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广东省11大市2013届高三数学(理)一模试题分类汇编11:立体几何


广东省 11 大市 2013 届高三数学(理)一模试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题 1、(广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一))某空间几何体的三视图及尺寸如 图 1,则该几何体的体积是 2 A. 2 1 1 B.

2 3 1 D. 3
C. 答案:A 2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)右图是某个四面体的 三视图,该四面体的体积为 A.72 B.36 C.24 D.12 答案:D 3、(揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)一简单 组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm ) 则该组合体的体积为. A. 72000 cm3 C. 56000 cm3 B. 64000 cm3 D. 44000 cm3

正视图

侧视图

2

2 俯视图 图1

答案:由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成, 故其体积 故选 B. V ? 60 ? 40 ?10 ? 20 ? 40 ? 50 ? 64000(cm3 ) , 4、(梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)如图是一个几何体 的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=

A、 2

B、

2 2

C、 3

D、

3 2

答案:C

5、 (汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评) O 是空间一点, 设 a,b,c 是空间三条直线,? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( ) A. 当 a∩b=O 且 a ? ? ,b ? ? 时,若 c⊥a,c⊥b,则 c⊥ ? B. 当 a∩b=O 且 a ? ? ,b ? ? 时,若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 ? ∥ ? C. 当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D. 当 b ? ? 时,且 c ? ? 时,若 c∥ ? ,则 b∥c 答案:C 6、(韶关市 2013 届高三调研考试)某几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( ) A、4+4 3 B、4+4 5 C、

8 3

D、12

答案:B 7、(深圳市2013届高三2月第一次调研考试)图1 是一个几何体 的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是 A. 32? ,

128 ? 3

B. 16? ,

32 ? 3

C. 12? ,

16 ? 3

D. 8? ,

16 ? 学科网 3

答案:C 【解析】该几何体为平放的半球, 所以 S表 =

4? ? 22 2 16? +? ? 22 =12?,V球 = ? ? ? 23 = . 2 3 3

8、(肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试)已知三棱锥的底面是边 长为的正三角形,其正视图与俯视图如图 2 所示, 则其侧视图的面积为 A. 答案:A

6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一))一个直棱柱被一个平面截 去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 2 B.10 C.11 D.

2

23 2
正视图

3

答案:C
侧视图

10、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试)若某一几何体的 正视图与侧视图均为边长是 1 的正方 形,且其体积为

1 ,则该几何体的俯视图可以是( 2

)

1 1 俯视图

第 4 题图

答案:C 11、(湛江市 2013 届高三高考测试(一))某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体 积为 3,则正视图中的 x=____ 答案:3

二、解答题 1、(广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一))如图 4, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,
A1 B1 D C1

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A1 BD ; (2)若 H 为 A1 B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切
A E

C B 图4

值为

15 时, 2

求平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.

解法一:

(1)证明:延长 A1 D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? ∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

1 AA , 2 1
?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

?????4 分

?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大.?????8 分 ∴当 EH ? A1 B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH

∴ EH ?

2 5 . 5

?????9 分

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? 平面 A1 AB . ∵ AB ? 平面 A1 AB , A1B ? 平面 A1 AB , ?????10 分

∴ BF ? AB , BF ? A1B . ∴ ?ABA1 为平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 在 Rt△ EHB 中, BH ? 分 ∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?

?????11 分 ????12 分

EB 2 ? EH 2 ?

BH 5 ,cos ?ABA1 ? ? 5 EB

5 .?13 5

5 .????14 分 5

z A1 C1 B1 D

1 AA1 . 2 1 AA , 2 1

?????1 分

∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ?

F H
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF .

A E x B

C

y

∵ DF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . ?????4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1 B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH

∴ EH ?

2 5 . 5 EB 2 ? EH 2 ?

?????9 分

在 Rt△ EHB 中, BH ?

5 . 5

∵Rt△ EHB ~Rt△ A1 AB ,

2 5 EH BH ? ∴ ,即 5 ? AA1 AB AA1
∴ AA1 ? 4 .

5 5 . 2
?????10 分

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ? 设平面 A1 BD 的法向量为 n = 由 n ?A1B 得? í

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

? x, y, z ? ,
0,

????

???? ? 0 , n ?A1D

ì 3x + y - 4 z = 0 ? ? 2 y - 2 z = 0. ? ?

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 BD 的一个法向量为 n =

(

3, 1, 1 .

)

????12 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.

????

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1

?????13 分

∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为

5 . 5

????14 分

2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟) 如图, 直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? BC ,

AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1? 2 ,过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E 。 F 、 G 分别是 CE 、
AD 的中点。现将 ?ADE 沿 AE 折起,使二面角 D ? AE ? C 的平面角为 1350 . ⑴求证:平面 DCE ? 平面 ABCE ;
⑵求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值.

D D E F

?

C G
E F B

G?
A B

C

A

AE ? 平面 CDE , 3分 ? AE ? 平面 ABCE , 平面 DCE ? 平面 ABCE . 5分 ⑵(方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系

? ?

⑴证明:? DE ? AE,CE ? AE, DE ? CE ? E,DE, CE ? 平面CDE ,

6分

? DE ? AE,CE ? AE,

? ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC =1350 ,??7 分 ? A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0, ?1 ,1)。
10 分 11 分 12 分 9分

? AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1? 2 ,

? F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点, 1 1 ?F 1 (0,,0) (1, ,) ,G 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 ? FG = -1,) AE = -2,0,0) ( (1, , , 2 ??? ? 由⑴知 AE 是平面 DCE 的法向量,
( 设直线 FG 与面 DCE 所成角 ? 0 ? ? ?

?

2

) ,

??? ??? ? ? FG ? AE ?2 2 则 sin ? ? ??? ??? ? ? , ? ? 3 FG AE ?2 3 2

故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为

2 . 3

14 分(列式 1 分,计算 1 分)

(方法二)作 GH // AE ,与 DE 相交于 H ,连接 FH ??6 分 由⑴知 AE ? 平面 CDE ,所以 GH ? 平面 CDE , ?GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所 成角??7 分

G 是 AD 的中点, GH 是 ?ADE 的中位线, GH ? 1 , EH ?

2 ??8 分 2

因 为 DE ? AE , CE ? AE , 所 以 ?D E C是 二 面 角 D ? AE ? C 的 平 面 角 , 即

?DEC = 1350 ,??9 分 2 2 2 在 ?EFH 中,由余弦定理得, FH ? EF ? EH ? 2 ? EF ? EH ? cos?FEH

1 1 1 2 2 5 5 )??11 分(列式 1 分,计算 1 分) ? ? 2? ? ? (? ) ? (或 FH ? 4 2 2 2 2 4 2
GH ? 平面 CDE ,所以 GH ? FH ,在 Rt?GFH 中, GF ? GH 2 ? FH 2 ?
??13 分(列式 1 分,计算 1 分) 所以直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 sin ?GFH ?

3 2

GH 2 ? ??14 分 GF 3

3、(揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)如图(4),在等腰梯形 CDEF 中,CB、 DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 ,现将梯形沿 CB、DA 折起,使 EF / / AB 且
C D EF ? 2 AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(5)示,已知 M , N , P 分别为 AF , BD, EF

的中点. (1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ? DE ; (3)当 AD 多长时,平面 CDEF 与
F 平面 ADE 所成的锐二面角为 60? ?

N
C D

B F
E

A M P E

B

图(4)

A

图(5)

(1)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点,--------------------------------------------------------------1 分 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF ;---4 分 (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2
F

C N B A M P

D

E

结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP ? AE ? PE
2 2 2

∴ ?EAP ? 90? ,即 AP ? AE -----8 分

又 AD I AE ? A ∵ DE ? 平面 ADE ,

∴ AP ? 平面 ADE , ∴ AP ? DE .------------------------------------------------9 分
C D N B F X A M P E y

Z (3)解法一:如图,分别以 AP, AE , AD 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

设 AD ? m(m ? 0) ,则 A(0, 0, 0), D(0, 0, m), E (0, 2, 0), P(2, 0, 0) 易知平面 ADE 的一个法向量为 AP ? (2, 0, 0) ,-----------10 分

uuu r

r uur ? n ? PE ? 0 r ? 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? r uuu r ?n ? DE ? 0 ?
故?

??2 x ? 2 y ? 0 ? x? y ?0 ,即 ? ? 2 y ? mz ? 0 ?2 y ? mz ? 0

令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ?

r 2 2 ,故 n ? (1,1, ) ----------------------------------------11 分 m m uuu r r uuu r r AP ? n 2 r ∴ cos ? AP, n ?? uuu r ? , 4 | AP || n | 2 2? 2 m

依题意,

2 2 2? 4 m2

?

1 , m ? 2 ,-------------------------------------------------------13 分 2

即 AD ?

2 时,平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60? .------------------------14 分

【解法二:过点 A 作 AM ? DE 交 DE 于 M 点,连结 PM,则 DE ? PM , ∴ ?AMP 为二面角 A-DE-F 的平面角,---------------------------------------------------------11 分

AP 2 3 ,-------------------------------------12 分 ? o tan 60 3 2 3 又 AD ? AE ? AM ? DE 得 2 AD ? ? 22 ? AD 2 , 3 解得 AD ? 2 , AD ? 2 时, 即 平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60? . 分】 -14
由 ?AMP =600,AP=BF=2 得 AM ? 4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1, AB=2, F 分别是 AB、 E, PD 的中点。 (1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求二面角 P-EC-D 的余弦值; (3)求点 B 到平面 PEC 的距离。

5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)三棱锥 P-ABC 中.侧梭长均为 4.底边 AC= 4. AB=2,BC=2 3 , D. E 分别为 PC. BC 的中点. 〔I)求证:平面 PAC⊥平面 ABC. (II)求三棱锥 P-ABC 的体积; (III)求二面角 C-AD-E 的余弦值.

证明:(Ⅰ)因为 PA ? PB ? PC ? AC ? 4 , 取 AC 的中点 O ,连接 OP, OB ,易得: OP ? AC ,???????????(1 分)

P

OP ? PC 2 ? OC 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 3
? AC ? 4, AB ? 2, BC ? 2 3 ,
A ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,? ?ABC为Rt?, .???????????(2 分)

O

C

? OB ? OC ? 2, PB 2 ? OB 2 ? OP 2 ,? OP ? OB .?????(3 分)
又? AC ? BO ? O且AC、OB ? 面ABC

B

? OP ? 平面 ABC ,又? OP ? 平面PAC
? 平面PAC ? 平面ABC ???????????(5 分)
注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得 分为 0 分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) (Ⅱ) V P ? ABC ?

1 1 1 1 OP ? AB ? BC ? ? 2 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 4 ???????(7 分) 3 2 3 2

(注意:该步骤只要计算出错,就 0 分) (Ⅲ)方法一:过点 E 作 EH ? AC 于 H,过点 H 作 HM ? AD 于 M, 连接 ME ,因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC = AC ,

EH ? AC , EH ? 平面 ABC ,所以 EH ? 平面 PAC , ? ME ? AD (三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) ? ?EMH 即为所求的二面角的平面角???(10 分)
? E, D 分别为中点, EH ? AC , ? 在 RT?HEC 中:

HC ? EC cos 30 0 ?

3 , 2

EH ? EC sin 30 0 ?
? AH ? 4 ? HC ? 5 2

3 ???????(11 分) 2

在 RT?HMA 中, MH ? AH sin 30 0 ? 所以, RT?HME 中, ME ?

5 ????(12 分) 4

HE 2 ? HM 2 ?

3 25 37 ? ? 4 16 4

所以 cos ?EMH ?

MH ? ME

5 4 ? 5 37 ??????(14 分) 37 37 4

xP z M H

y

M

D
H

O

A E B

C

方法二:以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

O(0,0,0) , A(0,?2,0) , B( 3 ,?1,0) , C (0,2,0) , D(0,1, 3 ) , E (

3 1 , ,0) , P(0,0,2 3 ) , 2 2

? AE ? (

3 5 , ,0) , AD ? (0,3, 3 ) ,????????????????(9 分) 2 2

所以,可以设平面 AED 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , 平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (1,0,0) ,????????????????(10 分)

? 3 5 x? y ?0 3 3 ?n1 ? AE ? ,所以令 x ? 1 ,则 y ? ? ,z ? 2 2 ? 5 5 ?n ? AD ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 1
所以 n1 ? (1,?

3 2 , ) ,可以设所求的二面角为 ? ,显然 ? 为锐角????(11 分) 5 5

由 n1 ? n 2 ? n1 ? n 2 ? cos ? n1 , n 2 ?, 可得:????????????(12 分)

n ?n cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? 1 2 ? n1 ? n2

(1,?

3 2 , ) ? (1,0,0) 5 37 5 5 ?????? (14 分) ? 37 3 9 1? ? 25 25

6、(韶关市 2013 届高三调研考试)如图,三棱锥 P-ABC 中,PB⊥底面 ABC 于 B,∠BCA= 90°,PB=CA=2,点 E 是 PC 的中点。 (1)求证:侧面 PAC⊥平面 PBC; (2) 若异面直线 AE 与 PB 所成的角为θ , tan ? ? 且 求二面角 C-AB-E 的大小。 (1)证明:∵PB⊥平面 ABC,∴PB⊥AC; ∵∠BCA=90° ,∴AC⊥BC; 又∵AC⊥BC,AC⊥PB,在面 PBC 中 PB∩BC=B;∴AC⊥平面 PBC; 又∵AC∈平面 PAC,∴面 PAC⊥面 PBC (2)以 C 为原点,CA、CB 所在直线为 x,y 轴建立空间直角坐标系,设 BC=m, 则 C(0,0,0),A(2,0,0),E(0,

3 2 , 2

m ,1),B(0,m,0),P(0, m,2) 2

由 tan ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 2 22 ,得: cos ? ? ,由 AE? ?| AE |? PB | cos? ,解得:m= 2 PB | 2 11

平面 ABC 的一个法向量 m=(0,0,1),求得平面 ABE 的一个法向量 n=(1, 2 ,1) 由 mn=|m||n|cos ? ,得: ? ?

?
6

,所以,二面角 C-AB-E 的大小为 30°

7、(深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研考试)如图 5 , ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为
⊙O 上两点,且 ?CAB =45 ,
?

∠ DAB ? 60? , 为 BC 的中点. 沿直径 AB 折起, 使两个半圆所在平面互相垂直 (如图 6 ) . F ? (1)求证: OF // 平面 ACD ;

(2)求二面角 C - AD - B 的余弦值;

? (3)在 BD 上是否存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置,并
求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由. C

? F
A

?
B

C

? O

?
?

?F
?

A
O

B

D
图5

D
图6

【解析】 (法一):证明: (1)如右图,连接 CO ,

? ?CAB ? 45 ? ,? CO ? AB ,

?
A E D

C
?F ? O

? 又? F 为 BC 的中点,? ?FOB ? 45 ? ,

? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD .????????3 分 解:(2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角.
? ?OAD ? 60 ? , OA ? 2 , ?OE ? 3 .

B
G

?

????????????5 分

由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形,

? CO ? 2 ,? CE ? 7 .
? cos ?CEO =

3 21 = . ??????????????????????8 分 7 7

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,
? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,

? OG // AD , ?BOG =?BAD =60? .
? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.??10 分

连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 1 ? S ?ACD = ? AD ? CE = ? 2 ? 7 = 7 , S ?GAD ? S ?OAD = ? 2 ? 3 = 3 , 2 2 2

2 21 1 1 . ? 由 VG- ACD = VC - AGD ,得 ? 7 ? h = ? 3 ? 2 ,得 h ? 3 3 7

????12 分

在 ?AOG 中, AO ? OG ? 2 , ?AOG ? 120 ? ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,?13 分

? sin? ?

h 7 = . AG 7

???????????????????14 分

(法二):证明:(1)如图,以 AB 所在的直 线为 y 轴, OC 所在的直线为 z 轴, O 为原点, 以 以 作 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 则 A ? 0, ?2, 0 ? ,

z

?

C
?F

A

C ?0 ,0 ,2 ? .
AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

O? G

B y

?

D

x

? ? 点 F 为 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2 , 2 ) .
??? ? 2 ???? ? OF ? AC ,即 OF //AC . 2

?

?

? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ??????????????????????3 分 ? OF // 平面 ACD . ???? 解:(2)? ?DAB ? 60? ,? 点 D 的坐标 D 3, ? 1,0 , AD ? ( 3,1, 0) .

?

?

设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y , z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

??

?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ?n1 ? AC ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? 由 ? ?? ???? 有? 即? ? 3 x ? y ? 0. ?n1 ? AD ? 0, ? ?? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ?

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

3.
?????????????????5 分

?? ? n1 = 1,- 3, 3 . ?? ?

?

?

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0 ,0 ,1? ,

???????????????6 分

?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? .?????????8 分 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,
? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ???? ???? 设 OG ? ? AD(? ? 0) ,? AD ? ( 3,1, 0) ,? OG ?

?

3? , ? , 0 .

?

又? OG ? 2 ,? ( 3? ) ? ? ? 0 ? 2 ,解得 ? ? ?1 (舍去 ?1 ).
2 2 2

????

???? ? OG ?

?

? 3 ,1, 0 ,则 G 为 BD 的中点.

?

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.??11 分
设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,

???? ? AG ? ( 3,1, 0) ? (0, ?2, 0) ? ( 3,3, 0) ,
根据(2)的计算 n1 ? 1,- 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量,

??

?

?

???? ?? AG ? n1 ? sin? ? cos(90? ? ? ) ? ???? ?? ? | AG | ? | n1 |

3 ?1 ? 3 ? (? 3) ? 0 ? 3 2 3? 7

?

7 . 7

因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为

7 . ???????????14 分 7

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知 识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 8、(肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试)如图 5,PA 垂直⊙O 所在平面 ABC,AB 为 ⊙O 的直径,PA=AB, BF ?
1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求二面角 F—OC—B 的平面角的正弦值.

(1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. (1 分) ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. (2 分) 又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (3 分) (2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分)

∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分) 又∵ PA ? AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ BP ? OC . (6 分) 设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP ∴ BP ? OF . (7 分) ∵ OC ? OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ OF ? OC , OC ? OB , ∴ ?BOF 是二面角 F ? OC ? B 的平面角. 又∵ BP ? OF , ?FBO ? 450 ,∴ ?FOB ? 450 , ∴ sin ?FOB ?
2 2 ,即二面角 F ? OC ? B 的平面角的正弦值为 . 2 2

(9 分) (10 分) (12 分) (13 分)

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一)) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, 且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3
P

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

A

D C

O

B

第 18 题图

解析:(Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

P

∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 C

A

D O

B

PA ?





PAB



∴PA ? CD . -----------------6 分 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分.) (注:证明 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB ,

B 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 3A D 由 D ?
∴ ∴

AB DB , 3AC ? BC 得, ? 3 , ? 4 , BC ? 2 3 ,

BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2
?BCA ? ?BDC
, 即

C

?



D

A

O -----------------3 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB ,

PD ? CD



PA ? 又 平 ∴PA ? CD . 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB ,
在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?



PAB
-----------------6 分



设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?



CD2 ? DB2 ? BC 2
?






C

D

A

-----------------3O 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB ,

PD ? CD



PA ? PAB 又 平 面 , ∴PA ? CD . -----------------6 分 ( Ⅱ ) 法 1 : ( 综 合 法 ) 过 点 D 作 DE ? PB , 垂 足 为 E , 连 接 CE . -----------------7 分 P 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴CD ? PB ,又 DE ? CD ? D ,

E

A

B

∴PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴CE ? PB ,-----------------9 分 ∴?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ∴PB ? 3 2 ,则 DE ?

PD ? DB 9 3 2 , ? ? PB 2 3 2
CD 3 6 , ? ? DE 3 2 3 2
二 面 角

∴ Rt?CDE 中, tan ?DEC ? 在



cos ?DEC ?

15 5





C ? PB ? A











15 . 5

-----------------14 分

法 2:(坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系. -----------------8 分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分.) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴D(0,0,0) , C( 3,0,0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) , ∴PC ? ( 3,0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3,0,0) , 由

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

CD ? 平 面 ??? ? CD ? (? 3,0,0) .

PAB









PAB















-----------------10 分

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

z P

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ? ??? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ?
∴n ? ( 3,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? 则 cos ? ? ,-----------------13 分 ?? 5 | n | ? | CD | 5? 3

A

D O C x B y

∴ 二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

15 .-----------------14 分 5

10、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试)如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形, 平面 PDCE ^ 平面 ABCD , ?BAD ? ?ADC ? 90? ,

1 AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a . 2
(1)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. (1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点


∴ MN // AC ??????2

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE 分

??????4

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

??? ? ??? ? P(0,0, 2a), B(a, a,0), C(0, 2a,0) PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a,0) ??6 分 ?? ?? 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1,0) ????????7 分 ?? ? 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有 ?? ??? ? ? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0 ? ? ? ? ?? ??? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a, 0) ? 0 ?
即: ?

?ax ? ay ? 2a ? 0 ? ??ax ? ay ? 0 ?

? 2 ?x ? ?? ? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) ???????????12 分 解得: ? 2 2 2 ?y ? 2 ? ? 2

2 ?? ?? ? n ? n2 1 ∴ cos ? ? ??1 ?? ? 2 ? ???????????????13 分 ? n1 ? n2 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°????????????14 分 解法二: 延长 CB、 相交于 G, DA 连接 PG, 过点 D 作 DH⊥PG , 垂足为 H,连结 HC ????????6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D

∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ??????8 分 ∴∠DHC 为 平 面

PAD

与 平 面

PBC

所 成 的 锐 二 面 角 的 平 面

角 ??????????????????10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD = 分 在 Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

2a 可以计算 DH ?

2 3a ?12 3

CD 2a ? ? 3 ????????13 分 DH 2 3a 3

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°???????????14 分

11、(湛江市 2013 届高三高考测试(一))如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE。 (1)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值; (2)设 M 为线段 A1C 的中点,求证:在△ADE 翻转过程中,BM 的长度为定值。

解:(1)过 A1 作 A1F⊥DE,由已知可得 A1F⊥平面 BCD,且 F 为 DE 中点,以 D 为原点, DC、DA 所在直线为 y,x 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0),A1(1,1, 2 ) 求得平面 CEA1 的一个法向量为 m=(1,1, 2 )

???? ???? ???? 1 DC =(0,4,0), DC ?m=| DC ||m|cosθ ,得 cosθ = 2 1 所以,直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值为 。 2
(2)取 A1D 中点 G,连结 MG,EG,由 MG∥EB,且 MG=EB,可得 BMGE 为平行四边形,所以, BM=EG,而三角形 ADE 中,EG 的长度为定值,所以,BM 的长度为定值。



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