9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学不等式知识点总结



学大教育

选修 4--5 知识点
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性)
a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

n n ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

n n ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

a?b?0?
⑧(倒数法则) 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b



a ? b ? 2ab ? a,b ? R ?
2 2

,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

ab ?
变形公式:

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
2

变形公式:

a ? b? 2

ab

? a?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3 ③(三个正数的算术—几何平均不等式)
a ? b ? c 时取到等号).
1

学大教育



a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a 若ab ? 0, 则 ? ? 2 a b ⑥ (当仅当 a=b 时取等号) b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 a b (当仅当 a=b 时取等号)

b b?m a?n a ? ?1? ? b?n b, ⑦a a?m (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)
规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧
当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式

a ? b ? a ?b ? a ? b .

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ?1 ?1 (a, b ? R? , 2 2 , ①平均不等式:a ? b 当且仅当 a ? b 时取 " ? "
号). (即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; a 2 ? b 2 ? ( a ? b) . ? 2 ? 2 ? 2 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
2

学大教育

⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量, 则

? ?? ? ? ? ,

当且仅当 ? 是零向量, 或存在实数 k , 使 ? ? k ? 时,

等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设

a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数 . c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

a1bn ? a2 bn?1 ? ... ? an b . 1 ? a 1c 1 ? a2 c2 ?... ? a n c n ? a1b1 ? a 2b 2 ? ...? anbn(反序和 ? 乱序和 ?
顺序和) ,当且仅当

a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 则称 f(x)为凸(或凹)函数.

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法:

1 3 1 (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 ; 2 4 2 ①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小) ,

1 1 ? , 2 k (k ? 1) 如k

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2 k

?

2 1 2 ? ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) k k ? k ?1 等.
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.
3

学大教育

四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) “? 或 ?” ? g ( x) ? 0 ( 时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解



? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?









规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
f ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

4

学大教育

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ⑴当 a ? 1 时, ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

⑵当 0 ? a ? 1 时,

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0) a ?? . ??a (a ? 0) ⑴定义法:
⑵平方法:

f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x).

⑶同解变形法,其同解定理有: ① ② ③

x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0)

④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时
⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

5

学大教育

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时
? f ( x)max ? a; ⑶ f ( x) ? a 恒成立
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

? f ( x)min ? a; ⑷ f ( x) ? a 恒成立
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

z?
②“斜率”型:

y y ?b z? ; x或 x?a
x2 ? y 2 ;

2 2 z? ③“距离”型: z ? x ? y 或

2 2 z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) ? ( y ? b) .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问 题简单化.

6



更多相关文章:
高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式知识点总结教师版_数学_高中教育_教育专区。高中数学不等式专题教师版一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法...
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。弹性学制数学讲义 不等式(4 课时)★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(...
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学基本不等式的巧用 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0...
高中数学--不等式知识点归纳和分类习题测试
高中数学--不等式知识点归纳和分类习题测试_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修五:不等式知识点一:不等式关系与不等式 【习题训练】 1. 下列命题中正确命题的...
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。不等式知识点总结 1.不...
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。《不等式》知识点一、不等式及其解法: 1.一元二次不等式: 化标准式(即二次项系数为正) ? “大于取两边...
不等式知识点归纳大全
不等式知识点归纳大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;不等式解集的端点值...
必修五-不等式知识点总结
必修五-不等式知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式总结一、不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a ? b ? a?c ? b?c (2)...
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学,高三复习,不等式知识点总结 不等式高考题型:选择,填空,与函数结合出大题,证明出大题。 ...
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修5基本不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修5基本不等式知识点总结一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设 a 、 b 是两个正...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图