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高中数学



数列经典解题思路
求通项公式 一、观察法 例:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1) 9,99,999 ,9999 ,? 二、公式法 例 1. 等差数列 {an }是递减数列,且 a2 (2)1

1 4 9 16 2 1 2 ,2 ,3 ,4 ,? (3)1, , , ,? 2 5 10 17 3 2 5

? a

3 ? a4 ? 8 , a2 ? a3 ? a4 ? 48,则数列的通 an ? ?2n ? 12
(D)

项公式是( ) (A)

an ? 2n ? 12

(B)

an ? 2n ? 4

(C)

an ? ?2n ? 10

例 2.

已知等比数列 {an }的首项 a1

? 1,公比 0<q<1,设数列{bn } 的通项为

bn ?an ?1?an ? 2 ,求数列{bn }的通项公式。
三、叠加法 例 1:已知数列 6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。

例 2.

若在数列 {an }中, a1

? 3, an ?1 ? an ? n ,求通项 an 。

四、叠乘法 例:在数列 {an }中, a1

? 1, (n ? 1)an ?1 ? nan ,求 an 的表达式。
( n ≥2)

五、Sn 法利用 an

? Sn ? Sn ?1

例:已知下列两数列 {an }的前 n 项和 S n 的公式,求{an }的通项公式。 (1) S n

? n3 ? n ? 1 。 (2) S n ? n 2 ? 1

1

数列求和方法: 1.公式法: 等差数列求和公式:

Sn ? n(a1 ? an ) / 2 ? na1 ? n(n ? 1)d / 2
等比数列求和公式:

S n ? na1 (q ? 1) S n ? a1 (1 ? q n ) /(1 ? q) ? (a1 ? an ? q) /(1 ? q) (q ? 1)
2.错位相减法 适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 3.倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个( a1 ? an )

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1 前后相加得到 2Sn ,即 Sn ? n(a1 ? an ) / 2

4.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如: an ? 2 n ? n ? 1 5.裂项法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即 an ? f (n ? 1) ? f (n) , 然后累加时抵消中间的许多项。 [例] 求数列

an ?

1 n(n ? 1) 的前 n 项和.

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。 只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。2 余下的项前后的正 负性是相反的。 7.通项化归 先将通项公式进行化简,再进行求和。如:求数列 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前 n 项和。此时先将 an 求出,再利用分组等方法求和。 8.并项求和: 例:1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 方法一: (并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。 方法二: (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ? ? ? [(2n ? 1) ? 2n]

2

高考例题 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 2 , a2 =1,则 a1 =( ) A.
1 2

B.

2 2

C.

2

D.2 ,且 a5 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时, C. n 2 ,则 D.7 D. (n ? 1) 2 等于 ( )

2.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? log 2 a2 n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 3.已知 为等差数列, A. -1 B. 1 C. 3

4.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于【 A.13 B.35 C.49 】

D. 63

6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( ) A.1 B
5 3

C.- 2

D 3

7.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= 1 1 (A)-2 (B)- (C) (D)2 2 2 8.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn (A) 2 (B)
7 3

,若
8 3

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

(C)

(D)3

9.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s4 = (A)7 (B)8 (C)15 (D)16

10.等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
5 ?1 },[ 5 ? 1 ], 5 ? 1 2 2 2

11.设 x ? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 {
3

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

12.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = ( ) n 7n A. ? 4 4
2

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n 2 ? n

13.已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, 以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18

二、填空题 1.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =
1 S 2.设等比数列 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4

。 . ; 前 8 项的和 S8 ?

3.若数列 {an } 满足: 则 a5 ? a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) , (用数字作答) 4.在等差数列 {a n } 中, a3 ? 7, a5 ? a 2 ? 6 ,则 a6 ? ____________ . 5.设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。若 a1 ? 1, s 6 ? 4 s3 ,则 a 4 = 6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则
S9 ? S5

.

.

7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 8.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ? 9.等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an? 2 ? an ?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和

S4 =

.

4

解 析
一 观察法 (1) a
n

? 10n ? 1

(2) a

n

?n?n

2

1? n

2

(3) a

n

?

2 n ?1

二 公式法 D 三 叠加法

bn ? q(q ? 1) ? q n ?1 ? q n (q ? 1)
注:当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首 项及公差公比。

an ? 3 ?
四 叠乘法

n(n ? 1) 2

an ? 1 / n
点评:一般地,对于型如 a n ?1 = f (n)·a n 类的通项公式,当 宜采用此方法。 五
f (1) ? f (2) ? ? f (n) 的值可以求得时,

S n 算法

?0 an ? ? 2 ?2 n ? 1 ∴ a n =3 n ? 3n ? 2 为所求数列的通项公式。

(n ? 1) (n ? 2)

点评:要先分 n=1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。 六 高考例题解析(选择题) 1.【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q 2 ? a1q8 ? 2 ? a1q 4 ? ,即 q 2 ? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为
2

正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ? 2.【解析】由 a5 ? a2 n ?5

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2 2 ? 22 n (n ? 3) 得 a n ? 2 2 n , a n ? 0 ,则 a n ? 2 n , log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? ? ?

log 2 a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.

3.【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 56 2 4.【解析】由 a4 d ? 32 得 ? a3 a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ? 2 90 选C 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ? d ? 60 ,. 2 7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) 5.【解析】 S7 ? ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2 ?a ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) 或由 ? 2 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. 所以 S7 ? ?? 1 ? ? 49. 故选 2 2 ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 C.
5

3 6.【解析】∵ S3 ? 6 ? (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C . 2 1 7.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B 2 S (1 ? q 3 ) S3 8.【解析】设公比为 q ,则 6 ? =1+q3=3 ? q3=2 S3 S3

于是 9.【 解

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 . ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

【答案】B
a2





4

a1



2



a3













? 4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q 2 ? 4a1q,? q 2 ? 4q ? 4 ? 0,? q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.

10.【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 【答案】 B ? 5 ?1 5 ?1 ? 5 ? 1? ? 11.【解析】可分别求得 ? ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 ?? 2 2 2 ? ? ? ? 数列【答案】B 1 12.【解析】设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得 d ? 或 d ? 0 2 2 n(n ? 1) 1 n 7n (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 【答案】A ? ? ? 2 2 4 4 13.【解析】 :由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 a4 ? 33 ,
?a ? 0 ∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? n 得 n ? 20 , 【答案】B ?an ?1 ? 0 14.【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100

六 高考例题解析(填空题) 1.【解析】: ?an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8
? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .

2.答案:15 【解析】对于 s4 ?
a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

3.【解析】 a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 , 易知 S8 ?
28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1

a1 ? 2d ? 7 ? ?a ? 3 4.【解析】:设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则由已知得 ? 解得 ? 1 ,所以 ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6 答案:13. a6 ? a1 ? 5d ? 13 .

5.【解析】 :由 a1 ? 1, s 6 ? 4 s3 得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 6.【解析】 :

答案:3

?an ? 为等差数列,? S9

S5

?

9a5 ?9 5a3

7.【解析】6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】 3
1

8.【解析】:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n.
6

15 2 【解析】由 an? 2 ? an ?1 ? 6an 得:q n ?1 ? q n ? 6q n ?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 ,q ? 0 ,解得:q=2,又 a2 =1, 1 (1 ? 2 4 ) 1 15 所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2

9.【答案】

7



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