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一元三次方程求根公式



一元三次方程求根公式
一元三次方程 x ? px ? q ? 0 ,根的判别式: ? ?
3

q2 p3 。 ? 4 27

当 ? >0 时,公式①:

x1 ? 3 ?

q ? 2 q ? 2

q2 p3 3 q q2 p3 ? ? ? ? ? 4 2

7 2 4 27 q2 p3 q q2 p3 2 ? ??3 ? ? ? ? 4 27 2 4 27

x2 ? 3 ?

q q2 p3 2 3 q q2 p3 ? ? ? ? ? ? ? x3 ? ? ? 2 4 27 2 4 27
3

其中, ? ?

? 1 ? 3i 2 , i ? ?1 。 2

当 ? =0 时,公式②:

x1 ? ? 2 ?

p 3

x2 ? x3 ? ?

p 3

当 ? <0 时,公式③:

x1 ? 2 ?

p ? cos 3 3

x2 ? 2 ?
? q ? 27 p 2 p2

p ? cos( ? 120 ?) 3 3

x3 ? 2 ?

p ? c o s ( ? 1 2 0) ? 3 3

其中, ? ? arccos



当 ?>0 时,方程有一个实根和一对共轭复根, 当 ? ? 0 时,方程有三个实根,其中有两个根相等, 当 ? <0 时,方程有三个不相等的实根。 对于一般的一元三次方程 ax ? bx ? cx ? d ? 0 ,等式两边同时除以三次项系数 a ,得:
3 2

x3 ?

b 2 c d b 3 再令 x ? y ? , 可以消去二次项化成 y ? px ? q ? 0 的形式, x ? x ? ? 0, a a a 3a
3ac ? b 2 2b 3 ? 9abc ? 27 a 2 d ,q ? 。 27 a 3 3a 2
3 2

其中: p ?

一元三次方程 ax ? bx ? cx ? d ? 0 根与系数的关系:

x1 + x 2 + x 3 = ?

c d b , x1 · x 2 + x1 · x 3 + x 2 · x 3 = , x1 · x 2 · x 3 = ? 。 a a a



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