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2018届高三数学每天一练半小时:第22练 利用导数研究函数零点问题 Word版含答案


训练目标 训练题型 (1)利用导数处理与函数零点有关的题型;(2)解题步骤的规范训练. (1)利用导数讨论零点的个数;(2)利用导数证明零点的唯一性; (3)根据零点个 数借助导数求参数范围. (1)注重数形结合;(2)借助零点存在性定理处理零点的存在性问题;结合单调 解题策略 性处理零点的唯一性问题;(3)注意参变量分离. 1.设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e -a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点. 2 x 1 3 2.函数 f(x)= x -kx,其中实数 k 为常数. 3 (1)当 k=4 时,求函数的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 3.(2017·贵阳调研)已知函数 f(x)= ax-a e x (a<0). (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 F(x)=f(x)+1 没有零点,求实数 a 的取值范围. 4.设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)= x. 已知曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与直线 e 2x-y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出 x2 k;如果不存在,请说明理由. 5.已知函数 f(x)=(x+a)e ,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a<1 时,试确定函数 g(x)=f(x-a)-x 的零点个数,并说明理由. 2 x 答案精析 1.(1)解 f′(x)=2xe +(1+x )e =(x +2x+1)e =(x+1) e ,? x∈R,f′(x)≥0 恒成立. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). (2)证明 ∵f(0)=1-a,f(a)=(1+a )e -a, ∵a>1,∴f(0)<0,f(a)>2ae -a>2a-a=a>0, ∴f(0)·f(a)<0,∴f(x)在(0,a)上有一个零点, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上递增, ∴f(x)在(0,a)上仅有一个零点, ∴f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点. 2.解 (1)因为 f′(x)=x -k, 当 k=4 时,f′(x)=x -4, 令 f′(x)=x -4=0, 所以 x1=2,x2=-2. 2 2 2 2 2 x x 2 x 2 x a a f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ? -2 0 极大值 (-2,2) - ? 2 0 极小值 (2,+∞) + ? 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞);单调递减区间是(-2,2). (2)令 g(x)=f(x)-k,由题意知,g(x)只有一个零点. 因为 g′(x)=f′(x)=x -k. 1 3 当 k=0 时,g(x)= x , 3 所以 g(x)只有一个零点 0. 当 k<0 时,g′(x)=x -k>0 对 x∈R 恒成立,所以 g(x)单调递增,所以 g(x)只有一个零点. 当 k>0 时,令 g′(x)=f′(x)=x -k=0,解得 x1= k或 x2=- k. 2 2 2 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (-∞,- k) + ? - k 0 极大值 2 3 (- k, k) - ?

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