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课题8、加法、乘法原理,排列数、组合数



课题 8、计数原理和方法 (补充内容) ? 教学目标 1、知识与技能: (1)了解加法原理、乘法原理; (2)掌握用排列数、组合数计数; (3 为概率的“有利事件和基本事件”计数。 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体会数学 知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过对比教学,感知应用数字解决问题的方法

,自觉养动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观: 本节课的主要特点对比教学,让学生感知类比的思想方法。 ? 教学重点:两个原理的差异、排列和组合差异。 ? 教学难点:用两个原理和排列数、组合数计数。. ? 教学过程 一、分类计数原理: 完成一件事情,有 n 类办法,在第1类办法中有 m1 种不同的方法, ,在第2类办法中有种 m2 不同的 方法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。 理解: (1)清楚怎样才是完成“一件事”的含意,即知道做“一件事” ,或叫完成一个“事件”在每个题中 具体所指; (2)解决“分类”问题用分类计数原理,需要分类的事件不妨叫做“互斥事件” ,即完成事件通过途 径 A,就不必再通过途径 B 就可以单独完成,每类办法都可完成这件事。注意各类方法之间的互斥性和并 列性。否则,不互斥会出现重复,不并列会出现遗漏。 (3)每个问题中,标准不同分类也不同,分类基本要求是,每一种方法必须属于某一类(不漏) ,任 意不同类的两种方法是不同的方法(不重复) 。 例、书架的第一层放有 6 本不同的数学书,第二层 放有 6 本不同的语文书,第三层放有 5 本不同的英语 书。从这些书中任取一本的不同取法有多少种?

二、分步计数原理: 完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第1步有 m1 种不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方法,做 第 n 步有种不同 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法。 理解: (1)清楚怎样才是完成“一件事”的含意,即知道完成“一件事” ,在每个题中需要经过哪几 个步骤。 (2 ) “分步”用乘法原理,需要分成若干个步骤,每个步骤都完成了,才算完成一个事情,不妨 称此为“相关事件” ,注意各步骤之间的连续性。 (3)每个问题中,标准不同,分步也不同,分步基本要 求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步,二是两个步骤的方法之间是无关的, 不能互相替代。 例、 书架的第一层放有 6 本不同的数学书, 第二层放有 6 本不同的语文书, 第三层放有 5 本不同的英语书。 (1)从这些书中任取一本数学书、一本语文书、一本英语书共三本书的不同取法有多少种?
1

(2)从这些书中任取三本,并且在书架上按不同的顺序排好的取法有多少种?

3、两个原理的区别: (1)加法原理:完成一件事,共有 n 类办法,关键词: “分类” 乘法原理:完成一件事,共有 n 个步骤,关键词: “分步” (2)加法原理:每类办法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的,且每次得到的是最后结果, 只需一种方法就可完成这件事。 乘法原理:每一步除最后一步外得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何 一步也不能完成这件事情,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事。 (3)加法原理:各类办法之间是互斥的,并列的、互斥的; 乘法原理:各步之间是关联的、独立的、 “关联”确定不遗漏, “独立”确保不重复。 4、应用题型: (1)映射问题; 例 1、集合 A ? ?a, b, c, d , e? 有 5 个元素,集合 B ? ?m, n, f , h? 有 4 个元素,则(1)从集合 A 到集合 B 可以建立多少个不同的映射?(2)从集合 B 到集合 A 可以建立多少个不同的映射? 例 2、5 位应届高中毕业生,报考三所重点院校,每位必报且仅报一所院校,不同的报名方式有 3 5 (A)5 种 (B)3 种 (C)5 种 (D)15 种 答案: (B) 练习 1、有 4 位同学参加 3 项不同的比赛,要求每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果? 答案:每一位同学参加竞赛,有 3 种选择方式, 3
4

2、3 个班去旅游,每班均可以规定的 6 个景点中选择 1 个游览,共有多少种不同的旅游方式? 答案: 6
3

3、4 名同学去夺 3 项冠军,不允许并列,问共有多少中不同的情况? 答案: 3
4

例 3、用 1,2,3,4 四个数字可排成多少个三位数?可排成多少个五位数?可排成多少个没有重复数字的 三位数?可排成多少个没有重复数字的正整数? 答案:4*4*4=64;4*4*4*4*4=1024;4*3*2=24;4+4*3+4*3*2+4*3*2*1=64 例 4、某艺术组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小号,从中选出会 钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? 答案:8+6*2=20 三、排列 1、问题 1、 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加 下午的活动,有多少种不同的方法? 问题 2、 从 ABCD 这4个字母中,每次取出3个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法? 处理方法: (1) “树图”法; (2)表格法。 2、选排列:
2

(1)一个排列:从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列; (2)两个相同的排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同; (3)两个不相同的排列:两个排列的元素不完全相同,或元素的排列顺序不相同; (4) 排列数: 从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素的所有排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m
m 个元素的排列数。记作: An

注: “ An ? m ? n? ”是一种运算,完全可以和“对数、指数、开方、加法、减法、乘法、除法、向量内积”
m

等类比; 3、全排列: (1)一个全排列: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列; (2) n 个不同元素全部取出的排列数: An ? n! ? n? (n ?1)? (n ? 2)?2? 1;
n

记住: 1! ? 1;2! ? 2;3! ? 6;4! ? 24;5! ? 120;6! ? 720 4、排列数的计算:
m 。 An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1),(m ? n) :主要用于“较小数字排列数的计算”

m An ?

n! 。 , (n ? m) :主要用于“较大数字排列数的计算,或与排列数相关的恒等式证明” (n ? m)!

例1:计算: (1) A16
3

(2)

6 A6

(3) A6

4

例 2、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下在竖直的旗杆上表示信号,每次挂1面,2面,或3面,并 且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? 例 3、由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字,并且比 13000 大的正整数? 四、组合 1、问题 1、 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 问题 2、 从 ABCD 这4个字母中,每次取出3个,共有多少种不同的选法? 2、定义 (1)一个组合:从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合; (2)两个相同的组合:两个组合中元素完全相同。 (3)不同的组合:两个组合中的元素不完全相同。 (4) 组合数: 从 n 个不同元素中取出 m(m ? n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。记作: Cn
m

(m ? n)

m 注: “ Cn ? m ? n? ”是一种运算,完全可以和“对数、指数、开方、加法、减法、乘法、除法、向量内积、

3

排列数”等类比; 3、组合数的计算:
m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) (m ? n) ; (1) C ? m ? Am m(m ? 1)(m ? 2)?2? 1 m n

注:适用于较小数字的组合数的计算。 (2) Cn ?
m m An n! ? ( m ? n) ; m Am (n ? m)!m!

注:适用于较大数字的组合数的计算和有关组合数、排列数恒等式的证明;
0 规定: Cn ? 1。

例 1、计算: (1) C7
4

(2) C10

7

4、组合数的性质: (1) C1 ? C2 ? C3 ? ? ? Cn ? 1;
1 2 3 n

(2)对称性: Cn

m

n ?m ? Cn (m ? n)

5、组合简单应用: (1)有限值条件的“产品”抽取问题 例 1、12 件产品,其中 5 件一级品,4 件二级品,3 件三级品,从中取出 4 件使得: (1)至少 1 件一级品,共几种取法? (2)至多 2 件一级品,共几种取法? (3)不都是一级品,共几种取法? (4)都不是一级品,共几种取法? 说明: ① “含有”或“不含有”某些元素的题型: “含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足; “不含”则 先将这些元素剔除,再从留下的元素中去选取; ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的 含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解。通常直接法中分类庞杂时,考虑逆向思维,用间 接法处理。 例 2、男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少 种选派方法? (1)男 3 名,女 2 名? (2)队长至少有 1 名参加; (3)至少有 1 名女运动员; (4)既要有队长,又要有女运动员。 例 3、四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( ) (A)150 种 (B)147 种. (C)144 种 (D)141 种 例 2、过正方形任意两个顶点的直线共有 28 条,其中异面直线有( )对 A.32 B.72 C.174 D.189 例 4、有 7 名同学排成 1 排,甲身高为最高,排在中间,其他 6 名同学身高不相等,甲的左边和右边一身 高为准,由高到低排队,共有排法种数是( ) A.10 B.20 C.30 D.40 五、计数原理和方法在概率中的运用
4

锥体

例 1、从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的 概率是( A. 1 5 ) 2 B. 5 C. 3 10 7 D. 10

答案:B

例 2、某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为( A.



7 15

B.

8 15

C.

3 5

D. 1

答案:B

例 3、同一试验的 n 次重复,每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响,每次试验有两个可能结 果:成功或失败。如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在 n 次独立重复实验中这个事件恰好发
k k n ?k 生 k 次的概率是 P ; n (k ) ? Cn p (1 ? p)

?

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演算、过程展示

?

课后反思

5



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