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高中数学函数的单调性与最值



§2.2 函数的单调性与最值
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数

难点正本 疑点清源
1.函数的单调性是局部性质

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量 x1,x2 定 义 当 x1<x2 时, 都有 当 x1<x2 时, 都有 ,那

f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2),



函数的单调性,从 定义上看,是指函 数在定义域的某个 子区间上的单调性, 是局部的特征.在 某个区间上单调,在 整个定义域上不一 定单调.

么就说函数 f(x)在区 么就说函数 f(x)在 间 D 上是增函数 区间 D 上是减函数

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2.函数的单调区间的求法

图象 描述 自左向右看图

自左向右 看图象是

上升的 象是________
(2)单调区间的定义

下降的 ________

若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或 减函数 , 则称函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 区间D 叫 做函数 y=f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类

函数的单调区间是函数定义域 的子区间,所以求解函数的单 调区间,必须先求出函数的定 义域.对于基本初等函数的单 调区间可以直接利用已知结论 求解,如二次函数、对数函数、 指数函数等; 如果是复合函数,应根据复合 函数的单调性的判断方法,首 先判断两个简单函数的单调性, 再根据“同则增,异则减”的 法则求解函数的单调区间.

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.函数的最值
前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如 果存在实数 M 满足 (1) 对 于 任 意 (3) 对 于 任 意 x∈I,都有 x∈I,都有 f(x)≤M f(x)≥M 条件 ___________ ; ____________ ; (2)存在 x0∈I, (4) 存 在 x0∈I,
难点正本 疑点清源

3.单调区间的表示

f(x0)=M. f(x0)=M. 使得________ 使得________
结论 M 为最大值 M 为最小值
题型分类

单调区间只能用区 间表示,不能用集 合或不等式表示; 如有多个单调区间 应分别写,不能用 并集符号“∪”联 结,也不能用“或” 联结.

基础知识

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 探究提高

ax 【例 1 】 试讨论函数 f(x) = x-1 (a≠0)在(-1,1)上的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 探究提高

ax 【例 1 】 试讨论函数 f(x) = x-1 (a≠0)在(-1,1)上的单调性.

可利用定义讨论函数的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 探究提高

ax 【例 1 】 试讨论函数 f(x) = x-1
设- 1< x1<x (解 a≠0) 在(- 1,1) 上的单调性. 2<1,
1 ? x-1+1 ? ? ? f(x)=a =a?1+x-1?, x-1 ? ?
? ? 1 ? 1 ? x2-x1 ? ? ? ? f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1?=a ?x1-1??x2-1? 1 2 ? ? ? ?

当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递减;

当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递增.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 探究提高

ax 【例 1 】 试讨论函数 f(x) = x-1 (a≠0)在(-1,1)上的单调性.

证明函数的单调性用定义法的步 骤: 取值—作差—变形—确定符号 —下结论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
a 变式训练 1 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+x (x>0), 证明函数 f(x) 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数;
证明 设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2, ? a? ? a ? x1-x2 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ?= x x (x1x2-a). ? ? 1? 2? 1 2

当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0, a]上是减函数; 当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
所以函数 f(x)在[ a,+∞)上是增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 (2)求函数 y= x2+x-6的单调区间.
解 令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作有 y= u与 u= x2+x-6 的复合函数.

由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2.
∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是 增函数,而 y= u在(0,+∞)上是增函数.

∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为 [2,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用函数单调性求参数
ax-1 若函数 f(x)= 在 x+ 1
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

(-∞,- 1)上是减函数,求实 数 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用函数单调性求参数
ax-1 若函数 f(x)= 在 x+ 1
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

利用函数的单调性求参数的取值

(-∞,- 1)上是减函数,求实 数 a 的取值范围.

范围,解题思路为视参数为已知 数,依据函数的图象或单调性定 义,确定函数的单调区间,与已 知单调区间比较求参.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用函数单调性求参数
ax-1 若函数 f(x)= 在 x+ 1
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

(-∞,- 1)上是减函数,求实 数 a 的取值范围.



ax-1 a+1 f(x)= =a- , x+1 x+1

设 x1<x2<-1,
? a+1 ? ? ? 则 f(x1)-f(x2)=?a- x1+1? ? ? ? a+1 ? ? ? -?a- x2+1? ? ?

a+1 a+1 ?a+1??x1-x2? = - = , x2+1 x1+1 ?x2+1??x1+1?

又函数 f(x)在(-∞, -1)上是减函数,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用函数单调性求参数
ax-1 若函数 f(x)= 在 x+ 1
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

所以 f(x1)-f(x2)>0, 由于 x1<x2<-1,
(-∞,- 1)上是减函数,求实 数 a 的取值范围.
所以 x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, 所以 a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用函数单调性求参数
ax-1 若函数 f(x)= 在 x+ 1
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

已知函数的单调性确定参数的值或

(-∞,- 1)上是减函数,求实 范围,可以通过解不等式或转化为不 数 a 的取值范围.
等式恒成立问题求解;需注意的是, 若函数在区间[a,b]上是单调的,则 该函数在此区间的任意子集上也是 单调的.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)若函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,
? 1? ?-∞, ? 2? . ? 的取值范围为____________

则a

解析 因为函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,

1 所以 2a-1<0,解得 a<2,
所以 a
? 1? 的取值范围是?-∞,2?. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
x-5 变式训练 2 (2)函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增, x-a-2 则 a 的取值范围是 A.a=-3 B.a<3 C.a≤-3 D.a≥-3 ( C )

x-5 a-3 解析 y= =1+ , x-a-2 x-?a+2?

由函数在(-1,+∞)上单调递增,
? ?a-3<0 有? ? ?a+2≤-1

,解得 a≤-3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 4.忽视函数的定义域致误

典例:(10 分)求函数 y= log 1 (x2-3x)的单调区间.
3

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 4.忽视函数的定义域致误

典例:(10 分)求函数 y= log 1 (x2-3x)的单调区间.
3

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

忽视函数的定义域,认为 x 的范围是全体实数,导致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 4.忽视函数的定义域致误

典例:(10 分)求函数 y= log 1 (x2-3x)的单调区间.
3

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒



设 t=x2-3x,由 t>0,得 x<0 或 x>3,即函数的定义域为(-∞,
2分

0)∪(3,+∞).

3 函数 t 的对称轴为直线 x= ,故 t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞) 2 上单调递增.
3

6分

而函数 y= log 1 t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数 y=
log 1 (x2-3x)的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).
3

10分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 4.忽视函数的定义域致误

典例:(10 分)求函数 y= log 1 (x2-3x)的单调区间.
3

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间, 必须先求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调 性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,根据同增异减的法 则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,容易忽视定义域,导 致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)对于抽象函数的单调性的证明, 只能用定义. 应该构造出 f(x2)-f(x1) 并与 0 比较大小. (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性 “去掉”是本小题的切入点.要构造出 f(M)<f(N)的形式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)证明

设 x1<x2,∴x2-x1>0,
2分 5分

∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)=f[(x2-x1)+x1] =f(x2-x1)+f(x1)-1,

∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.
7分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(2)解

∵m,n∈R,不妨设 m=n=1,
9分

∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1,
f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4,
∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1?-3<a<2, 即 a∈(-3,2).
基础知识 题型分类 思想方法

12分

14分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

解函数不等式问题的一般步骤: 第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性;
第二步:将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式;
第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”, 转化成一般的不等式或不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 2.函数的单调性与最值
典例: (14 分)函数 f(x)对任意的 m、 n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件 x>0 时, f(x)>1.构造不出 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1 的形式, 找不到问题的突 破口.第二个关键应该是将不等式化为 f(M)<f(N)的形式.解决此 类问题的易错点:忽视 M、N 的取值范围,即忽视 f(x)所在的单调 区间的约束.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.可以根据定义判断或证明函数的单调性.
2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定 义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初 等函数的单调区间.常用方法:根据定义,利用图象 和单调函数的性质;利用导数的性质.

方 法 与 技 巧

3.复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[ g(x)], 若 t=g(x)在区间(a, b)上是单 调函数,且 y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者 (g(b),g(a)) 上是单调函数,若 t=g(x)与 y=f(t)的单调性相同(同时 为增或减),则 y=f[ g(x)] 为增函数;若 t=g(x)与 y=f(t) 的单调性相反,则 y=f[ g(x)] 为减函数. 简称:同增异减.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高

1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调

失 误 与 防 范

递增或单调递减. 单调区间要分开写, 即使在两个区间 上的单调性相同,也不能用并集表示.

2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 1 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 等的单调 f?x? 性与其正负有关,切不可盲目类比.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是 A.y=1-x2 1 C.y= 1+x B.y=x2+2x x D.y= x-1

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是 A.y=1-x2 1 C.y= 1+x B.y=x2+2x x D.y= x-1

( A )

解 析

∵y=1-x2 的对称轴为 x=0,且开口向下,

∴(-∞,0)为其单调递增区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

2. 已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞, 3)上是减函数, 则 a 的取值范围是 ? ? 3? 3? A.?0,4? B.?0,4? ? ? ? ? (
? 3? C.?0,4? ? ? ? 3? D.?0,4? ? ?

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

2. 已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞, 3)上是减函数, 则 a 的取值范围是 ? ? 3? 3? A.?0,4? B.?0,4? ? ? ? ? ( D )
? 3? C.?0,4? ? ? ? 3? D.?0,4? ? ?

解 析
当 a=0 时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数;
a>0 ? ? 3 当 a≠0 时,由? 4?a-3? ,得 0<a≤4. - 4a ≥3 ? ? 3 综上,a 的取值范围是 0≤a≤ . 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

x a ?x>1? ? ? 3.已知 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, ?4- ?x+2 ?x≤1? ? ?? 2?

则实数 a 的取值范围为 A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

x a ?x>1? ? ? 3.已知 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, ?4- ?x+2 ?x≤1? ? ?? 2?

则实数 a 的取值范围为 A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

( B )

解 析

因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,
?a>1, ? ?4-a>0, 2 所以可得? ? a ?a≥4- +2. 2 ?
基础知识 题型分类

解得 4≤a<8,故选 B.

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3
1 2

专项基础训练
4
2

5

6

7

8

9

4.给定函数①y= x ,②y= log 1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1, 其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3
1 2

专项基础训练
4
2

5

6

7

8

9

4.给定函数①y= x ,②y= log 1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1, 其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ( B )

解 析
①函数 y= x 在(0,+∞)上为增函数,故在(0,1)上也为增函数;
2

1 2

②y= log 1 (x+1)在(-1,+∞)上为减函数,故在(0,1)上也为减函数;

③y=|x-1|在(0,1)上为减函数;

④y=2x+1 在(-∞,+∞)上为增函数,故在(0,1)上也为增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.f(x)=x2-2x (x∈[-2,4])的单调增区间为__________; f(x)max=________.
解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

A组
2

专项基础训练
4
5

3

6

7

8

9

[1,4] 5.f(x)=x -2x (x∈[-2,4])的单调增区间为__________; 8 f(x)max=________. 解 析
函数 f(x)的对称轴:x=1,单调增区间为[1,4],

f(x)max=f(-2)=f(4)=8.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.函数

?3 ? ? ,4? 2 ?2 ? f(x)=ln(4+3x-x )的单调递减区间是__________ .

解 析
函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=
? ?3 ? 3?2 25 -?x-2? + 的减区间为?2,4?,∵e>1, 4 ? ? ? ?

∴函数

?3 ? f(x)的单调递减区间为?2,4?. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b

a>0且b≤0 . 的取值范围是____________ 解 析

要使 f(x)在[0,+∞)上为增函数,则 a>0 且 x-b≥0 恒成立,即 b≤x,∴b≤0.

基础知识

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A组
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专项基础训练
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9

1 1 8.(10 分)已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0), (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;

解 析

基础知识

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专项基础训练
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1 1 8.(10 分)已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0), (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;

解 析
证明 设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, ?1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ? ? ? 2? 1? 1 1 x2-x1 =x -x = x x >0, 1 2 1 2

∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 1 8.(10 分)已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0), ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ?

解 析

基础知识

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1 1 8.(10 分)已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0), ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ?

解 析
解 又
?1 ? ?1 ? ∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, ? ? ? ? ?1 ? f(x)在?2,2?上单调递增, ? ?

?1? 1 ∴f?2?=2,f(2)=2.∴易得 ? ?

2 a=5.
思想方法 练出高分

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a 9.(12 分)已知函数 f(x)=x +x(x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解 析

基础知识

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a 9.(12 分)已知函数 f(x)=x +x(x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解 析 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a 2 2 (2)设 x2>x1≥2,则 f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x
1 2

x1-x2 = [ x x (x +x )-a] , x1x2 1 2 1 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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9

a 9.(12 分)已知函数 f(x)=x +x(x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解 析 由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0, x1x2>0.
要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,

只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函 f?x? 数 g(x)= x 在区间(1,+∞)上一定 ( ) A.有最小值
解 析

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

基础知识

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1

B组
2 3

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4
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7

1.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函 f?x? 数 g(x)= x 在区间(1,+∞)上一定 ( D ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

解 析 f?x? a 由题意知 a<1,∴g(x)= x =x+x-2a,

当 a<0 时,显然 g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
当 a>0 时,g(x)在[ a,+∞)上是增函数, 故在(1,+∞)上为增函数,

∴g(x)在(1,+∞)上一定是增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
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B组
2 3

专项能力提升
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5

6

7

2.已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x)+f(x)=0,x1,x2, x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的值 A.一定大于 0 C.等于 0
解 析

( B.一定小于 0 D.正负都有可能

)

基础知识

题型分类

思想方法

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B组
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4
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7

2.已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x)+f(x)=0,x1,x2, x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的值 A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 ∵f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x). 解 又∵x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, 析 ∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1. 又∵f(x1)>f(-x2)=-f(x2), f(x2)>f(-x3)=-f(x3),f(x3)>f(-x1)=-f(x1), ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>-f(x2)-f(x3)-f(x1). ( A )

∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2 3
2 ? ?x +4x, f(x)=? 2 ? 4 x - x , ?

专项能力提升
4
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7

3.已知函数

x≥0, 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a x<0, ( B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) )

的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

解 析

基础知识

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B组
2 3
2 ? ?x +4x, f(x)=? 2 ? 4 x - x , ?

专项能力提升
4
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7

3.已知函数

x≥0, 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a x<0, ( C ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

解 析

由题意知 f(x)在 R 上是增函数, 由题意得 2-a2>a,解得-2<a<1.

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ax+1 4.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的 x+2a 取值范围是__________.
解 析

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ax+1 4.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的 x+2a
[1,+∞) . 取值范围是__________

解 析

ax+2a2-2a2+1 2a2-1 f(x)= =a- , x+2a x+2a

其对称中心为(-2a,a).
2 ? ?2a -1>0 ∴? ? ?-2a≤-2 2 ? ?2a -1>0 ?? ? ?a≥1

?a≥1.

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5. 设 x1, x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量 ,有以下几个命题: ① (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]>0;② (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]<0; f? x1?-f? x2? f? x1?-f? x2? ③ >0;④ <0. x1- x2 x1- x2 其中能推出函数 y= f(x)为增函数的命题为 ________. (填序号 )

解 析

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7

5. 设 x1, x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量 ,有以下几个命题: ① (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]>0;② (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]<0; f? x1?-f? x2? f? x1?-f? x2? ③ >0;④ <0. x1- x2 x1- x2

①③ . (填序号 ) 其中能推出函数 y= f(x)为增函数的命题为 ________ 解 析
依据增函数的定义可知,对于①③,当自变量增大时,相对 应的函数值也增大,所以①③可推出函数 y=f(x)为增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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B组
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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它;

解 析

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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它;

解 析



任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2,

则-x2∈[ -1,1] ,∵f(x)为奇函数, f?x1?+f?-x2? ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) = · (x1-x2), x1+?-x2? f?x1?+f?-x2? 由已知得 >0,x1-x2<0, x1+?-x2?
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[ -1,1] 上单调递增.
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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x-1 解 析

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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b (2)若 f(x)≤ m2- 2am+ 1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立, 求实数 m 的取值范围.

解 析

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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b (2)若 f(x)≤ m2- 2am+ 1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立, 求实数 m 的取值范围.

解 析



∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增.

∴在[ -1,1] 上,f(x)≤1.

问题转化为 m2-2am+1≥1, 即 m2-2am≥0,对 a∈[ -1,1] 恒成立. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[ -1,1] 恒成立.
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6.(13 分 )已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)= 1,若 a, f? a?+f? b? b∈[-1,1], a+ b≠ 0 时,有 >0 成立. a+b (2)若 f(x)≤ m2- 2am+ 1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立, 求实数 m 的取值范围.

解 析
②若 m≠0,则 g(a)为 a 的一次函数,若 g(a)≥0,对 a∈ [-1,1]恒成立,必须有 g(-1)≥0 且 g(1)≥0,

∴m≤-2 或 m≥2. ∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2.
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