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同角三角函数的基本关系式教学设计1



1.2.3 同角三角函数的基本关系式
一 教材分析
普通高中课程标准实验教科书人教版 A 必修(4) 新课程标准要求:理解同角三角函数基本关系式。 同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后,安排的一节继续深入学习的内容,是 求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在 教材中起承上启下的作用。 同时, 它体现的数学思想与方

法在整个中学数学学习中起重要作 用。
2 2 教学重点 : 公式 sin ? ? cos ? ? 1 与

sin ? ? tan ? 的推导及已知某角的正弦、余弦、 cos ?

正切中的一个,求其余两个三角函数. 教学难点: 关系式在解题中的灵活选取, 及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的 范围的讨论。



学情分析

我的学生从认知角度上看,已经比较熟悉的掌握了三角函数定义的两种推导方法,从 方法上看,学生已经对数行结合,猜想证明有所了解。从学习情感方面看,大部分学生愿意 主动学习。从能力上看,学生主动学习能力、探究的能力、较弱。



教学目标

1 知识与技能 : 理解和掌握同角三角函数的基本关系式,并能初步运用它们解决一 些三角函数的求值、化简、证明等问题,培养学生的运算能力,逻辑推理能力。 2 过程与方法 :让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,培养学生 的动手实践、探索、研究能力. 3. 情感、态度与价值观: 通过同角三角函数基本关系的学习,揭示事物之间的普遍 联系规律,培养学生的辩证唯物主义世界观.



教学方法
教学策略 启发式和探究式相结合的教学方法

1、 创设情景、引入问题 2、 启发诱导、公式推导 3、 灵活运用公式 教学手段 计算机多媒体教学



教学过程

(一)、问题情境 教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角 α 的三个三角函数及正弦线、余弦线和正 切线,现在让我们回顾一下他们的定义与联系。 (二)、建立模型

1. 引导学生写出任意角 α 的三个三角函数,并探索它们之间的关系 在角 α 的终边上任取一点 P(x,y),它与原点的距离是 r(r>0),则角 α 的三个三角函数值是 2. 推导同角三角函数关系式 引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去 x,y,r),从而获取下述基本关系. (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 (2)商数关系:

sin ? ? tan ? cos ?

说明:除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出如下关系式: sin ? ? 1 ? cos2 ? . cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? . sin ? ? cos ? tan ? 教师点拨:这些关系式都很对,但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担,只 须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式. 教师启发:(1)对"同角"二字,大家是怎样理解的? (2)这两个基本关系式中的角 α 有没有范围限制? (三)、解释应用 [例 题]
2

4 ,且 α 是第二象限角,求角 α 的余弦值和正切值. 5 2. 已知 tan ? ? ? 3 ,且 α 是第二象限角,求角 α 的正弦和余弦值.
1. 已知 sin ? ? 说明:这两个题是关系式的基本应用,应让学生独立完成.可选两名同学到黑板前板书,以 便规范解题步骤. 变式 1 在例 2 中若去掉"且 α 是第二象限角",该题的解答过程又将如何? 师生一起完成该题的解答过程. ① sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 解:由题意和基本关系式,列方程组得 sin ? ② ?? 3

cos ?

由②,得 sin ? ? ? 3 cos ?
2 代入①整理,得 4cos ? ? 1 ,解得 cos ? ? ?

1 . 2

∵ tan ? ? ? 3 ,∴角 α 是第二或第四象限角. 当 α 是第二象限角时, cos ? ? ? 代入②式,得 sin ? ?

1 , 2

3 ; 2
1 , 2

当 α 是第四象限角时 cos ? ? 代入②式,得 sin ? ? ?

3 . 2

小结:由平方关系求值时,要涉及开方运算,自然存在符号的选取问题.由于本题没有具体 指明 α 是第几象限角,因此,应针对 α 可能所处的象限,分类讨论. 变式 2 把例 2 变为:

sin ? ? cos ? 的值. 2 sin ? ? 3cos ? 2 2 解法 1:由 tanα=2 及基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 可解得
已知 tan ? ? 2 ,求

观察所求式子的特点,看能不能不通过求 sinα,cosα 的值而直接得出该分式的值.

老师引导 学生得到如下解法:分子分母同除以 cos ? ,原式= 由此,引出变式 3. 已知: tan ? ? 2 ,求 (sin ? ? cos ? )2 的值.

tan ? ? 1 1 ? 2 tan ? ? 3 7

有了上一题的经验,学生会得到如下解法:原式= sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

=

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ,分子分母同除以 cos 2 ? 得 2 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? 1 4 ? 4 ? 1 1 ? ? tan 2 ? ? 1 4+1 5
教师归纳、启发:这个方法成功地避免了开方运算,因而也就避开了不必要的讨论.

教师引导学生反思、总结:(1)由于开方运算一般存在符号选取问题,因此,在求值过程中, 若能避免开方的应尽量避免. (2)当式子为分式且分子、分母都为三角函数的 n(n∈N 且 n≥1)次幂的齐次式时,采用上 述方法可优化解题过程. (四)、拓展延伸 教师出示问题,启发学生一题多解,并激发学生的探索热情. 已知 sin ? ? cos ? ? ?

5 ,180° <α<270° ,求 tanα 的值. 5

(五)布置作业 对于作业的布置应该针对学生之间的差异,进行分层训练,这样做既可 以使学生掌握基础知识,又可以使学有余力的学生有所提高,从而达到“拔尖”和“减负” 的目的。因此我布置的课堂作业是第 21 页的第 10,11,12 题及附加题 B 组第 3 题。 (六)板书设计 在板书设计方面,我比较注重直观、系统的板书设计,所以在我的板书 中,能详细的体现出教材中的知识点,以便于学生能够理解掌握。



教学效果预测

对于基本的公式解题 (已知任意角的某一三角函数值求这一角的其他的三 角函数值),学生在这方面应该问题不大,在解已知某一角的三角函数值来求齐 次式的值时, 会有一部分学生在化简时会遇到一些问题, 在这个地方应多加注意。 七 点 评 这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想,充分发挥了学生的主体 作用.教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色.教师和学生是本课 的共同参与者,共同努力完成了这一节课的教学活动.从而使学生在积极思维的活 动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦.案例中的教学活动体现了研究性学习和 探索性学习的方法.



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