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《高中竞赛教程》教案:第27讲



第八讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识
在 ?ABC 中,R 为外接圆半径, r 为内切圆半径, p ? 1,正弦定理:

a?b?c ,则 2

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2,余弦定理: a ? b ? c ?

2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C . 3,射影定理: a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A . 4,面积: S ?

1 1 abc aha ? ab sin C ? ? rp ? 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 4R

= rR(sin A ? sin B ? sin C ) =

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

?

1 2 (a cot A ? b 2 cot B ? c 2 cot C ) . 4

A 类例题
例 1.在Δ ABC 中,已知 b=asinC ,c=asin(90 -B),试判断Δ ABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角 形的形状。 解 由条件 c = asin(90 - B) = acosB = a
0 0

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 ? 2ac 2c

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? A是直角

a c ? ? c ? c ? a sin C . sin A sin C ??a? sin C A是直角 ? sin A ? 1 ?

? b ? a sin C ? b ? c ? Δ ABC 是等腰直角三角形。 3 5 例 2. (1)在△ABC 中,已知 cosA = ,sinB = ,则 cosC 的值为( ) 5 13 16 56 16 56 16 或 A. B. C. D. ? 65 65 65 65 65 3 12 解 ∵C = ? ? (A + B),∴cosC = ? cos(A + B),又∵A?(0, ?),∴sinA = ,而 sinB = 5 13 4 显然 sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 12 3 5 4 16 ? ? ? ? ∴cosC = ? cos(A + B) = sin AsinB ? cosAcosB = .选 A. 13 5 13 5 65 说明 △ABC 中,sinA > sinB ? A > B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。
(2)在 Rt△ABC 中,C=90°,A=θ ,外接圆半径为 R ,内切圆半径为 r ,

-1-

R 的值最小。? r c a?b?c R c 解答 由题意, R= , r= . (其中 a、 b、 c 为 Rt△ABC 的三条边长, c 为斜边长) ∴ = 2 2 a?b?c r 1 1 = = .? ? sin ? ? cos ? ? 1 2 sin(? ? ) ? 1 4
当θ 为 时, ∵? sin(α +

? R 1 )≤1,∴ ≥ = 2 +1.? 4 r 2 ?1

? R 时, 的最小值为 2 +1。 4 r tan A ? tan B c ? b 例 3 在△ABC 中, = ,求证:B、A、C 成等差数列。? tan A ? tan B c
当且仅当θ = 分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系,而要证的结论只有角的关系,故应运用正弦定理将边转 化为角。而 B、A、C 成等差数列的充要条件是 A=60°,故应证 A=60°。 证明 由条件得

sin( A ? B) sin C ? sin B = .∵sin(A+B)=sinC,? sin C sin( A ? B)
1 ,A=60°.∴B、A、C 成等差数列。? 2

∴sin(A-B)=sinC-sinB,∴sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.? ∵sinB≠0,∴cosA=

2 2 2 例 4 ? ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? c ? b ? ac,

且a : c ? ( 3 ? 1) : 2 ,求角 C 的大小。
解 由 a ? c ? b ? ac可得
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 1 ? =cosB,故 B= 60? ,A+C=120? . 2ac 2

由正弦定理有:

sin A a 3 ?1 3 ?1 ,? sin A ? ? ? sin C , sin C c 2 2
?

又 si nA=sin( 120 -C)=

3 1 3 1 cosC ? sin C ? cosC ? sin C ,于是 2 2 2 2

3 ?1 sin C , 2

? sinC=cosC,? tanC=1, ? C= 45? 。 ? A+C= 120? , sin A ?
3 ?1 sin C , 要求 C 需消去 A。 2

说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,从而得关于 A、C 的两个方程 链接 1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两 边和其中一边的对角解三角形,有一解或两解。
-2-

2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知三边,求三个角; (2)己知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。 3.解斜三角形:要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么,求什么。再运用 三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。? 4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状:运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及 三角变换公式,灵活进行边角转换。 三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明,都可归入条件恒等式证明一类,常用到互 补、互余角的三角函数关系。

情景再现
1 △ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a2=b(b+c) ,求证:A=2B. 2. ? ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 cos B ? (1)求 cot A ? cot C 的值 (2)设 BA ? BC

3 4

??? ? ??? ?

?

3 ,求 a ? c 的值 2

2 sin A . cos A ? cos (B ? C) (1) 若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求 y 的最小值.
3 已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+

B 类例题
例 5 如图, 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池, 种花.若 BC=a,∠ABC= ? ,设△ABC 的面积为 S1,正方 S2. (1)用 a, ? 表示 S1 和 S2; 空地, △ABC 其余的地方 形的面积为

? 变化时, (2) 当 a 固定, 求

S1 取最小值时的角 ? 。 S2
? S1 ? 1 2 1 a sin ? cos ? ? a 2 sin 2? 2 4

解(1)? AC ? a sin ? , AB ? a cos ?

设正方形边长为 x ,则 BQ ? x cot ? , RC ? x tan ?

? x cot ? ? x ? x tan ? ? a

x?

a a sin ? cos ? a 2 sin 2? ? ? cot ? ? tan ? ? 1 1 ? sin ? cos ? 2 ? sin 2?
2

a2 sin 2 2? ? a sin 2? ? ? S2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 2? ? 4 ? sin 2? ? 4sin 2?
-3-

(2)当 a 固定, ? 变化时,

S1 1 ? 4 ? ? ? ? sin 2? ? 4 ? S2 4 ? sin 2? ?
1 ?t ? , 用导数知识可以证明: t

令 sin 2? ? t , 则

? S1 1 ? 1 ? t ?1 令 . f? t ? ? t ? ? 4? ?0 ? ? ? , ?0 ? ? 2 S2 4 ? t ?

函数 f ? t ? ? t ? 在 ? 0,1? 是减函数,于是当 t ? 1 时,

1 t

? S1 取最小值,此时 ? ? 。 4 S2

说明 三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的 符号语言,再将其转化为我们熟知的函数 f ?t ? ? t ? 点,但在复习中应引起足够的关注。 例 6 如图,A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF= 3 , 设∠AOE=α . o (1)写出△AOB 的面积关于α 的函数关系式 f(α ); (2)写出函数 f(x)的取值范围。 解: (1)∵OE=1,EF= 3 ∴∠EOF=60° 当α ∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上, 且 AE=tanα ,BE=tan(45°+α ) ∴f(α )=S△AOB=

1 。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷 t

1 [tan(45°+α )-tanα ] 2 2 sin 45? = = 2 cos? · cos(45? ?α ) 2 cos( 2 α ? 45 ?) ? 2 1 3 ,OB= cos ? cos(45? ?α )

当 a∈(15°,45°]时,A 点在 EF 上,B 点在 FG 上,且 OA= ∴ f (? ) =S△AOB=

1 1 6 3 OA·OB·sin45°= · ·sin45°= ? 2 2 cos ? cos(45? ?α ) 2 cos( ? 2 α) ? 2 4 ? 2 ?   ? ? [0, ] ? ? 12 ? 2 cos(2 α ? )? 2 ? 4 综上得:f(α )= ? 6 ? ? ?   ? ? ( , ] ? ? 12 4 α ? )? 2 ? 2 cos(2 4 ?
(2)由(1)得:当α ∈[0, f(α )=

2 2 cos(2 α?

)? 2 4 1 ? 且当α =0 时,f(α )min= ;α = 时,f(α )max= 3 -1; 2 12

?

? ]时 12 1 ∈[ , 3 -1] 2

-4-

当α ∈ (

, ] 时,- ≤2α - ≤ ,f(α )= 12 4 12 4 4

? ?

?

?

?

6 2 cos(2 α?

?
4

∈[ 6 - 3 ,

)? 2

3 ] 2

且当α =

? ? 3 时,f(α ) min= 6 - 3 ;当α = 时,f(α ) max= 8 4 2 1 3 所以 f(x) ∈[ , ]。 2 2

说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系,它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角函数的综合 应用。 例 7 海中相距 2 海里的 A、B 两岛,分别到海岸线 l (直线)的距离 AC ?

2 的海里和 BD ? 2 2 海里,

现要在海岸线上建立一个观测站 P,使 ? APB 最大,求点 P 的位置,且求 ? APB 的最大值。 解 如图,过 P 作

l 的 垂 线 PQ 交 AB 于 Q , ? AC ? l、BD ? l ,? AC ? PQ ? DB , 设
,且

?APQ ? ? , ?BPQ ? ? ,??APB ? ? ? ?

?C A P? ? , ? D B? P?

, 在 直 角 梯 形 ABDC 中 ,

A C ? 2 , B D? 2 2 , A B ? 2? , CD ?
在 RK ? AA ' B 中求出 AA ' ?

2 A 作 AA ' ? (过

BD 于 A ',? BA ' ? 2 )

2 ,设 CP ? t ( 0 ? t ? 2 )

? tan ? ?

t 2 ?t , tan ? ? 2 2 2 tan ? ? tan ? 2t ? 2 ? t t? 2 ? 2 ? 2 ? ?0 1 ? tan ? ? tan ? 4 ? ( 2t ? t 2 ) t 2 ? 2t ? 4

? tan(? ? ? ) ?

? ? ? ? ? ? (0, ),? tan(? ? ? ) 有最大值时, ? ? ? 也有最大值。 2
令y?

t? 2 ? 0,? yt 2 ? ( 2 y ? 1)t ? 4 y ? 2 ? 0 t ? 2t ? 4
2

? ? y ? 0, t ? ? ? 0, 2 ?

? ? ? 0,?( 2 y ? 1)2 ? 4 y(4 y ? 2) ? 0 ,即14 y2 ? 6 2 y ? 1 ? 0
?? 2 2 2 ? y? , 又 ? y> 0,? 0< y ? 14 2 2

? ymax ?

2y ?1 2 1 2 ? ? ? 2?? 0, 2 ? 时, t ? ? ? 2y 2 2 2
B A’

? 当 t ? 2 时, y 有最大值,即 tan(? ? ? ) 有最大值,其值为 1,
A L C Q L

-5-

P

D

L

??APB ? ? ? ? 的最大值为

? , 4

[来源:www.shulihua.net]

点 P 在点 D 时, ? APB 最大,最大值为

? 。 4

例 8 某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB,现要修建一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km, 问把 A、B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)
B L A O

解:在△AOB 中,设 OA=a,OB=b. 因为 AO 为正西方向,OB 为东北方向,所以∠AOB=135°. 则|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ 2 ab≥2ab+ 2 ab=(2+ 2 )ab,当且仅当 a=b 时, “=”成立. 又 O 到 AB 的距离为 10,设∠OAB=α ,则∠OBA=45°-α .所以 a= ab= = =

10 10 ,b= , sin (45? ? ?) sin?

10 10 · sin (45? ? ?) sin?

100 sin? ? sin (45? ? ?) 100
sin?( 2 2 cos ? ? sin?) 2 2 100

=

2 2 sin 2? ? ( 1 ? cos 2?) 4 4 400 400 = ≥ , 2 sin (2? ? 45?) ? 2 2? 2

当且仅当α =22°30′时, “=”成立. 所以|AB|2≥
400 (2 ? 2) =400( 2 +1)2, 2? 2

当且仅当 a=b,α =22°30′时, “=”成立. 所以当 a=b=

10 =10 ( 时,|AB|最短,其最短距离为 20( 2 +1) ,即当 AB 分别在 OA、 2 2 ? 2) sin 22?30?

OB 上离 O 点 10 ( 2 2 ? 2) km 处,能使|AB|最短,最短距离为 20( 2 -1). 链接 1.一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解三角形是重要的测量手 段,通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力 . 2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 3.根据实际情景,选择适当的变量,建立目标函数,通过函数方法达到 问题的解决。
-6-

情景再现
4 如图,三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 为等腰三角形,AB = AC = a ,侧棱长均为 2a,问 BC 为何值时, 三棱锥 P-ABC 的体积 V 最大,最大值是多少?

5 如图,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东α 角的射线 OZ 方向航行,其中 tanα =

1 。在距离港口 O 3

为 3 13 a(a 为正常数)海里北偏东β 角的 A 处有一个供给科学考察船物资的小岛,其中 cosβ =

2 13



现指挥部紧急征调沿海岸线港口 O 正东方向 m 海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装运物资供给科学考察 船,该船沿 BA 方向不变全速追赶科学考察船,并在 C 处相遇。经测算,当两船运行的航线 OZ 与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,补给最合适。 (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m); (2)当 m 为何值时,补给最合适?
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北 C

Z

A

O

B



C 类例题
例 9.若△ABC 的外接圆的直径 AE 交 BC 于 D,则 tanB?tanC=
-7-

AD . DE

A

O N B D E M C

证 如图,作 AM⊥BC,EN⊥BC, 于是有
S?ABC AM AD ? ? . S?EBC EN DE



1 AC ?AB sin A S?ABC 另一方面, ? 2 S?EBC 1 BE ?EC sin ?BEC 2
注意到 sinA=sin∠BEC, 因此
S ?ABC =tanB?tanC. S ?EBC

AC AB =tan∠AEC=tanB, =tan∠AEB=tanC. BE EC


AD . DE 例 10 在□ABCD 的每个边上取一点,若以所取的四个点为顶点的四边形的面积等于平行四边形面积的一 半,则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边.
由①、②得 tanB?tanC=

A N
证 如图,设∠DAB=α ,AD=a,AB=b. S△BLK=

?
M

K L C

B

D

由面积公式得 S△AKN=

1 AK?ANsinα , 2

1 1 1 BL?(b-AK)?sinα ,S△CLM= (a-BL) (b-MD)?sinα ,S△DMN= (a-AN)?MD?sin 2 2 2 α ,S□ABCD =absinα . ? AN ? BL ?? AK ? MD ? 1 于是 SLMNK= S□ABCD-(S△AKN+S△BLK+S△CLM+S△DMN)= absinα ?[1- ]. ab 2 1 由 SLMNK= absinα ,得(AN-BL ) (AK-MD)=0. 2 故 AN=BL,或 AK=MD,也就是说 LN∥AB 或 KM∥AD.
例 11 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点. 证明:四边形 AMDN 与△ABC 面积相等.
A

M N B D E F C

证 连结 MN、BD,因为 FM⊥AB,FN⊥AC,所以 A、M、F、N 四点共圆.所以∠
-8-

AMN=∠AFN,∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°,即 MN⊥AD,SAMDN= 又因为∠CAF=∠BAD,∠ACF=∠ADB,所以△AFC∽△ABD,所以

1 AD?MN. 2

AF AC ,AF?AD=AB?AC.而 AF?sin∠ ? AB AD

MN 1 1 1 ,所以 S△ABC= AB?Acsin∠BAC= AF?ADsin∠BAC= AD?MN=SAMDH. sin ?BAC 2 2 2 例 12 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G.求证:∠GAC=∠EAC.

BAC=MN,AF=

A 12 B H G F C E D

证 连结 BD 交 AC 于 H,对△BCD 用塞瓦定理有:

CG BH DE ? ? ? 1 .因为 AH 是∠ GB HD EC

BAD 的角平分线,由角平分线定理有:

BH AB CG AB DE .故 ? ? ? ?1 HD AD GB AD EC

? ?? 设 ∠ BAC = ∠ DAC = α ( α ∈ ? 0, ? ) , 设 ∠ GAC = ∠ 1 , ∠ EAC = ∠ 2 , 由 张 角 公 式 有 : ? 2?
DE AD sin ?? ? ?2 ? CG AC sin ? 1 AC sin ?1 AB AD sin ?? ? ?2 ? ? ? , , 于是 即 sin∠1?sin ? ? ? 1, AC sin ?2 GB AB sin AB sin ?? ? ?2 ? AD AC sin ?2 ?? ? ? ?1 EC

(α -∠2)=sin∠2?sin(α -∠1) ,所以 sin∠1?sinα cos∠2-sin∠1?cosα sin∠2=sin∠2?sinα cos ∠1-sin∠2?cosα sin∠1.所以 sin∠1?cos∠2=cos∠1?sin∠2,即 sin(∠1-∠2)=0,而∠1,∠2 ? ?? ∈ ? 0, ? ,所以∠1-∠2=0,即∠GAC=∠EAC. ? 2?

情景再现
6 7 已知在圆内接四边形 ABCD 中,BC=CD.求证:AC2=AB?AD+BC2. 在△ABC 中,若 D 是 BC 上一点,且 BD=p,DC=q,AB=c,AC=b,则

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-9-

第八讲作业
1.在△ABC 中,acosB=bcosA 是△ABC 为等腰三角形的 ( )? A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件? C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件? 2.设 A 是△ABC 中的最小角,那么函数 y=sinA-cosA 的值域为( A.[- 2 , 2 ] B.(-1,

)? D.[-1,

3 ?1 3 ?1 ) C.(-1, ] 2 2

3 ?1 ] 2
)

3.Δ ABC 中,AB=AC,AB 边上的高为 ? ,AB 边上的高与 BC 的夹角为 60?,则Δ ABC 的面积是( A. ? B. ? ? C.2 D.3 ?

8.船以 32 海里/时的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船北偏东 30?,半小时后航行到 B 处,在 B 处 看灯塔 S 在船的北偏东 75?,则灯塔 S 与 B 点的距离为______海里(精确到 0.1 海里) 。 4.根据下列条件,判断△ABC 的形状 (1)acosA=bcosB ? 2 2 2 (2)sin Α +sin B=sin C,且 c=2acosB ?
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5. 在△ABC 中,若 a =b(b+c) ,则 A 与 B 有何关系? 6. 在△ABC 中,求证

2

a 2 ? b 2 ? c 2 tan B ? . a 2 ? b 2 ? c 2 tanC
2 2 2

7. 在△ABC 中,已知 2sin A=3sin B+3sin C ①?证明 cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1 ②?求:a∶b∶c ?
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8. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B ,且
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1 1 2 ? ?? , cos A cos C cos B

求 cos

A?C 的值 2

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9.△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 顺序成等差数列,且∠A-∠C=120°, 求 sinA,sinC.

10.已知⊙O 的半径为 R, ,在它的内接三角形 ABC 中,有

2R sin 2 A ? sin 2 C ?
成立,求△ABC 面积 S 的最大值.
- 10 -

?

? ?

2a ? b sin B

?

11 在 求 12.

中, a, b, c 分别是 的大小及 的值。

的对边长, 已知 a, b, c 成等比数列, 且



如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一 和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比, 角和这一点到 sin? r 的平方成反比,即 I=k· 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数, r 择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

h R

r ?

点处的照度 光源的距离 那么怎样选

13 在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值
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14 如图,海岛 O 上有一座海拔 1000 米高的山,山顶上设有一个观察站 A .上午 11 时测得一轮船在岛北 偏东 60 的 C 处,俯角为 30 , 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西 60 的 B 处,俯角为 60 。 (1)该船的速度为每小时多少千米? (2)若此船以不变的航速继续前进,则它何时到达岛的正西方向?此时所在点 E 离开岛多少千米?
? ? ? ?

15 已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ? (Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

16

3.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心, AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于 BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边 AB、AC的延长线以及边 BC都相切的圆 )

- 11 -

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情景再现答
1.证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入 a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC) ? sin2A-sin2B=sinBsinC

? ?

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2B - =sinBsin(A+B) 2 2

1 (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) 2 , ? sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B) 因为 A、B、C 为三角形的三内角,所以 sin(A+B)≠0.所以 sin(A-B)=sinB.所以只能有 A-B=B, 即 A=2B.
2 (1)由 cos B ? 由b
2

3 7 2 ,得 sin B ? 1 ? cos B ? 4 4

? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C
? cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? sin A sin C sin A sin C

于 cot A ? cos C

?

sin( A ? C ) 1 4 ? ? 7 sin A sin C sin B 7 ??? ? ??? ? ? 3 3 3 得 ca cos B ? ,由 cos B ? 2 2 4
,? ca ? 2 即 b 由
2

(2)由 BA ? BC

?2
余 弦 定 理

B?C B C 2 sin sin 2 a ? c ?2 ? a ? c ? 5,? 3 2 ?即?ABC的外接圆半径等于 BC边上旁切圆的半径
2

2 sin A sin B sin C b2 ? ?R a2 ? ? c ? 2ac cos B

? 4 R ? sin

sin 2

A B C 2 sin sin ? R 2 2 2

解: (1)∵y=cotA+

? 2 sin?π ? (B ? C) ? ? cos cos?π ? (B ? C) (B ? C)
- 12 -

=cot A+ =cot A+

2 sin (B ? C) ? cos (B ? C) ? cos (B ? C)

sin B cos C ? cos B sin C sin B sin C =cotA+cotB+cotC, ∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化. (2)∵cos(B-C)≤1,
A 1 ? tan 2 2 sin A 2 +2tan A = 1 (cot A +3tan A )≥ 3 tan A ? cot A = 3 . ∴y≥cotA+ = A 2 2 1 ? cos A 2 2 2 2 2 tan 2

π 时,ymin= 3 . 3 评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第
故当 A=B=C= (2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA+cotB+cotC≥ 3 .

4 分析:因为三棱锥的三条侧棱长均相等,因此顶点 P 在底面上的射影 O 是△ABC 的外心,从而想到用 正弦定理,再利用三角函数来求最值. 解:作 PO⊥底面 ABC,垂足为 O. 由 PA = PB = PC = 2a,知 O 为△ABC 的外心. ∵ AB = AC = a , ∴ O 落在底面 ABC 的高 AD 上. 设∠ABC = θ,连结 BO, 则 BO 为△ABC 外接圆的半径. 记 BO = R,由正弦定理,有 R ?

a , 2 sin?

1 16 sin 2 ? ? 1 a 2 sin 2 ? ∵ BD = a cosθ,AD = a sin 1 S ?ABC ? BC ? AD ? a 2 sin? cos ? . 2 PO ? PB 2 ? BO 2 ?
1 1 16 sin 2 ? ? 1 V ? ? a 2 sin? cos ? ? a 3 2 sin 2 ? 1 ? a 3 16 sin 2 ? ? 1 1 ? sin 2 ? 6

?

??

?

?

1 3 17 ? 225 ? a ? 16? sin 2 ? ? ? ? 6 32 ? 64 ?

2

∴当 sin 2 ? ?

17 5 时, Vmax ? a 3 . 32 16
3 a. 4

此时, BC ? 2 BD ? 2a cos ? ? 2a 1 ? sin 2 ? ?

- 13 -

5 解: (1)以 O 为原点,正北方向为轴建立直角坐标系。 直线 OZ 的方程为 y=3x,① 设 A(x0,y0),则 x0=3 13a s inβ =9a,y0=3 13a cosβ ∴A(9a,6a)。 又 B(m,0),则直线 AB 的方程为 y= 由①、②解得,C(
北 C Z

=6a
A



6a (x-m) ② 9a ? m
O

2am 6am , ), m ? 7a m ? 7a

B



∴S(m)=S△OBC=

1 3am2 |OB||yc|= ,( m ? 7a )。 2 m ? 7a

(2)S(m)=3a[(m-7a)+

49a 2 ? 14a ]≥84a2。 m ? 7a

当且仅当 m-7a=

49a 2 ,即 m=14a>7a 时,等号成立, m ? 7a

故当 m=14a 为海里时,补给最合适。 6 证 设四边形 ABCD 的外接圆半径为 R,两条对角线的夹角为θ ,由面积公式得 S△ABD= S△BCD=

1 AB?AD?sin∠BAD. 2

1 BC ?CD?sin∠ BCD. 2 以上两式相加,并注意到 BC=CD,sin∠BAD=sin∠BCD.
可得 SABCD= 另一方面

1 (AB?AD+BC2)sin∠BCD. 2



1 1 AC?BD?sinθ = ACsinθ ?2Rsin∠BCD. 2 2 注意到θ =∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠BDC=∠ABD+∠DBC=∠ABC, 2Rsinθ =2Rsin∠ABC=AC
SABCD=

1 AC2?sin∠BCD. ② 2 由①、②得 AC2=AB?AD+BC2. 7 证明简介: 在△ABD 和△ABC 中,由余弦定理,得
于是得 SABCD=

- 14 -

第八讲答案 1 .B 2.C 3.A 4. 11.3
4.解:(1)∵acosA=bcosB ?∴ 即 sinAcosA=sinBcosB ? ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或 2A=π -2B ?∴A=B 或 A+B=
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a cos B 2 R sin A cos B ? ? , ?∴ b cos A 2 R sin B cos A

? 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ? 2 2 2 (2)∵sin A+sin B=sin C ? ∴(

a 2 b c ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 , ∴a2+b2=c2 2R 2R 2R a 2 ,代入 c=2acosB ?得 cosB= c 2
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故△ABC 是直角三角形,且 C=9O°,? ∴cosB= ∴B=45°,A=45°?

综上,△ABC 是等腰直角三角形 ? 2 5.解:由正弦定理得 sin A=sinB(sinB+sinC)? 2 2 ∴sin A-sin B=sinB·sinC,? (sinA+sinB) (sinA-sinB)=sinBsinC,? sin(A+B)sin(A-B)=sinB·sinC ? ∵sin(A+B)=sinC,?∴sin(A-B)=sinB,? ∴A-B=B,A=2B,或 A-B=π -B(舍去)? 故 A 与 B 的关系是 A=2B ?
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6.证明:由余弦定理,知 a2+b2-c2=2abcosC,? a2-b2+c2=2cacosB,? ∴

a 2 ? b 2 ? c 2 2ab cosC b cosC sin B cosC tan B ? ? ? ? . a 2 ? b 2 ? c 2 2ca cos B c cos B sin C cos B tanC
2 2 2

7.解:由①得 2a =3b +3c ③? ∵cosA=-cos(B+C)? 2 2 2 由②得 3cos(B-C)-3cos(B+C)=1-cos2A=2sin A=3sin B+3sin C ? 2 2 ∴cos(B-C)-cos(B+C)=sin B+sin C,? 2 2 2sinBsinC=sin B+sin C ? 2 即(sinB-sinC) =O,?∴sinB=sinC,?
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- 15 -

∴2RsinB=2RsinC,∴b=c 代入③得? a= 3 b ?
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∴a∶b∶c= 3 b∶b∶b= 3 ∶1∶1 ?
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8.解法一 设α =

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由题设条件知 B=60°,A+C=120°

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A?C ,则 A-C=2α ,可得 A=60°+α ,C=60°-α , 2

所以

1 1 1 1 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2
cos ?

?

?

1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2

?

cos ? cos ? ? , 1 3 2 3 2 2 cos ? ? sin ? cos ? ? 4 4 4

依题设条件有

? 2 ? , 3 cos B cos 2 ? ? 4 1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2 . 2 cos 2 ? ? 3 4

整理得 4 2 cos2α +2cosα -3 2 =0(M) (2cosα - 2 )(2 2 cosα +3)=0,∵2 2 cosα +3≠0, ∴2cosα - 2 =0 解法二
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A?C 2 ? 2 2 由题设条件知 B=60°,A+C=120°
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从而得 cos

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?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

①, ②,

把①式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

A?C A?C ③, cos ? ? 2[cos( A ? C) ? cos( A ? C)] 2 2 1 1 A?C 将 cos =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得 2 2 2 A?C 2 cos ? ? 2 cos( A ? C ) ④ 2 2 A?C 将 cos(A-C)=2cos2( )-1 代入 ④ 2 A?C A?C A?C A?C 2 ? 2 2)(2 2 cos ? 3) ? 0, 4 2 cos ( )+2cos -3 2 =0,(*), (2 cos 2 2 2 2 2 cos
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? 2 2 cos

A?C A?C ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 2 2

- 16 -

从而得 : cos

A?C 2 ? . 2 2

9 解:因为 2b=a+c,由正弦定理得

10 解:由已知条件得

?2R?2

?sin
2

2

A ? sin 2 B ? 2R sin B
2 2

?

?

2a ? b .

?

即有 a ? c ? 2ab ? b ,

a2 ? b2 ? c2 2 ? 2ab 2 1 2 2 ? ab ? ? 4 R 2 sin A sin B ∴ c? .∴ S ? ab sin C ? 2 4 4 4 2 2 2 2? 2 ?? R ? cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B ?? ? R ? ? cos ? A ? B 2 2 ? ? 2
又 cos C ?
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

??
? ?

?



所以当 A = B 时, S max ?

2 ?1 2 R . 2

11 又 在

解: (I)

成等比数列

中,由余弦定理得

(II)在

中,由正弦定理得





- 17 -

12 解

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R=rcosθ ,由此得

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1 cos ? ? ? ,0 ? ? ? , r R 2
h R r ?

I ?k?

sin ? sin ? ? cos 2 ? k ? k ? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ? ) 2 2 r R R

2I 2 ? (

k 2 k 2 ) ? 2sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? )(1 ? sin 2 ? ) ? ( 2 ) 2 ? ( )3 2 R R 3

k 2 3 2 由此得I ? 2 ? 3, 等号在 sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R R 9 3 2

13 解

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按题意,设折叠

后 A 点落在边 BC 上改称 P 点, 显然 A、 P 两点关于折线 DE 对称, 又设∠BAP=θ , ∴∠DPA=θ , ∠BDP=2 θ , 再设 AB=a,AD=x,∴DP=x 在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ ,? a sin? BP AB 由正弦定理知 ∴BP= ? sin(120? ? ? ) sin BAP sin APB
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在△PBD 中, DP BP x ? sin? a sin? x sin 2? ? , 所以BP ? , 从而 ? , sin DBP sin BDP sin 60? sin(120? ? ? ) sin 60?

?x ?

a sin? ? sin 60? 3a ? . sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(60? ? 2? ) ? 3

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°, ∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值

3a 2? 3

? ( 2 3 ? 3) a,即 AD 最小,

∴AD∶DB=2 3 -3

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14 解(1)在 Rt ?AOB 与 Rt ?AOC 中,

A

?OAB ? 300 , ?OAC ? 600 ,
求得 OB ?

3 (千米) OC ? 3 (千米) , 3

E

B

C 东 O

由余弦定理得 BC ?

13 ,于是船速 v ? 2 39 (千米/小时) 。 3
5 13 . 26
- 18 -

(2)在 ?OBC 中,由余弦定理得 cos?OBC ?

于是 sin ?EBO ? sin ?OBC ?

3 39 13 ? ? , sin ?BEO ? 180 ? (?EBO ? 30 ) ? . 26 13
OB sin ?EBO 3 ? (千米) , sin ?BEO 2

?

?

在 ?BEO 中,由正弦定理得 OE ?

BE ?

BE 1 OB sin ?BOE 39 ? (时) ? 5 分. (千米) .于是从 B 到 E 所需时间 t ? ? v 12 sin ?BEO 6 3 1 , sin( A ? B) ? , 5 5

∴再经过 5 分到达海岛的正西方向,此时 E 点离海岛 1.5 千米。 15 (Ⅰ)证明:? sin( A ? B ) ?

3 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin A cos B ? ? ? ? ? 5 ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解:?

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , ? tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 1 ? tan A tan B 4

?

2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.
解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 设 AB 边上的高为 CD.
则 AB=AD+DB=

CD CD 3CD ? ? . tan A tan B 2 ? 6

由 AB=3,得 CD=2+ 6 . 所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .

- 19 -

16

证明:如图,记 AB ? c,BC ? a, CA ? b, 设AI的延长线交?ABC的外接圆O于K点, 则OK是圆O的半径,记为R, ? OK ? BC, ? OK // AD ? AI AD c ? sin B ? ? ? 2 sin B sin C IK OK R 1 又 ? ?ABI ? ?IBC ? ?B 2 1 ?CBK ? ?CAK ? ?A 2 ?AKB ? ?ACB ? ?C ?BAK ? 1 ?A 2

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1 B AB ? BI ? sin AI S ?ABI 2 ? ? ? 2 1 A ?B IK S ?KBI BK ? BI ? sin 2 2 B B B C sin sin 2 sin sin AB 2 ? sin C ? 2 ? 2 2 ? ? A BK cos C sin A cos C sin 2 2 2 2 B C 2 sin sin 2 2 由(1)、 (2)可得: 2 sin B sin C ? A sin 2 A B C ? 4 sin cos cos ? 1 2 2 2 又设?ABC的边BC上的旁切圆半径为 ra , 则: 1 1 bc sin A bc sin A ? S ?ABC ? ra (b ? c ? a ) ? ra ? 2 2 b?c?a sin A sin B sin C sin A sin B sin C ? ra ? 2 R ? ? 2R ? B?C B ?C B?C B?C sin B ? sin C ? sin A 2 sin cos ? 2 sin cos 2 2 2 2
? R? sin A sin B sin C A B C ? 4 R ? sin 2 sin sin ? R B?C B C 2 2 2 sin 2 sin sin 2 2 2 ?即?ABC的外接圆半径等于 BC边上旁切圆的半径

- 20 -



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