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2016邯郸市一模理数试卷和答案



1

2

3

4

2016 届高三一模理科数学参考答案及评分标准
一、选择题

1----5:DCABB

6-----10:CBACB

11-----12:DC

?1 ?x ? e ( x ?

0) 11 题 解:由题 f ( x) ? ? 4 , x ?e ( x ? 0) ?
函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? a ( a ? 0) 有唯一零点 ? y ? f ( x) 与 y ? ax ? a ( a ? 0) 有唯一 交点. y y=f(x)
y ? a2 x ? a2
y ? a1x ? a1

由图可得 a1 ? a ? a2 ,
由题可知, a1 ?

1 , 4
-1 O

因为 f ?( x) ? e x ( x ? 0) ,设切点横坐标为 m , 所以切线斜率 k ? f ?(m) ? em ? a2 , 切线方程为 y ? e ? e ( x ? m) ,且过点 (?1, 0)
m m

x

所以解得 m ? 0 ,所以 a2 ? e ? 1
0

所以

1 ? a ?1 4

12 题 解:在等差数列 {an } 中,由 a2 ? a4 ? ap ? aq ? p ? q ? 6 , 因为 p ? 2, q ? 4 时,
4 4 1 1 9 ? 取最小值 ,所以 m ? , b1 ? 11 11 2 p q

又由 2bn?1 ? bn ? bn?1 ? 1 可归纳出 bn ? 所以 b1 ?
b b2 b3 100 ? 2 ? ? ? 1002 ? 2 2 3 100 101

b n 1 ? ,所以 n 2 n ?1 n n(n ? 1)

二、填空题:
5

13.

10 3

14.

5

15.

12?

16.

3 2

? a 2b 2 11a 2b 2 ? y ? 11x 2 2 ? x ? , y ? 16、解:因为 ? 2 2 , 2 2 2 2 11a 2 ? b 2 11a 2 ? b 2 ? ?b x ? a y ? a b
所以 OA ?
2

12a 2b 2 11a 2 ? b 2 ;

由题设直线 OP 方程为 x ? ? 11y ,

? a 2b 2 11a 2b 2 ? x ? 11 y 2 2 ?y ? 2 ,x ? 2 所以 ? 2 2 2 2 2 2 a ? 11b 2 a ? 11b 2 ? ?b x ? a y ? a b

所以 OP ?
OP OA
2 2

2

12a 2b 2 a 2 ? 11b 2

所以

?

11a 2 ? b 2 12 ? e2 3 ? 3 ? ? 3? e ? 2 2 2 a ? 11b 12 ? 11e 2

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由正弦定理, a cos B ? b cos A ? 2c cos C , 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? 2 sin C cos C , 所以 sin( A ? B) ? 2sin C cos C , 所以 sin C ? 2sin C cos C , 因为 0 ? C ? ? , 所以 cos C ? (Ⅱ)解法一:由已知 S ?

? 1 ,故 C ? ; ……………………………………5 分 2 3

1 3 ab sin C ? ab ? 2 3 , 2 4

所以 ab ? 8 ,又 a ? b ? 6 ,解得 ?

?a ? 2 ?a ? 4 ,或 ? ?b ? 4 ?b ? 2

当?

?a ? 2 1 2 时,由余弦定理可知 c ? 4 ? 16 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 12 , 2 ?b ? 4

所以 c ? 2 3 .
6

所以 b ? a ? c , ?ABC 为直角三角形, ?B ?
2 2 2

?
2

.

因为 CD 平分 ?ACB ,所以 ?BCD ? 在 Rt ?BCD 中, CD ?

?
6

2 cos

?
6

?

4 3 . 3

………………………………9 分

当?

?a ? 4 2 4 3 ? 时,同理可得 CD ? ? 3 ?b ? 2 cos 6
4 3 ……………………………………12 分 3

所以 ?ACB 的角平分线为 CD 长为

(Ⅱ)解法二:在 ?ABC 中,因为 CD 平分 ?ACB ,所以 ?ACD ? ?BCD ? 因为 S ?ABC ? S ?ACD ? S ?BCD 由已知 S ?

?

6 1 ? 1 ? 1 ? ,所以 ab ? sin ? b ? CD ? sin ? a ? CD ? sin , 2 3 2 6 2 6

1 3 ab sin C ? ab ? 2 3 ,所以 ab ? 8 , 2 4

又a ? b ? 6, 解得 CD ?

4 3 . 3

…………………………………….12 分

18 解: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 F ,连接 EF 、 DF ,………1 分 ∴ EF / / PB , ∵ ?CBD ? ?FDB ? 30
?

P

E D A F B C

∴ DF / / BC ∵ EF 、 DF ? 平面 DEF , PB 、 BC ? 平面 PBC ∴平面 DEF / / 平面 PBC ,…………4 分 ∵ DE ? 平面 DEF ∴ DE / / 平面 PBC .……………………6 分 (Ⅱ)解:? PA ? PB ? 2

? PF ? AB
7

? 平面 PAB ? 平面 ABCD ,交线为 AB ? PF ? 平面 ABCD ,且 PF ? 1
连 接 DF , 分 别 取 FB, FD, FP 所 在 直 线 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,

z P

E D A F B x
如图所示.……7 分

y C

则点 A(? 3,0,0) , B( 3,0,0) , C ( 3, 2,0) , D(0,3,0) , P(0, 0,1) , E ( ………………………………………………8 分 设平面 BCP 的法向量为 m ? ( x, y, 3) 则 BC ? (0, 2,0), BP ? (? 3,0,1)

? 3 1 , 0, ) 2 2

??

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ??? ? ? m ? BC ? 0, m ? BP ? 0 ?? y ? 0, x ? 1 即 m ? (1,0, 3) ………………10 分
设平面 BCE 的法向量为 n ? (a, b, 3)

?

??? ? ?3 3 1 1 BE ? ( , 0, ) ? a ? , b ? 0 3 2 2 ? 1 ? n ? ( , 0, 3) ………………………………11 分 3 ?? ? ?? ? m?n 5 7 ? ? ? cos? m, n? ? ?? | m | ? | n | 14
8

因此所求二面角的余弦值为

5 7 .…………………………12 分 14

19 解 : ( Ⅰ ) 用 X 表 示 四 台 机 器 在 同 一 时 刻 需 用 人 操 控 的 台 数 , 则 X 服 从 二 项 分 布 :

?1? P( X ? k ) ? C ? ? ?4?
k 4

k

? 3? ? ? ?4?

4?k

, k ? 0,1,2,3,4 ,于是 E ( X ) ? 4 ?

1 ? 1 .………………….4 分 4

(Ⅱ)设 X 表示 n 台机器在同一时刻需用人操控的台数. ①当 n ? 1 时, X 服从两点分布:

X

0

1

P

3 4

1 4

此时,一人操控1台机器,工作人员能够及时操控机器,不会出现机器等待操控的情形,但工作人 员待工而闲的概率为

3 ? 0.60 . 4
k 2? k k 2

…………………6分 , k ? 0,1,2 .即 X 的分布列为:

?1? ? 3? ②当 n ? 2 时, P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? 4? ? 4?

X
P

0

1

2

3 ( )2 4

1 3 2? ? 4 4

1 ( )2 4

此时,一人操控2台机器,在同一时刻需要操控2台机器的概率为 行的概率为 1 ?
2

1 ,故一人操控的2台机器正常运 16

1 15 ? ? 0.9375 ? 0.9 .工作人员待工而闲的概率为 16 16
………………….8分
k 3? k

?3? ? ? ? 0.5625 ? 0.60 . ?4?

?1? ? 3? ③当 n ? 3 时, P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? 4? ? 4?
k 3

, k ? 0,1,2,3 .即 X 的分布列为: 2
2

X

0

1
3

3
2

P

?3? ? ? ?4?

1 ?3? 3? ? ? ? 4 ?4?

?1? 3 3? ? ? ? ?4? 4

?1? ? ? ?4?

3

此时,一人操控3台机器,出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为
9

3 1 10 ?1? 3 ?1? ,故一人操控的3台机器正常运行的概率为 3? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 64 64 64 ? 4? 4 ? 4?
10 54 ? 3 ? 27 1? ? ? 0.84 ? 0.9 .工作人员待工而闲的概率为 ? ? ? ? 0.421875 ? 0.60 . 64 64 ? 4 ? 64
…………10分 综上所述,一个工作人员操控2台机器符合要求. ………………….12分
3

2

3

20.解:(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 | AB |? y1 ? y2 ? p ,…………2分 又∵以 AB 为直径的圆 M 与直线 y ? ?1 相切, ∴ | AB |? y1 ? y2 ? 2 ,故 p ? 2 ,…………4分 ∴抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;…………5分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x2 ? 4 y 中, 化简整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 , ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 , ∴圆心 M (
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 的坐标为 M (2k , 2k 2 ?1) ,…………8分 2 2

3 ∵圆 M 与直线 x ? ? 相切于点 Q , 2
∴ | MQ |?| MN | ,
1 3 ∴ | 2k ? |?| 2k 2 ? 2 | ,解得 k ? ,…………10分 2 2 1 此时直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,即 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 2 5 3 圆心 M (1, ) ,半径 r ? , 2 2

10

3 5 圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 .…………12分 2 2 x?a ' 21 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ? ,所以 f ' (1) ? 1 ? a ? ?1 ,所以 a ? ?2 x
又点 (1, f (1)) 在切线 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 1 ? b ? 2 ? 0 ,所以 b ? 1 所以 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ( x ? 2) ln x ? 1 . (Ⅱ令 g ( x) ? x ? e x ( x ? 0) 因为 g ( x) ? 1 ? e 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? 0
' x '

………………….4 分

所以 g ( x) 在区间 (0, ??) 内单调递减,所以 g ( x) ? g (0) ? ?1 ? 0

所以

f ( x) ? 1 ? 1 等价于 f ( x) ? 1 ? g ( x) . g ( x)

………………….6 分

我们如果能够证明 f ( x) ? 1 ? ?1 ,即 f ( x) ? 0 即可证明目标成立. 下面证明:对任意 x ? (0, ??) , f ( x) ? 0 . 由(1)知 f ( x) ? ln x ?
'

x?2 x?2 ( x ? 0) ,令 h( x) ? ln x ? x x

则 h ?( x) ?

1 2 ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 内单调递增, x x2

又 h(1) ? ?1 ? 0 , h(2) ? ln 2 ? 0 ,所以存在 x0 ? (1, 2) 使得 h( x0 ) ? 0 .
' 当 0 ? x ? x0 时, h( x) ? 0 即 f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; ' 当 x ? x0 时, h( x) ? 0 即 f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增;

' 所以 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x0 ? 2)ln x0 ? 1 .由 f ( x0 ) ? 0 得 ln x0 ?

2 ?1 x0

所以 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x0 ? 2) ln x0 ? 1 ? ( x0 ? 2)( 令 r ( x) ? x ?

2 4 ? 1) ? 1 ? 5 ? ( x0 ? ) . x0 x0

4 4 ( x ? 2)( x ? 2) (1 ? x ? 2) ,则 r ' ( x) ? 1 ? 2 ? ?0 x x x2
11

所以 r ( x) 在区间 (1, 2) 内单调递减,所以 r ( x) ? r (1) ? 5 所以 f ( x) ? 5 ? ( x ? ) ? 5 ? 5 ? 0 . 综上,对任意 x ? (0, ??) ,

4 x

f ( x) ? 1 ? 1. g ( x)

………………….12 分

22.(Ⅰ)证明:∵ EB ? BC

∴ ?C ? ?BEC ∵ ?BED ? ?BAD ∴ ?C ? ?BED ? ?BAD ……………………2 分 ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD ∴ ?EAD ? ?C ∴ ?BAD ? ?EAD …………………………4 分

? ? DB ? .………………………………5 分 ∴ DE
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?EAD ? ?C ? ?FED ,又 ?EDA ? ?EDA ∴ ?EAD : ?FED ………………8 分 DE AD ? ∴ DF DE 又∵ DE ? 4 , AD ? 8 , ∴ DF ? 2 .……………………………………10 分
23. (Ⅰ)由 ? sin 因为 ?
2

? ? 2cos? 得 ? 2 sin 2 ? ? 2? cos? ,

? x ? ? cos ? 2 ,所以 y ? 2 x ; ? y ? ? sin ?

根据 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数),消去 t 得, x ? y ? 3 ? 0 , ? y ? ?1 ? t
2

故曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 . ……….5 分

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程化为 ? (t 为参数)代入 y ? 2 x 中, ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2
12

整理得 t ? 4 2t ? 6 ? 0 .设 t1, t2 是该方程的两根,则 ? 1
2

? ?t ? t2 ? 4 2 ?t1t2 ? ?6 ?



由参数的几何意义,可知 PM

2

2 ? PN ? t12 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 2t1t2 ? 44 .

2

……….10 分

24. (Ⅰ)当 a ? 2 时,由 f ( x) ? ?3 ,可得 x ? 2 ? 2x ?1 ? ?3 ,

1 ? ?1 ? x ? 2, ?x ? , ? ? x ? 2, ①? 或② ? 2 或③ ? 2 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ?3 ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 1 ? ?3 ?2 ? x ? 2 x ? 1 ? ?3
解①得 ?4 ? x ?

1 1 ;解②得 ? x ? 2 ;解③得 x ? 2 . 2 2

综上所述,不等式的解集为 x ?4 ? x ? 2 . (Ⅱ)若当 x ??1,3? 时, f ( x) ? 3 成立, 即 x ? a ? 3 ? 2 x ?1 ? 2 x ? 2 . 故 ?2 x ? 2 ? x ? a ? 2 x ? 2 , 即 ?3x ? 2 ? ?a ? x ? 2 ,

?

?

………..……….5 分

? ? x ? 2 ? a ? 3x ? 2 对 x ??1,3? 时成立.
? a ? [?3,5] .
………………..……….10 分

13



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