值范围是 ________. [答案] (-∞,-1)
x2-1 1 [解析] x-x <0? x <0?x<-1 或 1 2 0<x<1,x -x>0?x<0 或 x>1,求交集得 x<-1.

——主干知识 ——
? 不等式的 基本性质 关键词:可加性、 可乘性、传递性, 如①②.

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第3讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
2 . [2013· 徽 卷 ] 函 数 y = 安 ? 1? ② ln ?1+x ? + 1-x2 的 定 义 域 为 ? ? ________.
[答案] (0,1]

1 [解析] 实数 x 满足 1+x >0 且 1-x2 x+1 1 ≥0.不等式 1+x >0, x >0, 即 解得 x>0 或 x<-1;不等式 1-x2≥0 的解集为- 1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0,1].
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第3讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
3.[2013· 重庆卷改编] 关于 x 的 不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0) 的解 集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a= ________. 5 [答案] 2


——主干知识 ——
? 不等式的 解法 关键词:一元二次 不等式、一元二次 不等式的解集形 式,如③.

[解析] 由条件知 x1, 2 为方程 x2 x -2ax-8a2=0 的两根,则 x1+x2= 2a,x1x2=-8a2,(x2-x1)2=(x1+x2)2 -4x1x2 =(2a)2 -4×(-8a2)=36a2 = 5 2 15 ,解得 a=2.
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第3讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
4 . [2013· 建 卷 改 编 ] 若 福 2x+2y=1③ ,则 x+y 的取值范围 是________.
[答案] (-∞,-2]

——主干知识 ——
? 基本不等 式 关键词: 一正、 二定、三相等,如 ④.

[解析] 1=2x+2y≥2


2x y?2x y≤





2 2?x+y≤-2,当且仅当 x=y=-1 时等号成立.

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核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
5.[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设 x,y 满足约束条件


——主干知识 ——
? 线性规划 问题 关键词: 约束条件、 可行域、 目标函数、 最优解,如⑤.

?1≤x≤3, ? ? ?-1≤x-y≤0, ?



z=2x-y 的最大值为________. [答案] 3

[解析] 点(x,y)在由平行线 x=1,x =3 与平行线 x-y=-1,x-y=0 围成 的平行四边形区域内(包含边界),区域 的四个顶点坐标分别为(1,2),(1,1), (3,4),(3,3),分别代入得 z=0,1,2, 3,所以 z=2x-y 的最大值为 3.
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第3讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

—— 体验高考 ——
6.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 若 存在正数x使2x(x-a)<1成立⑤ , a 则 的取值范围是________.
[答案] (-1,+∞)

——主干知识 ——
? 含参不等 式 关键词:恒成立、 能成立,如⑥.

[解析] 由题意知存在正数 x 使得 1 1 a>x- x成立,即 a>(x- x)min.由于 2 2 1 1 x-2x是(0, +∞)上的增函数, x-2x>0 故 1 -20=-1,所以 a>-1.
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第3讲

不等式与线性规划

—— 基础知识必备 ——

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第3讲

不等式与线性规划

? 考向一 与不等式解法有关的问题 考向:集合中的解不等式、一元二次不等式的应用. 例1 (1) 函 数 f(x) = lg(x2 + 3x - 4) 的 定 义 域 为 ________.
命 题 考 向 探 究

(2)集合 M={x|x2-5x+6>0,x∈R},N={x|0<x<5}, 则 M∩N=( ) A.(2,3) B.(0,2) C.(3,5) D.(0,2)∪(3,5)

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不等式与线性规划

[答案]

(1)(-∞,-4)∪(1,+∞)

(2)D

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)由题意可知 x2+3x-4>0,解得 x<-4 或 x>1,所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞). (2)解不等式 x2-5x+6>0 得 x<2 或 x>3,所以 M∩N =(0,2)∪(3,5).

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第3讲

不等式与线性规划

小结:函数的定义域、集合的运算是解不等式的“常 客”,在正确解答不等式的基础上,才能进一步对函数的 定义域、集合的交集运算的结果作出准确的判断.解不等
命 题 考 向 探 究

式问题是基于不等式的基本性质进行考查的,这类问题涉 及多条性质的选用,如 a>b,c>0?ac>bc,a>b>0,c>d>0 ?ac>bd 等.此外要熟记一元二次不等式的求解公式,尤其 对于含参数的不等式要注意分类讨论.

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第3讲

不等式与线性规划

变式题 (1)集合

? ? ? 1 P=?x?x+x ≤2?,集合 ? ? ?

Q={x|x2+2x

-3≥0},则 P∩Q=________.
命 题 考 向 探 究

(2)设全集 U=R, 集合 A={x|x2-2x<0}, B={x|x>1}, 则集合 A∩(?UB)=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<2} D.{x|x≤1}

[答案] (1)(-∞,-3]∪{1}

(2)B

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)Q=(-∞,-3]∪[1,+∞),P= ? ? ? 1 ?x?x+ ≤2?=(-∞, 0)∪{1}, 所以 P∩Q=(-∞, x ? ? ? -3]∪{1}. (2)A = {x|x2 - 2x<0} = {x|0<x<2} , ?UB = {x|x≤1},所以 A∩(?UB)={x|0<x≤1}.

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第3讲

不等式与线性规划

? 考向二 简单的线性规划问题 考向:目标函数取值范围、目标函数参数确定、约束 条件参数确定.
命 题 考 向 探 究

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

例 2 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件 ?x-y+1≥0, ? ?x+y-1≥0,则 z=2x-3y 的最小值是( ) ?x≤3, ? A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 ?x≥0, ? (2)已知 x,y 满足条件?y≤x, (k 为常数),若目标 ?2x+y+k≤0 ? 函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( ) A.-16 B.-6 8 C.- D.6 3
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第3讲

不等式与线性规划

[答案] (1)B

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)画出可行域,如图中△ABC 所示,易得 2 A(3,-2),B(3,4),C(0,1),作出直线 y= x,平 3 移易知直线过 B 点时在 y 轴上的截距最大,此时 z 最 小.故选 B.

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

?x≥0, ? 1 z (2)由 z=x+3y 得 y=-3x+3.先作出? 表示 ?y≤x ? 的区域,因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2),代 入直线 2x+y+k=0,得 k=-6.

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第3讲

不等式与线性规划

小结:线性规划是高考热点之一,考查内容为求最优 解、最值、可行域面积等.一般通过画出可行域、移线、 数形结合等方法解答,有时还与向量、概率、实际问题相
命 题 考 向 探 究

结合,命题背景多,但难度不大,通过转化为熟悉的问题 来解决.线性规划问题一般由求最值、求区域面积、确定 目标函数字母系数的取值等几种类型构成,解决的过程是 先找到可行域,理解目标函数所表示的几何意义,再利用 数形结合找到目标函数的最优解,此外对于应用问题,还 要准确设出变量,并确定可行域和目标函数.

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第3讲

不等式与线性规划

?y≥1, ? 变式题 (1)若实数 x, 满足?y≤2x-1,则目标函数 z y ?x+y≤8, ? =x-y 的最小值为________.
命 题 考 向 探 究

?x+2y-4≤0, ? y+2 (2)若实数 x,y 满足?x≥0, 则 z= 的取值 x-1 ?y≥0, ? 范围为( ) ?2 ? ?2 ? A. (-∞, -4]∪?3,+∞? B. (-∞, -2]∪?3,+∞? ? ? ? ? ? ? 2? 2? C.?-2,3? D.?-4,3? ? ? ? ?
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第3讲

不等式与线性规划

[答案] (1)-2

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)由 z=x-y 得 y=x-z.作出可行域,如图所 示.平移直线 y=x-z,由图像可知当直线经过点 B 时,直线 ?y=2x-1, ?x=3, ? ? ? 在 y 轴上的截距最大,此时 z 最小.由 得? ?x+y=8 ?y=5, ? ? 即 B(3,5),代入 z=x-y 得 z=-2,所以目标函数 z=x-y 的最小值为-2.

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

(2)点(x,y)所在的区域是以点 O(0,0),A(4,0),B(0, y+2 2)为顶点的三角形区域及其边界, 目标函数 z= 是区域内 x-1 的点 P(x,y)与点 Q(1,-2)连线的斜率.当点 P 与点 A 重合 时,PQ 的斜率为正值,且随点 P 的移动逐渐增大,此时 kQA -2-0 2 2 = =3,即 z≥3;当点 P 与点 O 重合时,PQ 的斜率 1-4 -2 为负值, 且随点 P 的变化逐渐减小, QO= 1 =-2, k 此时 z≤ ?2 ? y+2 -2.所以 z= 的取值范围为(-∞,-2]∪?3,+∞?. ? ? x-1

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

? 考向三 基本不等式的应用 考向:利用基本不等式求函数的最值、与解析几何有 关的最值. a 例 3 (1)[2013· 四川卷] 已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0) 在 x=3 时取得最小值,则 a=________. (2)[2013· 福建卷] 若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 ( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

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第3讲

不等式与线性规划

[答案]

(1)36

(2)D

命 题 考 向 探 究

a [解析] (1)由基本不等式的性质可知,f(x)=4x+ x(x>0, a a a>0)在 4x=x ,即 x2=4时取得最小值,由于 x>0,a>0, a 再根据已知可得4=32,故 a=36. + + - (2)1=2x+2y≥2 2x y?2x y≤2 2?x+y≤-2,当且 仅当 x=y=-1 时,等号成立,故选 D.

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第3讲

不等式与线性规划

方法指导

4.结构调整与应用基本不等式

基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据 已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研
命 题 考 向 探 究

究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有 b b 1.x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a a b 2 . 若 x + y = 1 , 则 mx + ny = (mx + ny)×1 = (mx + ?a b? ? ny)·x +y ?≥ma+nb+2 abmn(字母均为正数). ? ? 3.如果题目涉及多个元的问题,需要根据条件逐步“减 元”,以达到使用之目的.
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第3讲

不等式与线性规划

小结:在使用基本不等式时,一定要关注等号成立的 条件,在此基础上再确定是否能取到最值.利用基本不等
命 题 考 向 探 究

式解答最值问题时,还要注意两数的和为定值还是积为定 值,必要时还要进行适当变形.对于基本不等式的运用, 要关注“一正、二定、三相等”,要从题目中挖掘出有关 基本不等式的结构.对于不等式的恒成立问题,可以通过 分离参数的方法来求解,并且分离出的式子可以借助基本 不等式来简化最值求解过程.

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第3讲

不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

2 1 变式题 (1)若两个正实数 x,y 满足 x+ y=1,并且 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) (2)若实数 x,y 满足-1<x+y<4,且 2<x-y<3,则 p =2x-3y 的取值范围是________.

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第3讲

不等式与线性规划

[答案] (1) D

(2)(3,8)

命 题 考 向 探 究

2 1 4y x [解析] (1)x+2y=(x+2y)x +y =2+ x +y+2≥8,当 4y x 且仅当 x =y,即 4y2=x2 时等号成立.由 x+2y>m2+2m 恒成立,可知 m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2. (2)画出条件-1<x+y<4 和 2<x-y<3 表示的可行域, 由可行域知 p=2x-3y 的取值范围是(3,8).

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第3讲

不等式与线性规划

—— 运算求解能力——
[运算的合理性与转化思想的体现] 运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变 形和数据处理,还要求能根据问题的条件寻找合理的简 捷的运算途径,这也是在实施运算过程中遇到障碍而调
命 题 立 意 追 溯

整运算能力的具体表现.

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第3讲

不等式与线性规划

?x-y-2≤0, ? x2+y2 示例 设实数 x, 满足?x+2y-5≥0,则 u= xy 的 y ?y-2≤0, ? 取值范围是________.

命 题 立 意 追 溯
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第3讲

不等式与线性规划
? 10? ?2, ? 3? ?

[答案]

[解析] 画出的可行域为点(1,2),(3,1),(4,2)形 x2+y2 x y-0 成的三角形,u= xy =y+ , x-0
?1 ? ?1 ? 1 y 设 k=x, k∈?3,2?, 则 所以 u=k+k 在 k∈?3,2?时, ? ? ? ?

命 题 立 意 追 溯

x2+y2 1 10 umin =2,umax =3+ 3= 3 .所以 u= xy 的取值范围是 ? 10? ?2, ?. 3? ?
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第3讲

不等式与线性规划

x2+y2 小结:形如 u= xy 的式子在可行域确定的前提下 需要进行适当转化,化为具有几何意义的算式,如直线 的斜率、点到直线的距离等,从而求得相应的取值范围.
命 题 立 意 追 溯
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不等式与线性规划

命 题 立 意 追 溯

?2x+y-2≥0, ? 跟踪练 设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0,则 ?x-1≤0, ? x+y+3 z= 的最大值为( ) x+3 3 2 A.4 B.3 5 13 C.3 D. 8

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第3讲

不等式与线性规划

[答案] C

5 [解析] 可行域为点(0,2),(1,0),1,2形成的三角 x+y+3 y-0 形,z= =1+ , 所 以 zmax = 1 + x+3 x-(-3) 2-0 5 = . 0-(-3) 3

命 题 立 意 追 溯

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第3讲

不等式与线性规划

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为函数、方程、不等式的综合问题, 指数函数的性质和对数函数的性质的应用均有不等式的 性质参与,是考查不等式性质的一道好题,但难度较大, 因此作为考向三的备用题目.例 2 为线性规划问题,该题 一反常态,取得的最值也有参数,加大了问题的难度,从 能力提升角度看可作为考向三的补充用题.
例 1 已知关于 x 的取值范围是( A.(0,1)
?1 ? C.?10,1? ? ? ?1?x 1+lg 的方程?2? = ? ? 1-lg ?1 ? B.?10,10? ? ?

a 有正根, 则实数 a a

)

D.(10,+∞)
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第3讲

不等式与线性规划

[答案] C

[解析] 解 1+lg a

?1?x 1+lg 方程?2? = ? ? 1-lg

a 1+lg a 有正根,等价于 0< <1, a 1-lg a 1+lg a <1,得 lg a<0 或者 lg 1-lg a
?1 ? 的取值范围是?10,1?. ? ?

1-lg a a>1.

>0,得-1<lg a<1;解

所以-1<lg a<0,即实数 a

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第3讲

不等式与线性规划

?x-y+6≥0, ? 例 2 已知 x,y 满足?x+y≥0, 若 z=ax+y 的最大 ?x≤3, ? 值为 3a+9,最小值为 3a-3,则 a 的范围为( ) A.a≥1 B.a≤-1 C.-1≤a≤1 D.a≥1 或 a≤-1

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第3讲

不等式与线性规划

[答案]

C

[解析] 已知不等式组表示的平面区域是一个三 角形及其内部,其顶点坐标分别为(-3,3),(3,-3), (3, 根据已知得不等式组 3a-3≤-3a+3≤3a+9, 9). 解得-1≤a≤1,即-1≤a≤1.

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