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余弦定理


问题提出

1.正弦定理的外在形式是什么?其数学 意义如何?

a b c = = = 2R sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦之比相等,都等于外接圆直径.
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探究(二):余弦定理的坐标法推导 思考:如图所示建立直角坐标系,点A, B的坐标分别是什么? 根据两点间的距离公式可得什么结论?
y A

A(bcosC,bsinC)
c
x

b
C a

B

B(a,0)

c = a + b - 2ab cosC
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探究(三):余弦定理的几何推导 思考:你能运用平面几何知识证明余弦 定理吗?
A
b

b sin C
D

c

C

b cos C

a ? CD

a 2 2 2 c ? AD ? BD
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B

思考:通过类比,a2,b2分别等于什么?

c = a + b - 2ab cosC 2 2 2 a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B
思考:上述三个等式称为余弦定理.如何 用文字语言描述余弦定理?
三角形中任何一边的平方,等于其他两边 的平方和,减去这两边与其夹角的余弦的积 的两倍.
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探究(四):余弦定理的变式

思考1:在△ABC中,若已知边a,b和角C, 如何求边c和角A,B?
A
b

c a

C

B

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思考2:已知三角形的三边a,b,c,求 三内角A,B,C,其计算公式如何?
b +c - a cos A = 2bc
2 2
2 2 2

c +a - b cos B = 2ca
2 2

2

a +b - c cosC = 2ab
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a + b -2 c 2 2 cos C = A为 钝 角? b ?c ? a 2ab ?ABC为 锐 角 三 角 形 思考3:上述三个公式是余弦定理的推论, 2 2 2 2 A是锐角、 2 如何通过三边的大小关系判断∠ ? b ?c ? a ? b ?c 直角还是钝角?
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c + a b - b? c ? a A 为 锐 角 ? cos B = 2 2 2ca 2 A为 直 角2 ?2b ? c ? a 2
2 2

b +c - a cos A = 2bc
2

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思考4:若已知边a,b和角A,能直接用 余弦定理求边c吗? A
b

c

C

a

B

思考5:结合正弦定理, 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形?
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cosC
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小结

1.余弦定理及其推论,把用“边、角、 边”和“边、边、边”判定三角形全等 的原理,从数量化的角度进行了刻画, 使其变成了可以计算的公式. 2.余弦定理的主要作用是已知两边一角 求边,或已知三边求角,所得结论是唯 一的.同时,利用余弦定理也可以实现边 角转化.
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3.余弦定理及其推论共有六个基本公式, 应用时要注意适当选取,有时可结合正 弦定理求解.

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4.在三角形的六个基本元素中,已知哪 三个元素可以解三角形? 一边两角,两边一角,三边. 5.针对上述类型,分别用哪个定理求解 为宜? 已知一边两角:正弦定理;
已知两边及夹角:余弦定理; 已知两边及对角:正弦定理;

已知三边:余弦定理.
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